化工过程中，数学模拟已经逐渐在优化原有的或设计新的工艺和原型上显 示出越来越重要的作用。人们可能理解工艺的内部工作原理，但决定最佳参数却需要大量的工作――例如反应器及其单元的尺寸，各种物料的正确用量，或者最佳流 速。在过去，人们常常通过大量的试验和错误，或依靠经验来解决问题，然而，为这些尝试而建立和测试的大量原型装置会花费大量的时间和金钱。幸运的是，当今 数学模拟工具可以让人们建立虚拟的原型来揭示工艺过程中的内部细节。在软件中可以方便地改变任意参数，并立即看到效果。这种能力也鼓励着研究者开发新观 念，无论是多么地非常规，并提出完全崭新的尝试和方法，特别是在微流、药理、生物科技及新材料等领域。

在化工过程中，通过建模来节约成本对于大型或精细工艺过程都是可以实 现的。一个大型的化工装置一般包括庞大数量的材料，常常是每年百万吨级，即使是对反应器进行一个很小的改进也可以节省大量的金钱――不仅仅是节省了能量， 还节约了原材料。而在精细化工产业，例如生产很微量的药品，对产品的纯化和提高质量尤为重要，产品的质量在不同批次间出现波动是绝对不允许的，因此操作者 必须切实了解影响质量和纯度的参数。此外，从实验室的工艺过程放大，到试车，到工业化大生产同样会产生问题――有时候，工程师在试车后建立了一个工业规模 的反应器，运行起来相当不理想，产生大量的次品。精确地数学模拟常常会避免出现这种问题。

仿真的实际应用

Figure 1: Turbulent flow for the calculation of the retention time in a chemical reactor.

图1：化工反应器中计算保留时间的湍流仿真

化工工程师如何进行仿真？在荷兰，阿姆斯特丹自来水公司采用臭氧替代氯净化剂，工程师希望能找到最 优物理结构来分布这些物质。不论臭氧在水处理中多么有优势，在使用中还是会带来一些问题。“臭氧与溴反应生成溴酸盐，后者是致癌的”，工程师Jan Hofman解 释，“当然，溴酸盐浓度控制在允许浓度范围，但我们还在尝试减少它的办法，提高处理设施的净化能力”。在原来为氯净化修建的转化反应器中进行臭氧处理，COMSOL Multiphysics数学模拟软件让工程师得以方便地测试各种可能的结构，以最小的成本净化最大数量的自来水。

Outokumpu Copper R&D (Västerås, Sweden)的工艺工程师Jonas Fjellstedt采用COMSOL Multiphysics来计 算如何提高生产金属棒的效率。他研究的工艺中，液态金属从保温炉通过一个耐火入口倒入一个水冷石墨衬里的铜模具中，当棒冷却到一定程度，一个飞锯将棒切割 成一截截的。只有棒的外部需要在模具中凝固，其内部可以在离模后冷却凝固，从而使棒在整个工艺过程中高速运转。Fjellstedt开发 了多物理场模型来显示开始凝固的地方，这样他可以研究不同的管口结构，考察添加第二冷却区的效果。经过适当的改进后，他发现可以比原来的加工速度提高40％。加工速度的提高 意味着公司无需新建生产线就可以增加产量，并保持原有的质量。

仿真也已经成为工程师课程的一个标准部分，教授们开始使用模拟软件来帮助学生们理解真实世界中一些 关键公式的本质。在传质现象课程中，西雅图的华盛顿大学化学工程系的Bruce Finlayson教授为每个学生提供了一份关于微流的有效专利文件， 这些学生使用模拟来解释这些专利中的概念和公式。Finlayson报告说这些学生对于计算流体动力学显示出极大的兴趣，计算出的图象和图形化结果激发他们去深入研 究。

另一个例子来自安阿伯的密歇根大学的Scott Folger教授，在过去几年 中，他在化工反应课程中引入 PDE进行仿真。他是如此确信数学模拟的作用，以至于编译了一套湍流反应器的课堂练习，并发表在他的《化工反应原理》（《Elements of Chemical Reaction Engineering》） 一书的第四版中。

当今的工程师很大程度上依靠数学工具来更加迅速和有效地设计及优化系统和工艺过程。我们需要年轻的 工程师不仅知道如何建立和验证模型，还要能用来开拓想象力和开发新技术。如果没有很好的模拟技术，学生们在随后的将来会处于不利的竞争地位。

数学模拟的基础知识

从什么时候起，数学模拟是怎样变成工程中如此重要的一个部分？确实，它其实是从科学探究的一开始就 已经成为所有技术进步背后的一种技术。事实上，最早的数学专业之一，欧几里得几何（Euclidean geometry）就是 所有应用数学的框架。

几何表示静态的关系，一直到了17世纪，数学家才发现可以动态地描述真实世 界中的对象及现象的工具：微分学。最早的描述集中在只依靠一个变量――时间――的现象，采用的数学表达式是常微分方程（ODE）。很多真实世界中 的现象包含多个自变量，因此偏微分方程（PDE）开始变得必不可少。

