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激辩猜想-22-金银双针
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阴阳互换金银绵里针就是Perk教授在他的反驳中加了两个脚注（然后，将他的反驳贴到了预印本库arXiv:0901.2935）：
1，单位晶位的约化自由能βf通常用某种函数
写成βf=({Ki}, h)=({β Ji}, βH)。设β = 1不失一般性，因为人们可以容易地通过Ji →βJi, H→βH, f →βf的替代复原β的依赖关系。
写成βf=({Ki}, h)=({β Ji}, βH)。设β = 1不失一般性，因为人们可以容易地通过Ji →βJi, H→βH, f →βf的替代复原β的依赖关系。2，在张的文章中，在T=
处对有N个晶位的任何点阵有H 
0, z 1, Z = 2N，它离z=-1太远。因而，也能从杨和李的普遍性理论得到无限大温度无量纲的自由能βf在β =0时是解析的。
处对有N个晶位的任何点阵有H 0, z 1, Z = 2N，它离z=-1太远。因而，也能从杨和李的普遍性理论得到无限大温度无量纲的自由能βf在β =0时是解析的。我是在江苏老家看到Perk教授的两个脚注的。当时正值春节放假期间，我也没有什么心思仔细思考这个问题。因为好不容易回家一趟，还是珍惜与家人团聚的每一刻时光。再大的事也先放一放。在老家那十几天基本上是真正地放松。等春节后回到沈阳，仔细琢磨琢磨这两个脚注。发现第一个脚注没有什么新意，将原来的话反过来说一遍。那意思就是，通过设β = 1做βJi → Ji , βH→ H,βf→ f变换，因为它不失一般性，所以可以通过逆变换Ji → βJi, H→βH, f →βf将原来的函数复原。有点象车轱辘话。但是，他仍回避了β=0。所以，说了等于白说。不值一驳。
但是，这第一针是个障眼法，第二针是个关键之关键！他的主要论点就是，尽管根据李-杨相变理论可以在趋近无限大温度处有奇异性，但是对伊辛模型奇异性仅仅存在于磁场在正/负虚无限大处，离我现在研究的零磁场的条件远得很。反过来说，就是在零磁场条件下在无限大温度处不存在奇异性，而零磁场正是我的猜想论文中研究的内容。可以说，我躲过了第一针，着了第二针，而且还受伤不浅。伤势如何严重？我在《激辩猜想-4-独孤求败》中曾经描述过, 我被武林高手打下华山后能起死回生，“全仗着被打下山涧之前从杨振宁、李政道两位神仙那里偷吃了一粒“还魂定心丹”。发现李-杨相变理论实际上给出在无限大温度可以存在相变的条件就是这颗仙丹”。现在Perk教授的第二针等于说，这个仙丹不治你的伤。所以，如果无法找到良药医治，这个伤足够致命。问题的关键就在于在零磁场下无限大温度处到底有没有奇异性。当时，我对这个问题苦思冥想，看上去很难找到破解之道，但是总是觉得什么地方有问题：明明应该在零磁场下无限大温度处有奇异性，可是被Perk教授一变换二变换就整没有了。借用一下小沈阳的台词：“有？还是没有？这个可以有？这个没有？到底有没有？…”这可真是把我绕糊涂了，使我困惑了好一阵子。
如果把《激辩猜想》当着一盘围棋，棋局可以说已经进入收官阶段。而这时出现了一个生死大劫。打赢这个劫至关重要，打赢才能守住猜想没有被证伪这条底线，保住平局。但必须要找到很好的劫材。经过十余天的思考，我终于发现了问题的关键所在，在预印本库中我的答复意见后面补充了第二部分。当然，在贴出这一稿之前，为了慎重起见，我征求了一些国内外的同行、朋友以及我的学生们的意见（包括让选修我教授的《铁磁学》课的同学作为课堂练习而开展讨论），在此对大家的讨论和帮助表示衷心的感谢！下面是我的答复意见第二部分的内容：
在无限大温度以及附近的奇异性：
对Perk的对“三维(3D)简单正交伊辛模型精确解的猜想”的反驳的答复
张志东
中国科学院金属研究所，沈阳材料科学国家（联合）实验室，沈阳110016
中国科学院国际材料物理中心，沈阳110016
