复杂网络同步——还能走多远？

最近方锦清老师在为《复杂系统与复杂性科学》杂志组织一期“网络科学论坛”专刊，请了一些老师组稿“共话我国网络科学: 回眸与展望”栏目，让大家介绍各自课题的研究概况，共话我国网络科学的过去，展望这一领域的未来。中国网络科学发展也与国际同步走过了十年，现在来做这件事情是很有意义的。听到一些同学说复杂网络的同步似乎没什么可研究的了，真是这样吗？那么复杂网络同步到底还能走多远？我在写我们武汉大学研究小组在复杂网络同步方面的研究进展中，对网络同步问题的近期研究有一点思考，当然远没有回答“到底还能走多远”的问题，不过在这里还是提出来供同行们参考，欢迎批评和讨论。

1）按照主稳定函数方法，当动力学和内连函数给定后，一个线性耦合网络的同步稳定性完全由外耦合矩阵的最大和最小非零特征值及其比率决定。主稳定函数方法只是解决网络能不能同步，以及同步稳定性定性的强弱问题。在研究网络动力学性质时外耦合矩阵的整个特征值谱（包括特征向量）起到决定性的作用，仅仅利用网络的统计量也难推断网络动力学性质，而目前还很少研究耦合矩阵局部元素的改变是如何影响整个特征值谱，从而影响同步稳定性以及同步的整个过程的，要弄清楚这些问题在很大程度上依赖于代数特征值谱理论。

2）目前大多数的工作都是讨论拓扑结构对同步能力的影响，至于同步过程却很少被研究。事实上，同步过程是很重要的，因为同步本来就是一个渐进过程，对同步过程的研究有利于揭示复杂系统的演化机理，有利于理解不同复杂系统的时空差异。在网络到达全局同步的过程中有没有什么有趣的现象发生，不同拓扑结构的网络的同步过程会不会有什么不同，同步过程如何揭示拓扑尺度和发现社团？这些都是值得我们去研究的。

3）利用网络牵制控制、自适应控制和脉冲控制等方法实现网络同步的优化问题目前研究得很少，如何设计简单的控制器和控制尽可能少的节点来达到实际问题的目标，这在实际中是十分有意义的问题。由于目标函数的多样性，因此研究同步控制的优化问题有很大的空间。

4）目前对于网络的完全同步研究得比较多，网络的完全同步实际上是比较理想的情况，而实际系统中有许多涉及部分同步、聚类同步、投影同步、广义同步和相同步等问题，还有加权、演化、时滞、切换、非线性耦合等，这些问题目前已经有一些研究，还值得进一步深入。

5）在研究网络的拓扑识别时，我们从理论分析和数值仿真中发现“同步是阻碍识别的”。它告诉我们，原来削弱同步有时候也很有意义。就像人们在研究混沌控制中，后来发现混沌在某些场合是有用的，因此陈关荣教授提出“混沌反控制”的概念，某些时候我们对混沌不但不应该加强控制，而且需要削弱控制，以产生新的混沌。过去我们总是研究如何实现网络的同步，如何加强网络的同步，很少有人研究如何削弱同步、变同步为失同步的问题。因此在“同步阻碍识别”的基础上，我们不妨提出网络“反同步”的概念，在数学和物理上给出比较清晰的定义和描述，进而也许能够发现一些新的现象和新的机理。我估计这是一个非常有挑战性和相当难度的问题。

附：如果要比较全面地了解这一领域国内外的研究状况和最新进展，建议可以阅读如下两篇综述文章：

□ Guanrong Chen, Xiaofan Wang, Xiang Li, and Jinhu Lü，Some Recent Advances in Complex Networks Synchronization，K. Kyamakya (Eds.): Recent Adv. in Nonlinear Dynamics and Synchr., pp. 3–16, Berlin: Springer-Verlag, 2009

□ Alex Arenas，Albert Díaz-Guilera，Jurgen Kurths， Yamir  Moreno， Changsong Zhou，Synchronization in complex networks，Phys. Rep. 469 (2008) 93-153

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