雕虫小技与行云流水

——《怎样把课讲好》·数学小品之(95)

大罕

  上海复旦附中有自主招生题目如下：

  已知2^a=3，3^b=2，求1/(a+1)+1/(b+1)的值.

  此题的“标准”解法是：

  ∵2^a=3，两边同时b次方得2^ab=3^b=2,∴ab=1,

  ∴1/(a+1) +1/(b+1)=(a+b+2)/(ab+a+b+1)=(a+b+2)/(a+b+2)=1.

  对于初中学生来说，抽象能力极其有限，对2^a=3的两边，他们想不到应该且可以b次方(b是无理数啊). 此题偏偏要两边b次方(一旦如此学生也能接受)，这叫“雕虫小技”.

  其实还有一个方法，就是对数法.

  a=log₂3，则a+1=log₂6，∴1/(a+1)＝log₆2，

同理，1/(b+1)＝log₆3，

  ∴1/(a+1) +1/(b+1)= log₆2+log₆3＝log₆6＝1.

  显见，对数法是高一个层次的方法，其过程如“行云流水”的流畅.

  “雕虫小技”是特法，“行云流水”是通法. 上海市的一些重点高中在自主招生的试题中喜欢用类似的特法之题来考学生.

  众所周知，应用题用算术法解，虽时尔有巧妙之处，但总没有代数法来得痛快淋漓. 数学界有了共识，于是提前在小学引入了方程以避免用算术法.

  同样，我们不提倡考试时用雕虫小技来选拔学生. 我们更喜欢通法和通解.

  张益唐证明孪生素数猜想的一个弱化形式，他是怎么证明的？我们看不懂. 世界上能看懂的人为数不多. 但是，我们可以断言，他肯定不是用雕虫小技完成的. 否则，能登上这一高峰的人实在是太多了.

      2017/8/24