这是对对“三维(3D)简单正交伊辛模型精确解的猜想” (Z.D. Zhang, Phil. Mag. 87, (2007) p.5309, arXiv:0705.1045)的Perk的评论(J.H.H. Perk, Phil. Mag. 89, (2009) 761, arXiv:0811.1802)的答复(Z.D. Zhang, Phil. Mag. 89, (2009) 765, arXiv:0812.0194)的反驳(J.H.H. Perk, Phil. Mag. 89, (2009) 769, arXiv:0901.2935) 的回答。本文显示，在Perk的反驳(arXiv:0901.2935)中有关无限大温度及附近奇异性的反对意见的基础是建立在一个混淆T →和T = (即, β→0 和β = 0, 这里β
(kBT)-1)的概念的错误上的。本文指出，单位格点的约化自由能βf仅可以用来描述有限温度(β > 0)，而不是“精确的”无限大温度(β = 0)。所以，著名的高温展开的收敛性没有对β = 0严格证明。进一步地，在热力学极限N →，除了在β→0极限下有z = -1和H = ±i的配分函数Z的无限大温度的零根，存在配分函数以及高温展开在z = 1的另外一个奇异性，它通常在文献中被用设定Z1/N 和用N除总自由能F（等价于，忽略了Z-1的零根的奇异性）掩藏了。所以，著名的高温展开不能作为评价三维伊辛模型的推定的精确解的标准。在Perk的反驳(arXiv:0901.2935)中的反对意见被完全地证伪。
和T = (即, β→0 和β = 0, 这里β (kBT)-1)的概念的错误上的。本文指出，单位格点的约化自由能βf仅可以用来描述有限温度(β > 0)，而不是“精确的”无限大温度(β = 0)。所以，著名的高温展开的收敛性没有对β = 0严格证明。进一步地，在热力学极限N →，除了在β→0极限下有z = -1和H = ±i的配分函数Z的无限大温度的零根，存在配分函数以及高温展开在z = 1的另外一个奇异性，它通常在文献中被用设定Z1/N 和用N除总自由能F（等价于，忽略了Z-1的零根的奇异性）掩藏了。所以，著名的高温展开不能作为评价三维伊辛模型的推定的精确解的标准。在Perk的反驳(arXiv:0901.2935)中的反对意见被完全地证伪。在三维(3D)简单正交伊辛模型的猜想精确解发表以后[1]，已经有两轮评论/答复/反驳的交换意见[2-7]。在[2-7]中的所有讨论之后，似乎剩下一个关键的问题是在无限大温度以及附近的奇异性。这两组评论/反驳[2,4,5,7]的作者(伍法岳等和Perk)坚持[1]中的过程是错误的，因为猜想的自由能仅仅在无限大温度以及附近处与著名的高温展开吻合得很好，而高温展开的收敛性已经在[8-16]中被严格地证明了的。本答复的目的就是详细讨论在无限大温度以及附近的奇异性，同时指出在Perk的反驳[7]中的一个错误，它是在[2,4,5,7]中的有关高温展开的争论的基础。
正如在前面的答复意见[3,6]中指出的那样，在[8-16]中的所有的严格理论仅仅对β 1/(kBT) > 0, 即T < 证明。这些理论从来没有碰到精确的无限大温度，因为根据杨-李相变理论[17,18]的z exp (-2βH) = 1条件在β = 0有存在一个相变的可能性。有存在一个相变的三种可能性：1) H = 0, β 
0; 2) H 0, β = 0; 3) H = 0, β= 0。而这β = 0一点在[8-16]中严格证明那些理论的过程中被回避了。进行一个包括β = 0点的严格证明的困难来自于一个事实：因为β = 0处于(β, z)空间的E区的边界上，没有普遍性的原因来期望一个p或n的β的系列展开收敛 (见文献[9]第102页)。这个困难在证明过程中被引入无量纲参数Ki = βJi, (i = 1,2,3) 和 h = βH以及设β = 1回避了。
1/(kBT) > 0, 即T < 证明。这些理论从来没有碰到精确的无限大温度，因为根据杨-李相变理论[17,18]的z exp (-2βH) = 1条件在β = 0有存在一个相变的可能性。有存在一个相变的三种可能性：1) H = 0, β 0; 2) H 0, β = 0; 3) H = 0, β= 0。而这β = 0一点在[8-16]中严格证明那些理论的过程中被回避了。进行一个包括β = 0点的严格证明的困难来自于一个事实：因为β = 0处于(β, z)空间的E区的边界上，没有普遍性的原因来期望一个p或n的β的系列展开收敛 (见文献[9]第102页)。这个困难在证明过程中被引入无量纲参数Ki = βJi, (i = 1,2,3) 和 h = βH以及设β = 1回避了。让我们从问题的出发点来讨论在无限大温度以及附近的奇异性的根源。系统的总自由能为：F= U- TS = -kBT lnZ。自由能和其它热力学物理量（如熵、内能、比热、自发磁化强度等）的奇异性来源于配分函数Z的奇异性。这是为什么杨和李在他们的普遍理论[17,18]中通过评估巨配分函数的根(即Z = 0)的分布来讨论相变的原因。为了描述无限大系统，人们通常要归一化在体积中自由度为一的均匀的广延量，用体积V（或者粒子数N）相除，保持密度（即单位体积的粒子数）固定，取V (或 N)趋近无限大的极限。在这种情况下，人们通常用f = F/N = -kBT ln
