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具体证明不可能有“无限长度的素数等差数列”
中国科学院 力学研究所 吴中祥
提 要
简介素数等差数列,及其已有重要研究成果。 创建了2种确定素数顺序的基本方法和判断素数的简便方法,用以探究是否能有“任意长度的素数等差数列”? 结果证明:不可能有“任意长度的素数等差数列”。
1.什么是“素数等差数列” 用素数构成的等差数列被称为素数等差数列。 例如:从3开始,以2为差,3,5,7 ,共3个素数的数列;从5开始,以12为差, 5,17,29,41,53,共5个素数的数列;从199开始,以210为差,199,409,619,829,1039,1249,1459,1669,1879,2089,共10个素数的数列
到目前为止,由计算机已算得的素数等差数列是从56211383760397开始,以44546738095860为差,最后一位数是56211383760397+44546738095860×22,共23个素数的数列。
2.素数等差数列可以任意长吗? 数学家们一直认为,素数等差数列可以任意长,但是,在2004年前,没能证明。
1939年,当时,荷兰数学家Johannes van der corput证明:有无穷多个由3个素数构成的等差数列。
英国数学家Atath Brown证明,由前面三个素数和后面不超过两个素数的乘积构成的4个数的等差数列有无穷多。
2004年4月18日,陶哲轩和格林两人宣布:他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”,他们将长达50页的论文——《素数含有任意长度的等差数列》——张贴在当日的预印本网站上,并向《美国数学年鉴》(Annals of Mathematics)投稿。
他们的证明立即在国际学术界引起轰动。2004年5月21日出版的美国《科学》杂志报道说,“两位数学家用数论中一个令人眩晕的突破结束了一个问题。”
《发现》杂志将陶哲轩和格林在素数方面的研究评选为2004年100项最重要的发现之一;2004年出版的《现代数论导引》已经引用这篇尚未正式发表的论文所涉及的工作。
但是,不知他们是怎么证明的,且证明太繁复,长达50页,又没能给出具体实例。
3.探求各种可能的“无限长度的素数等差数列” |
按素数的特性,已经创建了:由小于素数j(m)的各素数j(m-k) 除j(m)的商,j(m)/j(m-k); k=1,2,…,m-1,都不是整数,作为判定j(m)是素数的基本条件。
又创建了由整数的末位数,判断其是否素数的简便方法,即:
所有的偶数都可被2整除,就不是素数,因此,末位数为:2、4、6、8、0,的任何整数,就都不是素数。
5与任何数相乘,其末位数必为:5或0,因此,末位数为:5和0的任何整数,就都不是素数。
对于末位数为:1、3、7、9的任何整数,则:
3与任何数相乘,其各位数之和,都必可被3整除,就不是素数,因此,各位数之和可被3整除的整数,就都不是素数。
若不能被3整除:
且其各位数都是7,可被7整除,就不是素数。
且其末位数为3,则,去掉其末位数后,减6,如前,判断其是否能被 7或9整除;若能,该整数就能被7或9整除,若不能,其末位数,又为3,则重复如上做法;直到最后只剩下2位数,若=63,则该整数就能被7或9整除,就不是素数。
且其末位数为9,则,去掉其末位数后,减4,如前,判断其是否能被 7整除;若能,该整数就能被7整除,若不能,其末位数,又为9,则重复如上做法;直到最后只剩下2位数,若=49,则该整数就能被7整除,就不是素数。
若以上各种情况,都不成立,
且其末位数为1,则,
去掉其末位数后,减2,判断其是否能被 7整除;若能,该整数就能被7整除,若不能,其末位数,又为1,则重复如上做法;直到最后只剩下2位数,若=21,则该整数就能被7整除,就不是素数。
或去掉其末位数后,减8,判断其是否能被 9整除;若能,该整数就能被9整除,若不能,其末位数,又为1,则重复如上做法;直到最后只剩下2位数,若=81,则该整数就能被9整除,就不是素数。
对于高位数的整数,还必须考虑到是否能被更高位数的素数整除,例如:
末位数=7的 187 可被 11,17 整除;
末位数=9的 2299 可被 11,19 整除;等等,都须具体判定。
正因以上方法尚未解决判定是否能被大于11的各素数整除,就必须限制于整数小于121,才能得出:
任何整数,只要以上各种情况,有任何一种成立,就不是素数,如果所有情况都不成立,就必是末位数=1,3,7,9的素数。
虽然,还可以给出更多的条件,增大必须限制小于的数值,但是,这个数值不可能无穷大。
由以上2种判定是否素数的方法,就可以按序,m,列表,具体确定各个素数,j(m),的数值,并可以确定,
r(m,k)=j(m+k)-j(m),例如:
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … …
j(m) 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 … … …
r(m,1) 1 2 2 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 … … …
r(m,2) 3 4 6 6 6 6 6 10 8 8 10 6 6 … … …
r(m,3) 5 8 8 10 8 10 12 12 14 12 12 10 … … …
r(m,4) 9 10 12 12 12 16 14 14 18 14 16 … … …
j(m,s,t) = j(m)+ r(m, s,t),
当r(m,s,t)=2ts,
对于,确定的m和s,t=0,1,2,…,t为止,当下式
j(m,s,t)= j(m)+2ts,都能满足,
j(m, s,t)就是:j(m)为初项,2s为差值的共t+1项的素数等差数列。 例如:
m s j(m) t j(m, s,t) 可被整除的素数
2 1 3 0 3
1 5
2 7
3 9 3
2 14 3 0 3
1 31
2 59
3 87 3,29
2 19 3 0 3
1 41
2 79
3 117 3,13
3 3 5 0 5
1 11
2 17
3 23
4 29
5 35 5,7
3 6 5 0 5
1 17
2 29
3 41
4 53
5 65 5,13
3 9 0 5
1 23
2 41
3 59
4 77 7,11
4 6 0 7
1 19
2 31
3 43
4 55 5,11
4 15 0 7
1 37
2 67
3 97
4 127
5 157
6 187 11,17
5 3 0 11
1 17
2 23
3 29
4 35 5,7
5 15 0 11
1 41
2 71
3 101
4 131
5 161 7,23
5 30 0 11
1 71
2 131
3 191
4 251
5 311
6 371 7,53
46 105 199 0 199
1 409
2 619
3 829
4 1039
5 1249
6 1459
7 1669
8 1879
9 2089
10 2299 11,19
当s=15n;n为任意正整数,则2s=30n各位数之和都=3,
且当j(m,s,0)=j(m)的末位数=7,则对于任意的t,j(m,s,t+1)的末位数也必然=7,因而,只要j(m)的各位数中,不存在4,和在任意的相邻2位,不存在56,或65,则,增加2st=30nt,t是任意大的正整数,就都不会使其各位数都=7,
而且,任何素数的乘积,除了7乘11=77而外,也都不会使其各位数都=7,
因而,以上的各种情况,必然都不能被7整除。
由此可见,当取s=15n;n为任意正整数,j(m)的末位数=7,且大于77,并且各位数中,不存在4,和在任意的相邻2位,不存在56,或65,但还需要j(m,s,t)= j(m)+2ts;t=1,2,…,到任意大的正整数,都不是末位数=9和3,或=7和1的,素数的乘积,才能得到各种可能的“无限长度的素数等差数列”。
而对于足够大的素数,末位数=9,3,7或1的很多,j(m,s,t)=j(m)+2ts;t=1,2,…,到任意大的正整数,都不是末位数=9和3或=7和1的,素数的乘积,是不可能的。
因而,不可能有“无限长度的素数等差数列”。
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