化学工程师用PDE处理问题，常见的例子是对流－扩散－反应方程，热方程，Poisson方程，Navier-Stokes方程，以及Darcy定律等。化工中，材料、能量和动量平衡中存在不止一个自变量时会遇到PDE，例如时间和空间。 很多情况下不是处理一个单独的公式，往往是PDE方程组，如系统中每种物质的物质平衡，以及能量和动量平衡。

如果PDE是线性的，也就是说，所有的项可以用一个公式及其微分来描述，经常可以通过正确的方法处理公式得到 一个确定形式的解,这些方法包括分离变量，叠加，Fourier级数，以及Laplace变换等。 然而在真实世界中，很多PDE是非线性的，一般包含不止一个变量的微分，通过以上这些方法不容易得到非线性PDE的解，必须依靠数 值解和采用研究者在过去数年中开发的算法得到近似解。例如，Poisson方程和热方程是线性的，并可推导出解析解，而对于非线性Navier-Stokes方 程，研究者们还未能找到通解形式及解决唯一性问题。化工中的方程经常是非线性的，因为用来描述反应速率的Arrhenius方程对时间是指数性依赖关 系，反应动力学大部分是非线性，因为反应速率依赖于反应物质的乘积。

确实采用数值近似方法求解可以得到任意类型的任意微分方程的解，手动求解显然是不可能完成的。此 外，这通常是常人无法实现，只能由专业科学家来写出表达和求解系统底层公式的算法。

即使是一个相对简单的PDE也可能变得复杂到无法即时找到一个明确地解形式。这样一来，为得到一组这样的解，可采用的方法就是 将求解域打散成大量的单元，也许是数十个，或者成百上千个有限单元。当处理这样一个小区域时，可以进行一些合理的假设和简化，找到它们的解。很显然，找出 所有的解意味着产生并解出成千上万个相关方程，可能需要上亿次算术运算。幸运的是，幸亏有了各种工具软件，如今每个人都可以拥有求解这类问题的计算能力， 如COMSOL Multiphysics就是其中最早的一种设计来在PC上求解系列PDE问题的软件。

近年来，研究者正通过有限元方法求解PDE，他们发现这些技术可以用来求解广泛的 问题，早期是结构力学，然后被扩展到化工、电磁，以及地球科学，等等。

此外，类似COMSOL Multiphysics的工具允许工程师解决多物理场问题，真实世界 中总是会在局部区域中同时发生多种物理现象。例如，很多过程的副产物是发热，热随后会明显地影响其他性质，如化学反应的反应速率，或固体的力学性质。如果 你不把传热引入整个问题，对于一个化学反应器的描述会是很不精确的，或甚至根本就是没有用处的。

模拟过程：一个典型的例子

幸亏现代的软件，对工程师而言，建立一个模型已经是相当容易的事了。看看下面这个例子，很能说明模 拟过程中的主要步骤。这个模型考察的是在一个固定床反应器中耦合自由和多孔介质流动，涉及三种气体，两种是反应物，一种是产物（A+B->C）。 从主管道（B）和注射管（A）注入的物质在固定的多孔介质催化床中反应，得到C，见图2。模拟通常分五个主要步 骤。

1.建立几何模型

第一步是建立几何模型，并定义具有不同属性的区域（“子域”）。反应器（图2）由一个管结构和一个 注射管组成。注意，由于反应器具有对称性，只需要模拟它的一半，这样可减少计算量。

Figure 2: The main user-interface screen show the 3-chamber reactor, and the dialog box on the upper right facilitates the input of physical parameters for the transport balance.

图2：主用户界面显示了3室反应器，右上角的对话框帮助用户输入传质平衡中的
物理参数

很多模拟软件提供一个CAD编辑器用来绘制和生成几何结构，此外，也可以按常见格式导入CAD文件，这使得用户可 以利用专门的CAD软件的来绘制几何结构，或如果已经存在这样一个文件，直接导入它。例如COMSOL Multiphysics支持所有的2D和3D的CAD文件格式。更高级的软件还支持与CAD软件的在线连接，如COMSOL Multiphysics可以与SolidWorks无缝工作。因此，如果用户在SolidWorks环境中对几何结构进行了 修改，这些改动会立即反映到COMSOL Multiphysics中，无需用户干预。

2.物理设定

在COMSOL Multiphysics内建的应用模式中设置每一个子域。在流动场，Navier-Stokes方程描述自由流动区的流体流动，Brinkman方程描述多孔介质区。最后，模型采用对流－扩散方程模拟三种物质的质量守恒。每一种应用模式有自己 的材料和边界条件设定，其中可以设定成常数或任意表达式。