定义单位格点的自由能f的热力学极限(N → )，其中 = Z1/N。通过这个过程，预期可以建立一个事实，f在N →极限下一致地收敛，即上述步骤带着f是有限的一个假设（或一个期望）进行的[17-20]。用这种方法，人们可以容易地避免去处理系统的总自由能F = -NkBT ln，它在N → 极限且如果ln为有限的条件下在任意的有限温度都有奇异性。当然，可以清楚地看出，单位格点的自由能f在无限大温度(T = )仍然存在一个奇异性，因为它在为正且有限的条件下等于负无限大。实际上，f = -kBT ln = -kB ln T, 在这两种形式下，在T = 时f等于负无限大。用三维伊辛模型的值 = 2，人们容易发现，f = -kBT ln 2 = -kB ln 2T在T = 时有一个奇异性。这与定义单位格点自由能f时的假定不自恰，所以它在T = 失去了物理意义。很清楚，人们要直接面对系统的总自由能F来研究系统在T = 处的奇异性。
定义单位格点的自由能f的热力学极限(N → )，其中 = Z1/N。通过这个过程，预期可以建立一个事实，f在N →极限下一致地收敛，即上述步骤带着f是有限的一个假设（或一个期望）进行的[17-20]。用这种方法，人们可以容易地避免去处理系统的总自由能F = -NkBT ln，它在N → 极限且如果ln为有限的条件下在任意的有限温度都有奇异性。当然，可以清楚地看出，单位格点的自由能f在无限大温度(T = )仍然存在一个奇异性，因为它在为正且有限的条件下等于负无限大。实际上，f = -kBT ln = -kB ln T, 在这两种形式下，在T = 时f等于负无限大。用三维伊辛模型的值 = 2，人们容易发现，f = -kBT ln 2 = -kB ln 2T在T = 时有一个奇异性。这与定义单位格点自由能f时的假定不自恰，所以它在T = 失去了物理意义。很清楚，人们要直接面对系统的总自由能F来研究系统在T = 处的奇异性。 有人可能要争辩，整个系统的这种奇异性没有物理意义，它应该通过使用单位格点的约化自由能βf来去除。正如在Perk的反驳[7]中声明的那样，单位晶位的约化自由能βf通常用某种函数写成βf=({Ki}, h)= ({βJi}, βH)。但在[7]中的错误是显而易见的：设β ≡ 1/(kBT) = 1等价于T = 1/kB 。所以，使用无量纲参数Ki = βJi, (i = 1, 2, 3), h = βH和设定β = 1的充分必要条件是β0。所以，设β= 1失去了β= 0的一般性，替代Ji → βJi, H → βH和f → βf仅仅对β→ 0适用。在Perk的反驳[7]中所有的讨论均是建立在β→0的极限下，不是“精确的”无限大温度（T=，β=0）。所以，著名的高温展开的收敛性没有对β = 0严格证明。
写成βf=({Ki}, h)= ({βJi}, βH)。但在[7]中的错误是显而易见的：设β ≡ 1/(kBT) = 1等价于T = 1/kB 。所以，使用无量纲参数Ki = βJi, (i = 1, 2, 3), h = βH和设定β = 1的充分必要条件是β0。所以，设β= 1失去了β= 0的一般性，替代Ji → βJi, H → βH和f → βf仅仅对β→ 0适用。在Perk的反驳[7]中所有的讨论均是建立在β→0的极限下，不是“精确的”无限大温度（T=，β=0）。所以，著名的高温展开的收敛性没有对β = 0严格证明。系统的总自由能也可以写成：F= kBT lnZ-1。所以，除了讨论配分函数Z的根，人们还要讨Z-1的根。写z ≡ exp(−2βH)以及保持在极限β → 0时βH固定不变，在具有N个晶位的一个任意晶格上的伊辛模型的配分函数为Z = (z1/2 +z−1/2)N。可以容易地看出，z1/2 +z−1/2 > 1满足配分函数的倒数Z-1，即Z-1 = (z1/2 +z−1/2)-N，的根的条件。所以，Z-1的无限大温度的根，即Z-1 → 0，发生在z = 1，因为N → , Z = 2N → 。或者，更严格地讲，零的根出现在β = 0, z = 1。上面的讨论由下面的事实支持，对数函数ln x在x = 0和x = 两种情况下的奇异性分别对应于对数函数ln y，其中y = 1/x，在y = 和y = 0两种情况下的奇异性。这清楚地指明，除了一个负号之外，在Z = 0和 Z = 两个极限下的两种奇异性是相同的，应该对两者保持同等的兴趣。[7]
