描述一个矢量需要几个独立参数呢？

 

空间中点的坐标可以用矢量描述，施加在刚体上的力可以用矢量描述，空间中的线段也可以用矢量描述。然而，坐标有3个分量，力有5 个，线段则是6个。描述坐标的自由矢量，描述力的是只能沿着作用线移动的滑移矢量，描述线段的是首尾全都不能移动固定矢量。矢量是几何对象，如果从代数来看，上述三种矢量所处的矢量空间是不一样的。从三维空间中唯一确定一个点，需要3个独立参量，这是三维空间自身的维数。

 

 

描述一个刚体需要几个独立参数呢？

 

对于静力学来说是6个，对于运动学来说是无穷多个，对于动力学来说是12个。描述空间中静止的刚体需要6个坐标，对于静止的刚体便是6个自由度。对于运动中的刚体来说，6个坐标的各阶导数构成了刚体的平动速度，自转角速度，进动速度，章动速度，平动加速度，自转加速度……完全确定刚体的运动需要全部这些各阶导数，需要无穷多独立的参数来描述。这无穷多个参数便是刚体运动的泰勒级数的各阶系数。然而实际的动力学系统中，我们并不需要这样多参数，6个坐标和6个坐标一阶导数就够了。因为实际上是“力”在对刚体的运动产生影响，而“力”只影响运动函数的二阶量，同时在一般的动力系统中，“力”可以由刚体的位置和速度而确定，比如引力场中引力只与坐标有关。所以在动力学中，可以用一个12维的相空间来描述一个刚体的运动状态，每一时刻刚体的运动状态用一个点来表示，而这个点在某一时刻之后在相空间中的运动，也可以由那一时刻刚体的12个参量完全确定。

 

有了牛二律为什么还要拉格朗日方程和哈密顿原理呢？

 

研究力学系统的一些典型思路：将动化为静。这种思路体现在很多具体的方法上，比如我们用相空间代替三维空间。刚体在三维空间中的运动状态，在相空间体现为一个静态的点。比如达朗贝尔原理引入惯性力将动力学转化成静力平衡。又如广义坐标的采用，按照力学系统的自由度构造一个广义坐标空间。在这个空间中，复杂的静力平衡方程转化为广义力为零的非常简洁的方程，动力学方程则转化为作用量变分为零的方程。寻找变分为零的作用量也是又动化静的一种方法，在无数可能的路径中寻找实际发生的那一条，“静”指的正是这种唯一性。在变化的运动中不断寻找不变量，起初我们找到了运动积分——能量、动量、角动量，之后我们又找到了广义坐标下的循环积分，并用泊松括号判定他们的独立性，最后我们找到了终极的不变量，哈密顿作用量。从哈密顿作用量变分为零这一个方程一个等式，我们便能确定系统的全部运动！对比一下我们就可以发现，如果知道能量我们只能获知系统的一部分信息，如果知道相空间中系统的确切位置，我们需要非常多的等式才能得到系统的运动。而哈密顿作用量之简洁臻于完美。这样的思路不仅体现在动力学中，也体现在统计力学和量子力学中。在大量粒子构成的体系中，确定系统在相空间中的位置全无可能，在这种非常缺乏信息的条件下，我们依然能挖掘出系统的不变量，实际上统计力学中的分布函数就是力学不变量，运动积分的组合。在量子力学中我们看到大量与经典动力学相似的方法，比如哈密顿量，泊松括号，对称性。这种相似性是使用相似数学方法的结果，量子力学与经典动力学的物理实质远没有这样相似。所以分析力学比牛顿的定律所多出来，主要并不是物理学的事实，而是有关空间性质和其他模式的规律，或者说，是数学。

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