接下来可以处理动量守恒及其边界条件。在反应器的两个外部区域没有多孔介质，控制方程是Navier-Stokes方程，而由Darcy定律扩展的Brinkman只用于多孔催化剂。固体壁上的边界条件是无滑移边界条件。然后定义主反应器和注射管中的入口流速及 压力，还必须定义流动类型。在入口边界上假设是完全发展的层流，不需要定义自由流动和多孔介质流动间的内部边界上的流速和压力。

最后需要处理物料守恒及其边界条件。前一步中软件计算速度场，然后用这个信息来给出由Convection and Diffusion应用模式计算的物料守恒中的对流项。这个应用模式在自由流动域和多孔介质域有不同的属性，并将反应速 率表达式引入到床中。主入口和注射口入口边界条件是浓度边界条件，出口采用对流边界条件，表示对流控制着反应器出口的物料传质。这是管式反应器中的常用边 界条件，避免在出口设置一个浓度或通量。

一个关键的应用是COMSOL Multiphysics图形界面的使设置物理属性（图2）不再那么痛苦。当选 择了一个应用模式后，软件提供对相关物理场优化过的若干方程和对话框。用户界面列出了控制方程，其参数可以在编辑框中输入。你可以通过键盘根据特别的需求 自由地修改方程。

3.网格剖分

当定义好物理场后，接下来就是生成网格，即生成可代表整个系统的上千个三角形或其他形状（图3）。软件选择了一种缺 省的网格，也可以自己手动控制划分网格。例如COMSOL Multiphysics缺省采用三角形单元，也提供四边形、四面体、砖 形，以及六面体等，应用于不同的案例。此外，简单地用一个框选中感兴趣的部分，然后在该区域中精细化网格来获得提高精确性。

Figure 3: Finite-element mesh for the reactor.

图3：反应器的有限元网格

4. 选择和运行求解器

对大部分程序，COMSOL Multiphysics建议缺省的求解器，但也可以从静态和非静态线 性求解器、瞬态求解器、特征值求解器、参数化线性或非线性求解器，以及自适应求解器中选择一个。本例选择瞬态求解器，并定义求解的时间点。还要设置软件生 成解的顺序，例如本例软件首先求解Brinkman和不可压缩Navier-Stokes方程，然后是对流和扩散方程。本例中反应影响气体密度，软件可以同时计算所有的方程。

5. 后处理和图形化

一个功能强大的软件可以有多种方法显示任意结果。除了提供大量的图和图表，COMSOL Multiphysics还可以制作动画，用户可以通过电影来分析随时间的变化。静态地显示起动相，然后是稳态结果同样揭示出 大量的信息。这个反应器中，首先可以检查流场分布（图4a），可见在注射口下较大，而在多孔介质反应床内较小。图4b说明A的浓度是如何因为反应 的消耗及通过扩散而随着与注射口的距离增大而减小的。

Figure 4: Results from the simulation: flow velocity in the reactor (a); concentration of material A (b); concentration of material C (c).

图4：模拟结果：反应器的流速（a）；材料A的浓度（b）；材料C的浓度（c）

然而，C的生成在催化区不是均匀的（图4c），模拟表明催化剂的利用率不足。图中显示了反应不是均匀分散在催化床，注射点离多孔介质床太近， 反应物未完全混合，只有一部分床被利用。较好的设计可能包括在注射点后添加一个静态混合器，或将注射点向上游移，从而通过扩散增加混合效果。

其他可以进行的模拟

这个化工反应的例子只是浅尝即止，还可以模拟燃料电池堆中的流动的动量守恒，热交换器中的能量守 恒，静态层流混合器中的传质，以及电化学效应，如肿瘤中的电化学治疗，设计电场混合流体的微流装置，或甚至是检查电泳和色谱效应等。很多这样的研究需要模 拟传质和流动，并耦合其他物理场，如电磁或结构力学。只有多物理场软件，如COMSOL Multiphysics使得研究者有这种能力来研究这种多物理场同时 耦合的问题。

关 于COMSOL Multiphysics及其开发者

COMSOL Multiphysics是一个工业领先的科学软件，用于仿真和模拟可以用偏微分方程描述的任意 系统。它特别强大的功能在于多物理场耦合能力，可以同时计算多个物理场现象。在专门的研究领域的研究者也能在其中找到特别的模块，包括用户接口和方程设置 等，目前提供的模块包括：化工、地球科学、电磁、传热、MEMS，以及 结构力学。软件可运行在Windows，Linux，Solaris以及HP-UX操作系统，其他可选模块包括CAD导入模块、COMSOL脚本解释器，以及COMSOL反应工程实验室。关于COMSOL Multiphysics及其产品家族的详情请参考www.comsol.com。

COMSOL于1986年在瑞典的斯德 哥尔摩成立，经过多年的发展，目前在全球拥有多个办公室，包括Benelux, Denmark, Finland, France, Germany, Norway, Switzerland, the United Kingdom, 以及US的Burlington, MA, Los Angeles, CA, 和Palo Alto, CA。更多的信息可参考www.comsol.com。