, Z = 2N → 。或者，更严格地讲，零的根出现在β = 0, z = 1。上面的讨论由下面的事实支持，对数函数ln x在x = 0和x = 两种情况下的奇异性分别对应于对数函数ln y，其中y = 1/x，在y = 和y = 0两种情况下的奇异性。这清楚地指明，除了一个负号之外，在Z = 0和 Z = 两个极限下的两种奇异性是相同的，应该对两者保持同等的兴趣。[7]从杨-李理论[17,18]以及上面的发现，在三维伊辛模型的确存在三种奇异性：1) H = 0, β = βc; 2) H = ±i, β → 0; 3) H = 0, β = 0。三维伊辛模型经历了一个β = 0的“无相互作用”状态到β > 0相互作用状态的变化。这个状态的变化就象存在一个“开关”在无限大温度处以及附近关开所有的相互作用，导致拓扑结构和相应的相因子的变化[1,3,6]。
, β → 0; 3) H = 0, β = 0。三维伊辛模型经历了一个β = 0的“无相互作用”状态到β > 0相互作用状态的变化。这个状态的变化就象存在一个“开关”在无限大温度处以及附近关开所有的相互作用，导致拓扑结构和相应的相因子的变化[1,3,6]。小结，为了严格证明自由能的解析性质而使用无量纲参数Ki = βJi, (i = 1,2,3)和h = βH以及设定β = 1的过程仅对β > 0可以应用，不能用在β = 0。在Perk的反驳[7]中有一个混淆T → 和T =(即, β → 0 和β = 0)的概念的错误。除了有z = -1的奇异性，在热力学极限N →，存在配分函数以及高温展开在z = 1的另外一个奇异性。后面这个奇异性可能在D 3时不产生问题，但是在三维会产生麻烦。它通常在文献中被用设定Z1/N 和用N除总自由能F掩藏了。这个忽视Z → 的奇异性的过程等同于忽略了Z-1的零根的奇异性。我们的结论是，著名的高温展开不能作为评价三维伊辛模型的推定的精确解的标准。在Perk的反驳[7]中（也包括在[2,4,5]中与高温展开有关）的反对意见被完全地证伪。
和T =(即, β → 0 和β = 0)的概念的错误。除了有z = -1的奇异性，在热力学极限N →，存在配分函数以及高温展开在z = 1的另外一个奇异性。后面这个奇异性可能在D 3时不产生问题，但是在三维会产生麻烦。它通常在文献中被用设定Z1/N 和用N除总自由能F掩藏了。这个忽视Z → 的奇异性的过程等同于忽略了Z-1的零根的奇异性。我们的结论是，著名的高温展开不能作为评价三维伊辛模型的推定的精确解的标准。在Perk的反驳[7]中（也包括在[2,4,5]中与高温展开有关）的反对意见被完全地证伪。The author appreciates the support of the National Natural Science Foundation of China (under grant numbers 10674139 and 50831006).
References
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Perk教授见我抗争到底，又从他的八宝锦囊中摸出一种暗器：无影飞刀。这种暗器也是威力无穷，变幻莫测，可以通过来无影去无踪的变换，将有变成无，无变成有。嘿嘿，比今年春节联欢晚会上大出风头的刘谦高明得多。^_^从下围棋的角度说，Perk教授又找到一个劫材。要知无影飞刀是如何了得，而我又是如何应招的，请看下节《激辩猜想-23-无影飞刀》。
我包括第二部分内容的答复意见请见:
学术论剑
https://blog.sciencenet.cn/blog-2344-223335.html
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