野火烧不尽-同伦群的计算

热度 1 顾险峰 2015-10-18 07:52

现代科技颠覆着经典的几何拓扑学习方法，最为有效的途径是阅读思考，设计算法，编程调试，观察结果，从动手实践中掌握理论。您可以一边运行演示程序，一边阅读理论解释，视觉直观将会令您迅速精通同伦群组合算法的要义。 给定一个拓扑空间M, 其基本群表示为{生成元，关系}。这里，我们详细讲解如何计算基本群的一 ...

11100 次阅读|1 个评论 热度 1

高瞻远瞩-万有覆盖

热度 1 顾险峰 2015-10-18 07:46

一个拓扑空间中从基点出发的所有道路同伦等价类构成的空间就是万有覆盖空间; 将道路同伦类映到道路终点的映射就是投影映射。 万有覆盖空间的基本群平庸（单连通），但是其对称群（保投影的自同胚群）却同构于底空间的基本群。 底流形间的映射可以被升腾为覆盖流形间的映射，例如 底空间的环路可以被提升为覆盖 ...

8751 次阅读|1 个评论 热度 1

万变不离其中-布劳威尔不动点

顾险峰 2015-10-18 07:44

在数学上，“存在性”的证明往往要比“唯一性”的证明艰难得多。对于数学家而言，为寻求存在性的证明，首先要尝试的就是“不动点理论”。最为基本而广泛的不动点理论当归功于布劳威尔。 布劳威尔不动点定理可以直观地解释如下。假设我们有一杯咖啡，我们缓慢均匀地将它搅拌，使得没有湍流和气泡产生。然后令咖啡徐缓 ...

15543 次阅读|没有评论

大数据拓扑分析的基础-同调理论

顾险峰 2015-10-18 07:41

由庞加莱猜测，我们知道：相对于曲面而言，同伦群和同调群保留了相同的信息，因此彼此等价；对于三流形而言，同伦群反映的信息远远多于同调群，同伦群强于同调群。但是，同伦群本身为非阿贝尔群（非交换群），判定两个非阿贝尔群是否同构是非常繁难的问题。相反，同调群是同伦群的阿贝尔化，阿贝尔群的计算只需要线性 ...

12917 次阅读|没有评论

山外青山-浅谈不动点类理论

顾险峰 2015-10-18 07:10

【拓扑不动点类理论是由中国拓扑开山鼻祖-江泽涵先生介绍到中国。近些年来，其弟子姜伯驹先生及其团队取得了丰硕的成果，一直引领国际潮流。我们向中国拓扑学的前辈们致敬！】 求解方程一直是数学发展的一个源动力，通常求解方程等价于求算子的不动点。如果算子的作用域的拓扑比较复杂，并且算子有扰动，不动点的 ...

6298 次阅读|没有评论

摩尔定律的拯救者-从组合角度浅谈陈省身示性类

顾险峰 2015-10-18 07:02

在过去的几十年，计算机科技彻底地颠覆了人类社会的所有方面，这一切都是基于集成电路技术发展的摩尔定律：集成电路上可容纳的晶体管数目，约每隔24个月便会增加一倍。由于物理规律的制约，人们预计摩尔定律将于2015年终止。目前，人们寄希望于拓扑绝缘体理论和技术的发展，希望拓扑绝缘体能够力挽狂澜，拯救摩尔定律 ...

9062 次阅读|没有评论

黎曼几何的发轫-浅谈高斯绝妙定理

热度 2 顾险峰 2015-10-18 06:58

历史上，庞加莱问了如下的问题：如果一只具有高度智慧的蚂蚁从出生起就一直生活在一张曲面上，他（她）没有任何三维的概念， 那么这只蚂蚁如何判定这张曲面是否存在“孔洞”？换言之，蚂蚁如何理解这张曲面的拓扑？为此庞加莱发明了代数拓扑，用同伦群的概念完美地加以解决。 后来，爱因斯坦的小女儿问他“为什么你 ...

23094 次阅读|3 个评论 热度 2

如何从大脑的形状判断一个人的智商

热度 7 顾险峰 2015-3-14 02:30

人类 主要的 思维活动由大脑所主宰。大脑的几何形状和人的智力水平之间的关系一直是饶有兴趣的话题。如何用严密的方法定量或定性地证实或证伪大脑皮层的几何特征和智力水平间的相关性是一个非常具有挑战性的问题。大脑皮层曲面的几何复杂性是这一挑战性的原因之一。如图所示的两个大脑皮层曲面，我们能够通过考察它们复 ...

13361 次阅读|10 个评论 热度 7

本页有 2 篇博文因作者的隐私设置或未通过审核而隐藏