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经典趣味数学—穿越沙漠
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经典趣味数学—穿越沙漠
沙漠气候条件极其恶劣，缺少水或动植物，穿越沙漠成为人类探险的最为艰苦的活动之一，数学趣题也因此和穿越沙漠挂上了钩。
一、问题的表述
穿越沙漠是一类趣味数学问题的总称。这个问题流行着多种版本，已很难追踪溯源了。在这里给出几种典型的表述：
（1）沙漠汽车。一辆汽车独自要穿越600公里的沙漠。已知汽车油箱只能装45升油，行走450公里。问汽车怎样行驶才能穿越沙漠，而且用最少的油？
（2）沙漠科考。一个科学家进行一次沙漠科考探险，需要5天。他一次只能带4天的给养。科学家要独自完成科考，应该怎样安排行程，并使得总的给养消耗最少？
（3）沙漠骆驼。一个商人骑一头骆驼（毛驴，骡子）要穿越1000公里长的沙漠，去卖3000根胡萝卜。已知骆驼一次性可驮1000根胡萝卜，但每走一公里又要吃掉一根胡萝卜。商人最多可卖出多少胡萝卜？
二、问题的说明
在所有这些表述中，隐含着一些相同的条件：
（1）一次供给无法完成行程。
（2）沙漠中途没有人和地方提供额外的服务，即骆驼没有其他的萝卜，中途没有加油的地方，科学家在科考途中得不到另外的水、食物等非本人携带的饮食。
（3）大家都可以先运送一些物资（萝卜、汽油和给养）到途中任何地方储存起来，准备后来使用。
（4）通常独自一个人来完成。如果需要别人的帮忙，这些题目则变形为需要选择多少助手之类的问题。
三、问题的解答
这些问题解答起来不算太难，只要找到途中合适的地方储存物资即可。
（1）沙漠汽车。汽车满载45升油，行驶到150公里处，储存15升油后返回；再满载45升油，行驶到一个储放点后补充进15升油，驶完余下的450公里。
（2）沙漠科考。带上全部给养进入沙漠，1天8小时后，将1/3的给养留下后返回。再带上全部给养出发，到达上次存放给养的地方补充给养，完成全部科考任务。
（3）沙漠骆驼。商人要卖出最多的萝卜，就必须让骆驼运送过程中走最少的路程。这就要求每一次出发时骆驼都必须满载。为保证如此，在出发200公里处为一个储存点，储存2000根萝卜，共吃掉1000根。从200公里点出发后333.3公里处为第二个储存点，骆驼储存1000根萝卜，又吃掉1000根萝卜。骆驼最后托载1000根，吃掉466.6根，还剩下533.3根。
四、问题的推广
现在，对沙漠汽车的穿越问题作一般性的分析描述。
我们假定汽车一次供给量L，能够完成行程a，如图所示。
从A到B，途经P点，P为一个供给储存点。为保证完成行程，P点处的最少供给量L保证完成PB，即一个行程。
为保证P处有一个L，需要先完成AP段行程；汽车在AP段来回3次，也就是行驶1/3a需要一次供给量L。也就是供给量2L可完成a+a/3的行程。
如果从A到B途经P、Q两个供给储存点，需保证到达Q时有供给量2L（汽车在AQ段来回5次），到达P点时有L。这样，供给量3L可完成a+a/3+a1/5的行程。
如果从A到B途经P、Q、R三个点，需保证R时有供给量3L（汽车在AR段来回7次），到达Q时有供给量2L，到达P点时有L。这样，供给量4L可完成a+a/3+a/5+a/7的行程。
一般地，nL的供给量可完成
(1+1/3+1/5+……+1/(2n-1))×a的行程。
由于式中的和是发散的，只要有足够的供给量，汽车不停地来回倒腾，可以到达任意远的地方。
https://blog.sciencenet.cn/blog-542-240581.html
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