确实以前对e如何来有过兴趣, 可是, 总是因为那是资料难觅而作罢. 这本电子书也收集了好久, 可是一直没有时间仔细浏览. 在浏览该书后, 觉得本书涵盖了很多的逸闻趣事, 但是, 关于e的核心价值的梳理却有些混乱, 在此尝试摘录:

e 的值就是 2.7 1828 1828 459045

先看一下e的定义 [作者放到了 P256 - 很靠后, 我觉得应该在对数后就介绍e的由来]: 

• 一个定义由级数收敛得到: 如果级数 1+1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/(n-1)! + ... 是收敛的, 那么其结果为e, 即 e = 1+1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/(n-1)! + ...;
• 由极限得到: n为自然数时, n -> inf, 则 e = lim(1+1/n)^n
• 还有其他的几何定义, 数轴定义等等.

e的便利 - 化繁为简[早期天文计算]

人们常接触的数值运算可分为三级: 第一级自然是加减法, 第二级是"连加"(乘)和"连减"(除), 第三级是"连乘"和"连除" - 乘方、开方和对数。

其中， 对数作为一种计算方法， 其作用在于把较为复杂的乘除运算化为较简单的加减运算。 使用很广泛。

• 如计算 16*128: 2^4=16, 2^7=128. 16*128 = 2^(4+7) =2^11 = 2048
• 又如计算 0.1736*0.9903: 查三角函数表知 0.1736=sin10, 0.9903 = cos8, 则 0.1736*0.9903 = sin10*cos8 = [sin(10+8) + sin(10-8)]/2 = [sin18 + sin2]/2 = (0.3090 + 0.0349)/2 = 0.17195

其中 对应第一种由16得到4的运算定义为对数运算 4 = log2^16. 即 b = loga^N 为以a为底的N的对数是 b.

引入了对数的概念, 就可以将大数的乘除换成加减, 这大大提高了计算的效率 - 尤其是在对数推出的时期, 那时候学者对天文运算非常热衷, 但是经常会遇到的大数的计算是折磨学者的主要问题. 有了对数, 就可以较为轻松地完成那些计算. 

• P24: "对数诞生后不久, 就生下了'龙凤双胞胎' - '龙胎'是对数计算尺(就是滑尺等), '凤胎'是对数表".  ... 
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  • "只要把尺子一拉, 什么乘法、除法、乘幂、开方、对数、三角函数等等的结果就出来了"。P25 - 28
  • 虽然最熟悉的对数表是以10为底, 但是, 其他数为底的对数原理是一样的, 其后衍生出很多对数表. 
• P38 "拉普拉斯在他的天文学巨著《宇宙体系》中深有体会地评论对数:'可以把几个月所做的计算减少到几天完成, 由于缩短了计算工作时间, 我们可以说这种方法使天文学家的寿命被延长了一倍...'"

在这一过程中, 也因为自然数e经常会出现在方程的求解中 - 尤其是微积分, 所以, 以e为底的对数表在科学家手中经常被使用, 而e的一个计算公式和由来也与方程的计算有关!

e的便利 - 为什么函数中那么多e? [函数的微积分] P76

为什么数学家要用自然数e作为对数的底? 以e为底的对数为什么叫自然对数? 这是两个有趣的问题.

在 17世纪中叶, 数学家们在科学活动中发现了双曲线下的面积和自然对数之间竟有如此奇妙的关系 之后,人们逐渐了解到很多重要的函数、极限、微分和积分...都与自然对数有密切的关系.

换句话说, 用e作对数的底不是数学家们对e有特别的偏爱, 而是一些"对数运算"的必然结果. 

要知道, 在构建数理方程的过程中, 会经常遇到类似 关系的微分方程, 那么, 一求积分, 自然得到原函数是自然数为底的函数. 

• 而且也有独特的公式 - , 而且一个函数和它的导数等于它本身的只有. 

下面试列几例:

