本文是应沈老之邀写的关于无穷的内容。由于无穷是认知的对象之一，因此有了下文，欢迎拍砖。由于HTML中的数学符号使用起来不方便，所以直接贴为图片。这里是PDF版本：认知与无穷




2010.1012.0139补充（来自回复何老的信件内容）：

下面是我思考无穷的简要历程：在无穷方面，断续的思考了很多年，但即使到现在也不认为自己完全了解了它。关于无穷观，从认知论的角度出发可能是最好的出发点。因为一直以来，之所以有各种理解结果，主要是因为个体的认知角度、认知方式或方法不统一造成的结果。这是人理解、认识自然最基本的过程，也是最容易为我们所忽略的东西。因为我们从小就被告知并“坦然的”接受了所受教育所影响的那种我们甚至不知道该如何称谓的那种认知的方式。正是这种认知方式使我们形成了时下的认知行为和结果。但是，如果我们换一种认知方式后，会得到怎样的结果？这种结果还会是一样的结果吗？是否会让我们了解到更多的内容？事实是，在很多的“xx比较”，较常见的是社科类的“xx文化比较”这样的文献里，我们经常会看到令人耳目一新的内容。

对于数的困惑最早发生在刚学习加法的时候，一开始，这种困惑一直持续了几个月，直到后来我下意识的学会不再质疑它而直接使用它才得以摆脱（当时的我很小，也不知道用现在这里的语句去描述当时的感受。但当时那种困惑感一直断续的困扰着我，这是因为在长大后，每次遇到其它认知困难时，就会让我回忆起早先学数和加法时的困惑，并让自己在这类现象上不时耗费一些精力）。为解决这些困惑，或者是为了说服自己不再困惑于这类现象，这使我对“认知”及“认知行为”进行了长期的思考。“认知与无穷”那篇文章中前两段是到目前为止我关于“认知的方法论”的最好结果。后来，我在教小孩学习数和加法时意识到了这种关于数及加法的认知困难具有普遍性。

人类对于数这个概念的认识虽然历史悠久，但却依然原始。造成这种现象的缘由在于世界中没有“纯净的”数可供观察，人们只能从庞杂、具体的、涉及数的现象中去一点一点、缓慢的摸索和了解它。在我看来，数的本质是它的唯一性，序则是人们在数上施加的一个属性及操作。而可数概念本身仅涉及数的多少，所以“可数”是一个与数的序、甚至是与数本身都无关的概念。在这个意义上，由于可数数与实数不存在多、少的差别，因此如果我们定义可数数是可数的，那么实数同样也是可数的。之所以给出这样的描述性解释是因为我们只能用比具体的数更为基础的认知概念进行解释才能得到更接近真实的数的概念。

2011.0129.0006修正文中“可能的度量方式为”，令，则可能度量方式总数的递推计算公式为
2011.0217.0918修正PDF文中第二段最后一句为“...,相互间有依赖的项用'['和']'号括起来。”

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