1.古人宣扬热是一种物质，即热质的转移引起热现象，因为他们发现热传导和扩散满足同样的二阶偏微方程。

2.为什么常见的物理方程都是二阶的呢？关于这个问题不同的人会有不同的看法，比如学物理的人可能会告诉你因为广义相对论中的引力场方程是二阶的。

3.量子力学描述氢原子用到三个量子数，这是因为其波动方程在球坐标下求解分离成三个变量l,m,n。

4.一维波动方程有所谓影响区间、决定区域，高维的波动方程也有类似的概念，而热传导方程则不一样，其初值影响以无穷大的速度传播，而调和方程更厉害，其边界上的条件决定了内部。

5.有时候我们不关心解的初值、边条件和精确解，比如一个海啸拍过来，我们只关心它波速有多快，什么时候到达，威力有多大，得知这些信息我们只要得到行波形式的解就可以了，比如深水中的海啸基本可以按KdV方程求解。

6.球面平均法可能是前人在研究其他问题的时候得到的方法，像是突然冒出来的方法。高维波动方程一般先求出奇数维的解，然后再降为偶数维。

7.数理方程中讲的惠更斯原理和光学中的惠更斯原理并不完全是一回事，前者讲的是三维波动的无后效性，即初始扰动传播过后不会留下痕迹，而一维与二维中就没有这样的性质，扰动会一直存在。光学中的惠更斯—菲涅尔原理理论上可以解决一切光学问题，因为它和三维波动方程的Kirchhoff公式是等效的，比如Kirchhoff公式最后一项就是原理中做的投影。

8.行波法和驻波法得到的解形式虽然不同，但用傅里叶展开和三角代换会发现二者是一样的。

9.卷积从概率论的角度来理解可以看做是由两个独立随机变量分布函数得到两个变量之和的分布函数。

10.物理学家发明了一些奇怪的函数比如狄拉克函数并且用得不亦乐乎，数学家就来围观了，他们发现这些函数都不是直接使用，而是会比如和一个“好的”函数相乘积分，他们于是发明了“广义函数”，即在”好的“函数空间上的线性连续泛函。类似于实数与有理数，正常函数在广义函数空间中稠密，所以可以用正常函数的序列逼近。视对于连续性、光滑性的要求可以选择“长方条”、“尖三角”、鼓包函数、高斯核、泊松核、sinc函数等等逼近。

11.复变函数这本书

从形式上复变函数像极了二维实空间上的函数。为什么要多写一本书呢？如果复变函数不研究解析函数，那么它的内容就少得可怜，也就没有了信息量。解析是很强的性质，我们写出来二维空间到二维空间上函数的微分，会有四个独立的偏微分量，这四个量在解析函数中被缩减到两个，而两个正是复数本身独立变量的个数，因此解析函数才谈得上导数。这种缩减就是柯西黎曼条件，这种缩减将不确定变成了确定，将一般变成了特殊，这个过程产生了信息量，这些信息量就写成了复变函数这本书。

12.调和场

一个解析函数可以对应一个调和场，实部是势，虚部为流，二者都是调和函数。又或者一个解析函数也可以看做是某个场的复速度，同样虚实二部都是调和函数，复速度积个分就便成了第一种意义。考虑到解析函数可以随便积分，随便微分，所以其实还有很多理解，放到调和场这个物理模型中，很多事情就直观了。解析和调和的关系太密切了，很多解析函数的性质就是调和场性质在二维中的体现，比如平均值定理，比如刘维尔定理，比如最大模原理。场论可以把这些结论推广到更一般的情形。

其中很有趣的是泊松积分公式，最近起码看到了四种证明方法：分离变量法，积分变换法，这两种是比较类似的，积分变换法实际上把分离变量法中的离散特征值推广到了连续的情形。另外两种更简洁的方法则直接用到了调和函数或解析函数的很好的性质，柯西积分公式与格林公式都是一种化作积分表示的思路，两者相差无几。对于调和场而言，“皮”是重要的，“瓤”是无关紧要的。

13.展开定理

解析有三种充要的描述，第一种是柯西黎曼条件，这个很直白；第二种是柯西古萨定理及其逆定理莫雷拉定理，委婉一点，但和第一种之间只差了一个散度定理；第三种是能做泰勒展开，这就比较NB了。实际上泰勒或者是洛朗展开像是相当本质的事情，因为从展开定理出发我们不费吹灰之地就能推出柯西积分公式与高阶导数公式；留数、奇点的性质也显然得不能再显然了。这让我们联想到傅里叶展开系数的表达式推导也是这样轻而易举，但反过来要证明三角函数系的完备性没那么简单了。同样地，尽管从证明思路上我们先用比较暴力的方法证明了柯西积分公式与高阶导数公式，并由他们推得了展开定理，然而证明的方法与路径并不能说明谁更本质，展开定理与最多的内容发生联系，有直观的理解，因此处于中心的地位。