• P182的"大力士" - 力的放大器
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  •  ->  ->  [也成为欧拉公式, 意味着"绕在圆轮(或圆柱, 棒, 桩)上的绳子或带子, 可将力放大到倍"]
  • 可以解释很多现象:
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    • 水手们可以通过绕在缆柱上多圈的绳子, 可以轻而易举地控制住质量巨大的船只. 如, 有一艘50t的船, 并设克服船飘走的力为它的重量的1/10, 即 . 绳绕在缆柱上4圈, 即 , 摩擦系数为, 代入上面的公式, 即得. 93N (牛顿)是多少呢? 按照咱们熟悉的"斤"来算, 约等于19斤, 即19斤就可以拴住50吨的船了
    • 很多现象都隐含着着这个原理:
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      • 有时候水手们在系缆绳的时候, 只是在缆绳柱上绕许多圈, 就把余下的缆绳随意扔在船上即可, 绳端并不打结, 不怕船"野马脱缰"
      • 牧民拴马也是类似的道理
      • 晾衣服的时候, 将系在柱子上的绳子多绕几圈, 绳子就不容易在很重的湿衣服作用下脱落
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• P189 碳14测定年代
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  • 植物通过光合作用把含有碳14和碳12的二氧化碳吸收进体内, 动物吃了植物又把这两种碳吸收进体内. 由于大气中的碳14含量始终不变(碳12和碳14之比是), 所以, 从古至今动植物体内碳14的含量都相同. 但是, 当他们死后, 就不可能再吸收空气中的碳14了, 而它们在生前吸收的碳14却因衰变而日益缓慢减少, 这样就可以根据碳14的含量来测定这些"死者"生存的年代了
  • 美国化学家利比 (Willard Frank Libby 1908~1980)也因这项发明荣获1960年诺贝尔化学奖
  • 放射性物质原子核的改变速度dN/dt显然和当时原子核的总数目N和时间t成正比, 即 , 将这个式子积分并设t=0和N=N0, 就得到 - 这一著名的"衰变定律"
  • 利比是如何得到碳14的半衰期T的?
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    • 他从1930年左右开始这方面的研究, 经过约10年的精心测定得到N(10)的值, 有 , 代入前面的公式即得, 从而得到, 也就得到了那个公式
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• P193 水温度变化带来的e
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  • 一杯热水一经倒出它就开始冷却. 最初冷却得很快, 随后会变的平稳; 经过一段时间后, 水的温度最终会与室温保持一致.
  • 牛顿研究了这一问题, 并得出结论: 一个温度为T的物体, 它的冷却速度(dT/dt)与该物体和周围环境的温度 C 的差(T-C)成正比, 即 , 即 , 其中的k是物体和周围环境接触状况决定的,正的,由实验测定的常量. 
  • 如何使用上公式?
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    • 有一个62摄氏度的物体, 放在15摄氏度的空气中冷却, 1分钟后物体的温度下降到52摄氏度, 此时有52 = 15 + (62-15)*e^(-k), 可得k值, 然后就可求得该物体任何时刻的温度了
  • 用途很广
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    • 人死亡后, 温度调节功能随即消失, 因此借助于由正常体温(约37摄氏度)与室温的比较既可以判定死亡的时间
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• P209 气压随高度变化公示中的e
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  • 科学家研究发现, 每升高1000m, 水的沸点就要下降大约3摄氏度. 假设在海拔 h(m)的高处, 大气压是p(mmHg), 那么两者之间的函数关系是 , p0=760mmHg的压强, 是海拔为0处的"标准大气压", , 其中, 是空气的摩尔质量; , 是重力加速度的近似值; , 是气体常量, T是空气的热力学温度
  • 现在假设高8848.13m的珠穆朗玛峰顶以h=8000m, 空气温度 T=0摄氏度 = 273 K计算, 问峰顶的大气压是多少?
  • , 也就是说在峰顶只有0.37个大气压
  • 为了解决高海拔处食物煮不熟的问题, 法国物理学家德尼·帕潘 (Denis Papin, 1647~1712) 于1679年发明了"家用压力锅"即"高压锅", 后来人们又称为"帕潘锅"
• P220 生存竞争 - 食物链中的e
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  • 最早研究"狐狸与野兔"间关系的是意大利数学家沃尔泰拉 (Vito Volterra, 1860~1940), 他得到的方程组为
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  • 求解这个方程得到 野兔与狐狸的弱肉强食的关系  - 两者的数量会周期性增减, 始终呈波动性的生态平衡.
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    • 为了保护美国北亚利桑那州的凯巴伯森林中4000头鹿, 在1906年, 西奥多·罗斯福 (Theodore Roosevelt, 1858~1919)总统 (1901~1909在任)宣布森巴伯森林为全国狩猎保护区. 至1942年, 鹿倒是增加到了10万头, 但它们却遭到了巨大的灾难 - 森林所有的植物叶子经不住它们的饕餮大餐而荡然无存, 最后鹿也只剩下8000头
    • 还有其他的例子. 人们为了得到更多的鱼而捕杀以鱼为食的水獭, 但发现水獭被"斩尽杀绝"之后, 鱼也消失了. 后来人们才知道, 原来水獭吃的鱼中的大部分是游得慢的病鱼, 水獭及时吃掉它们之后才防止了鱼瘟的蔓延
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  • 由此可见, 爱护环境、保持生态平衡是多么重要！
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    • 美国生物学家、世界第一女环保斗士蕾切尔·路易斯·卡森 (Rachel Louise Carson, 1907~1964)的话应是使我们警醒的座右铭:"我们必须与其他生命共同分享我们的地球"
  • 用数学方法研究生物学的学科称为生物数学, 属于应用数学的一个分支.
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    • 生物数学是在1901年创立的, 其标志是英国数学家、生物统计学的奠基人皮尔逊创办的《生物统计学》杂志的问世。
• 如何预测鼠疫病人数
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  • 设x是患鼠疫的人数, y是接近这些人而被传染的人数, 它们都是时间t的函数, 满足
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  • 得到 
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    • 从上式可以得到两个结果: 一是当 y>n/m时, x是以y为自变量的单调递减函数; 二是y<n/m时,x是以y为自变量的单调递增函数 
    • 这两个结果告诉我们, 鼠疫初期 (即y>n/m的时候), 感染鼠疫的人增加很快, 我们应加强这早期的控制; 到了鼠疫后期 (即y<n/m的时候), 虽然感染鼠疫的人数增加较慢, 但已经造成许多人死亡. 总之, 应加强早期控制才能有效减少灾害的损害.
  • 当今世界, 对所有传染病都应加强早期控制的意识!
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• 其他还有
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  • 添加樟脑球 - 大约两个月
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该本书于我还有其他有趣的知识 - 除了了解了e的由来和价值, 包括: 

• P17: 1724年前后, 纳皮尔发现了对数转换规律(但还没有提炼出来对数的概念), 大大简化了大数乘除的便利 - 将乘除转换为了加减. 并在18世纪天文学家里得到推崇: 那时候的天文学家们十分热衷于星系的研究, 这样有必要处理过去一般人很少涉及的"天文数字", 随之而来的一门心的职业的诞生 - 专门从事计算的人, 人们叫他们"计算师" (也就是Computer)
• P24: 对数出现后衍生出计算尺和对数表, 计算尺的使用一直延伸到20世纪六、七十年代， 在NASA里也用过 - 在我以前的幻灯片里有过对应计算尺的片子