自从德国物理学家愣茨教授1920年提出模型，他的学生伊辛求出一维模型的解以来，求解三维伊辛模型的精确解一直是人类追求的梦想。近九十年来，人们的追梦之旅充满了艰辛，在通往终极目标的顶峰的崎岖山路上迷雾重重，险象环生。雾中攀岩，一个不小心就会堕入万丈深渊。尽管在攀登的过程中有时会有一些意外的收获和惊喜，但至今山路上仍疑雾弥漫，顶峰之路仍然是艰辛遥远。当然，所有的一切艰难险阻都没有吓到追梦之人，为了探求自然的奥秘，有许多科学家投入了毕生的精力，倾注了毕生的心血，前赴后继地向上攀登。前人的努力，无论是成功还是失败，都没有白费心血，都为后人提供了有益的借鉴。后人常常是在前人跌倒的地方铺路架桥，绕过障碍，继续向上向前攀登和前进。

伊辛模型是一个非常简单的模型，在一维、二维或三维的每个格点上占据一个自旋。大家知道，自旋是电子的一个内禀的性质，每个自旋在空间有两个量子化的方向，即其指向可以向上或向下。就象我们每个人可以正常站立，也可以头朝下倒立。现在考虑一维伊辛模型，M个自旋排成一排，每个自旋与其左右两个最近邻的自旋手拉手。手拉手表示它们之间有相互作用。简单起见，我们仅考虑倾向于使近邻自旋的方向一致的相互作用。二维正方伊辛模型就是有N个相同的自旋排，每个自旋不但与其左右两个最近邻的自旋手拉手，而且与前后相邻的自旋排中的两个最近邻的自旋手拉手，构成了一个二维的自旋阵列。三维立方伊辛模型就是有L个相同的二维自旋阵列，每个自旋与其左右、前后、上下六个最近邻的自旋手拉手。可以看出，随着维度的增加，每个自旋的最近邻自旋数增加，与周围自旋的相互作用也在增强。

由于相互作用倾向于使近邻自旋的方向一致，所以在绝对零度时，系统的基态是铁磁态，所有的自旋的取向完全一致。有两个可能，都是向上或都是向下。一旦选定了向上，就大家一起向上，非常有序。这时，如果我们升高温度T，温度将要对这种有序的状态进行扰动，某一个自旋可能就会挣脱其它自旋对它的相互作用的束缚，而变成向下。这个调皮的自旋可能又会影响其它自旋的取向，从而引入了无序的成分。我们面临的问题就是，在什么温度下，系统从有序态变成无序态。这个温度就是我们关心的相变的临界温度。在统计物理中有一套标准的程序，从系统的哈密顿量H出发，写出其配分函数。配分函数就是对系统的所有可能不同状态根据哈密顿量H写下波尔兹曼权重的指数函数exp(-H/T)，并对所有的可能状态的值求和。一个状态在温度T下出现的可能性正比于该状态的指数函数exp(-H/T) 除以配分函数。其中需要对写下所有可能状态的波尔兹曼权重的矩阵对角化求能量本征值。对大型复杂矩阵的对角化是一个难点。然后事情就变得非常简单，根据热力学统计物理的标准手续从配分函数就立即得到系统的自由能，对自由能进行微分立即得到磁化强度、比热、磁化率等物理性质。所以，问题的关键在于求出系统的配分函数。而写出系统的所有可能不同状态又成为一个难点。

大家知道，如果一个自旋的取向有两种可能，那么两个自旋的取向有四种可能，三个自旋的取向有八种可能，四个自旋的取向有16种可能，……M个自旋的取向有2^M种可能。这变得非常复杂，其复杂性可以用下面的一个故事来说明。 有一个国王奖励他的宠臣，随他提条件。宠臣提出在国际象棋盘格上放米粒做为他的奖励。第一个格上放一粒米，第二个格上放两粒米，第三个格上放四粒米，第四个格上放八粒米，……等到所有的棋盘格上放好米已是一个天文数字，国王倾全国之力也无法满足宠臣的要求。而我们面对的问题远比这个问题复杂，一维伊辛模型M个自旋排成一排，在热力学极限下，自旋数M趋于无限大。数数是不可能的，即使目前功能最强大的计算机对精确求解一维问题都无能为力，更不要说精确求解二维和三维问题了。对于一维伊辛模型可以将配分函数根据系统的状态写成矩阵形式，每两个最近邻的自旋状态的组合构成2´2的矩阵，配分函数是M个2´2的矩阵相乘后对系统的所有可能不同状态的求和。求解这个问题的关键是引入了一个周期性边界条件，将一维伊辛模型M个自旋的首尾相连，从而将问题简化为对2´2矩阵求能量本征值后，系统的能量本征值是2´2矩阵的能量本征值的M次方。这种周期性边界条件的引入对在热力学极限下自旋数M趋于无限大的情况没有任何的影响，类似于固体物理学中能带理论的玻恩-冯卡门周期性边界条件。所以，我们可以非常容易地获得一维伊辛模型的精确解，根据伊辛的结果，在一维伊辛模型中不存在有限温度的相变温度。也就是说，系统仅在绝对零度时为有序态，一点点温度就可以使系统变成无序态。这主要是由于一维伊辛模型中自旋之间的相互作用非常脆弱，而且系统的不同状态的能量差非常小。 当然，精确求解二维或三维模型已超出了伊辛的能力范围，他简单地推断在二维和三维也不存在相变。顺便说一句，这错误并没有影响学术界以他的名字命名伊辛模型。他的导师愣茨教授居然没有在伊辛的文章中署名，这种境界在当今的学术界已成稀有。我们需要耐心等待二十余年，才能等到统计物理学的一个重大突破，昂萨格教授求出了二维伊辛模型的精确解。我将在下一讲中简单介绍二维伊辛模型的求解过程，当然，大家不需要等待二十余年了，哈哈。