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蹲墙角的薛定谔方程
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文不咋地，主要是练手latex。代码附在后面。
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title{蹲墙角的薛定谔方程}
author{DF11G0005}
date{2012年5月16日}
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翻开一本普通化学，在很开篇的位置摆出了薛定谔方程。这是现代量子力学的基本方程。看来化学家们也认为这个方程对于他们的事业是重要的存在，他们甚至已经相信——其实整本普通化学的内容都可以写在这样一个二阶偏微分方程中。可是化学家们并不都是还原论者，他们把方程书写下,又扔下纸笔转身回到实验室里摆弄起瓶瓶罐罐，很简单——他们其实不会解这个方程。于是除了增持的信念之外,很多化学家与其他并非专研物理的人们或许对薛定谔方程充满望而不及的敬仰。然而这种敬仰或许存在一些误会。\
物理教材介绍薛定谔方程之后通常都会有这样一句话:薛定谔方程在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当,它不能从更基本的理论推导,其正确性只能通过实验来验证.将薛定谔方程的地位如此高举,似乎薛定谔方程便代表量子力学本身,正如牛顿方程推导出经典力学体系并不需要再增加太多假设.\
薛定谔方程作为量子力学的具象存在呈现在我们面前,化学书不会详细论述波粒二象性与叠加原理的内涵,然而寥寥写下一个二阶偏微分方程的页面是足够的.对于量子力学而言，诸般假设的分量恐怕重于波动方程本身。其实稍加考量就会发现我们其实可以写出很多不同样子的方程来表达非相对论量子力学的规律，而薛定谔方程的不完备也容易看到：\\\
这是我们常见到的薛定谔方程。将经典力学能量动量关系中，能量与动量分别用相应的算符替代，这便得到一种简单的引进方程的方法。算符表达力学量是经由德布罗意关系与平面波形式的启发而得出的假设。\
begin{equation}
ihbar{}frac{partial{}}{partial{}t}Psi{}=-frac{hbar{}^2}{2m}nabla{}^2Psi{}+UPsi{}
end{equation}\\\
考虑体系的自由度不再为三维欧氏空间中的三个正交方向向量的情形，比如一个两自由度绕定点转动的体系，那么薛定谔方程的形式也立即改变。上面这个转动方程中，波函数Ψ的自变量为θ、φ、t ，方程中的质量被替换为转动惯量，而根据坐标变换我们可以得到球坐标系下的微分算子表达形式。\
begin{equation}
ihbarfrac{partial}{partial t}Psi=-frac{hbar^2}{2I}(frac{1}{sintheta}frac{partial}{partialtheta}(sinthetafrac{partial}{partialtheta})+frac{1}{sin^2theta}frac{partial^2}{partialphi^2})Psi+UPsi
end{equation}\\\
采用狄拉克符号来书写量子力学中的表达式显得简洁。物理学并不创造太多属于自己的符号体系，使用符号搭建的理论更是代数的内容。狄拉克符号大概属于物理学家自创的数学符号，它代表希尔伯特空间或者其对偶空间中的一个矢量，在没有指定具体的一组基矢时，我们便写成一个简单的表达式，将其写为代数而不是函数的形式。\
begin{equation}
ihbarmidpsi>=hat{H}midpsi>
end{equation}\\
Heisenberg方程
begin{equation}
frac{d}{dt}F(t)=frac{1}{ihbar}[F(t),H]
end{equation}
量子力学还可以有另一种绘景，海森堡绘景与薛定谔绘景都可以用开描述非相对论量子力学规律。对于可观测的力学量平均值与概率分布，两者将给出相同的结果。在薛定谔绘景中描述力学量的算符不随时间演化，而量子态随时间演化，海森堡绘景则恰恰相反，将量子体系随时间的变化完全归结到算符随时间的演化，而体系所处的态矢量则保持不变。海森堡方程作为一个描写算符演变的方程与薛定谔绘景中的薛定谔方程等效，于是也可以替代前者作为基本的方程。\\
Klein-Gordon方程
begin{equation}
frac{1}{c^2}frac{partial^2}{partial t^2}Psi-nabla^2Psi+frac{m^2 c^2}{hbar^2}Psi=0
end{equation}
量子力学的波动方程，如果我们期待它具有洛伦兹协变的特性，容易想到如果使用和前面提到的引进薛定谔方程同样的方法，将非相对论能量-动量关系修改为相对论能量动量关系便可以得到克莱茵戈登方程。然而如果使用这个方程处理电子体系，做出的预言与实验结果不符。事实上，克莱茵戈登方程适合描述自旋为0的粒子，例如π介子的标量场。\\
Dirac方程
begin{equation}
ifrac{partial}{partial t}Psi(x,t)=(frac{1}{i}mathbf{alpha}cdotmathbf{nabla}+beta m)Psi(x,t)
end{equation}
使量子力学波动方程具有相对论协变性的另一个尝试，是狄拉克方程。狄拉克在书写方程的时候做了如下基本假定：方程中对时间的微分为一阶；方程的解须保证概率密度正定；概率在全空间中守恒。狄拉克所假定的方程中，波函数是具有多分量的矢量，而方程中的系数α，β均为矩阵。\\
量子力学的建筑之中是数学八仙过海的舞台，留给薛定谔方程的，原本是一个角落。将一种数学处理当做量子理论本身这不很恰。从历史而论，薛定谔的波动力学也仅仅是多种可行的量子力学理论中的一种，而且，甚至也并不是最早的一种。相较于海森堡的矩阵力学而言，薛定谔的方程由于它物理上的直观明晰而吸引了物理学家的赞赏。1926年海森堡写给泡利的信中对此表达不满。而的确，海森堡与其他在量子力学建立中提出不同视角的物理学家们看到薛定谔因为他的方程而获得的名誉感到垂涎与愤愤也是情理之中啊。\
end{CJK}
end{document}
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