华罗庚先生说过，数（shù）来源于数（shǔ），量（liàng ）来源于（liáng）。数和运算相联系，而量和测量相联系。这门课讨论的问题和数（shù）有关。

最早出现的数是自然数，一般来说就是正整数（1, 2, 3, …）。自然数由加法定义，是最自然地能够想到的数，所以称为自然数。如果只考虑加法，那么自然数的集合是封闭的。如果考虑减法，就可以得到零和负整数，自然数的集合就扩展为整数的集合。（如果只引入乘法，整数集是否封闭？）引入除法，可以由自然数得到有理数，自然数的集合就扩展为有理数的集合，有理数的集合构成数域（有0和1，对加减乘除（除数不为零）运算封闭）。（如果只引入乘方运算，有理数集是否封闭？）引入开方，可以由有理数得到无理数，有理数域就可以扩展为实数域。而实际上通过负数开平方已经可以看到复数的痕迹。认识到复数是一个有序实数对，对应于复平面上的点是一个认识上的飞跃。回过头去看，实数域所在的实轴只是一条直线，有理数只是实轴上的一些点。认识到复数后，一个自然的想法就是探索“更高维的复数”，于是有了四元数和八元数。就目前的认识，应该没有“更高维的复数”了。

提到复数，我们通常会说复数就是

$a+b{\rm i}$

其中${\rm i}=\sqrt{-1}$。这有什么问题么？不妨看一下这个式子

$1=\sqrt{1}=\sqrt{-1\times -1}=\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}={\rm i}\times {\rm i}=-1$

这显然是有问题的，问题在哪里？问题在于我们还不知道在这种情况下应该怎么开平方。事实上，后面会看到，平方根函数是一个多值函数，我们需要规定辐角的值。

事实上，复数最合理的定义方式就是用上面提到的有序实数对。定义

加法  (x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂, y₁+y₂)

              乘法 (x₁,y₁)(x₂,y₂)=(x₁x₂-y₁y₂, x₁y₂+y₁x₂)

这样的实数对就称为复数。这样定义就避免了先引入i，i由这个定义自然得出。

i≡(0,1)

有了有序实数对的定义，可以得出很多复数的表示方法，例如直角坐标表示、极坐标表示、矩阵表示、指数表示。