14.格林函数、格林公式与泊松方程

Green这个绿色的家伙我很喜欢，他搞的东西很漂亮。比如格林函数，格林公式。实际上这两个东西所表达的是颇为不同的事情，前者的关键在于“线性系统”，线性的系统都会有齐次、叠加的性质，因此就有了冲激响应这种东西，当然这是电路里的说法，线性微分方程里叫基本解或格林函数。而格林公式的关键在于“调和”。有意思的是，当我们把Green自家的格林函数，格林公式一起用，泊松方程就解出来了。对于其他类型的方程，比如热传导方程也有格林函数法，但因为没有格林公式的帮忙还要劳烦傅里叶或者拉普拉斯来变换一下。这些积分变换所做的事情，也就是化卷积为乘积，格林公式瞬间就搞定了。

15.特征值与量子数

朴素的来说，量子的思想在经典物理问题中早就存在了。比如说两端固定弦振动所形成的驻波就可以用离散可数的特征值来标记它的状态。一个特征值就是一个能级，特征值就是量子数，一个特征值唯一对应一个特征函数，这个函数就是振动的可能形式。量子物理里面大量的能级就是用相似的方法得出来的，只是在那里弦的波动方程被换成了波函数的波动方程，反正都是波动方程嘛，从数学上来看都是双曲型二阶方程，没什么本质区别。而弦的固定端则被替换成了各种各样的势场边条件、周期边条件、自然边条件。边条件是很重要的，可以说正是因为这些边条件，才有了量子化，而反应场本性的波动方程本身并不导致量子化。但是呢，反过来也可以看到，其实量子化并不是量子物理最根本的特性，只不过是波动方程的特征值问题嘛，波粒二象性，不确定性什么的才是最根本的观念，量子化只不过是表面现象而已。一根绳子上的驻波，我们把这根绳子剪短一点，驻波的性态就要改变，特征函数就要变，但是我们能把电子的电量改大一点么？不可能，然而这就绝不是解方程能解出来的事情了。所以弦这样的经典模型与微观世界毕竟本质不同，所以朴素终究是朴素的。

16.分离变量与积分变换

分离变量和积分变换差不多是一件事情，不同的是，积分变换霸道得多。如前所述，分离变量的结果得到一个特征值问题，特征值问题有施图姆刘维尔理论，特征函数就是系统状态空间的一组基，这组基是完备的，正交的。既然完备正交就可以把系统所有可能的状态在这组基上分解，总的解是这些特征函数也就是基本状态的线性组合。对于有一些变量而言，系统的限制比较强，而且是齐次的，于是这些条件和变量就成为了边条件和边变量，其实条件合适边条件和初条件换一换也挺好的，但是我们对空间加以限制比对时间加以限制是更容易的，我们生活在空间里嘛。

积分变换就比较“单边主义”，以傅里叶变换举例，不论系统有什么特征都一律按复指函数展开，这种展开抹杀了系统方程和条件的“特征”，没有了特征函数，取而代之的是连续的傅里叶核。刘思齐说积分变换把特征值从离散推广到了连续，我觉得这么讲并不恰当，都已经成连续的了还谈什么特征值！一点特征都没有。还是叫频谱好了。于是对方程的变换、对非齐次项的变换、对条件的变换就相当于原来对特征函数系所做的展开，而反变换的积分就相当于原来特征函数与系数乘积的求和。

17.行波法

二次型之所以有用可能就是因为很多美好的东西都是二次的吧，比如二次元什么的，当然还有二次曲线，二次方程。我们应该感谢造物把最基本的物理方程的次数限制在了二阶，否则工作量就随阶数而败坏了。二次曲线的标准化方法很容易借鉴到二次偏微分方程，于是我们就有了椭圆型、抛物型、双曲型方程。但是要在这些方程中找到与他们名字直接联系的图形好像并不容易。如果说有什么相似的也可以说二次方程特征线与二次曲线渐近线是对应的。但是呢，也只有双曲型的方程能找到两条实的特征线，这使得只有对于波动一类的方程按照特征线进行代换，将特征线变换为新变量的坐标线才是有意义的。至于KdV方程等一些奇怪的非线性方程也会有行波解，因为他们本来就是波嘛......