本文是对Perk评论[1]三维伊辛模型猜想解[2]的一个答复。首先，我感谢Perk教授指出在[2]中应用Jordan-Wigner变换的方程(15b)中的错误，它应该被改正为[1]中的方程(3)。当然，尽管这个错误与Maddox的[3]相同，基本的不同是在[2]中我的推定的解由引入处理三维伊辛模型拓扑学问题的两个猜想而获得的，并不是从错误方程直接推导而得的。所以这个错误不影响推定的精确解的合法性。当我写[2]时，我理解拓扑学的困难是由于方程(15)中的U因子。根据Lou和Wu [4]以及跟随我与Perk的讨论，在[1] 中方程(3) 高次项的出现以及在转移矩阵中相应的指数因子(不是[2] 中方程(15)中的U因子)是三维伊辛模型困难的根源。U因子从周期性边界条件而来，但对自由边界条件它消失。现在已经清楚了，不需要通过在边界上的拓扑学技巧来消除U因子，但高次“内”因子可能需要更近的关注。由于对每个j 都有一个“内”因子(在[1]中j从1到nl变化, 对应于[2]中(r, s)从(1, 1)到(n, l)), 所以“内”因子的数量为U因子的nl倍。这些“内”因子导致更多的困难，因为它们与转移矩阵的剩余部分(例如，象那样的因子的乘积[4])不对易，以至我们无法象Kaufman 做的那样[5]得到旋转群的表示。尽管情况变得更复杂，我们仍然做相同的猜想，猜想的动机仅仅与我在[2]中的有微小的区别。想象我们将一个三维流形连到一个四维流形[6,7]。我们可能可以在三维晶格的每一点上附上一个“内”空间去提供一些算符使这些“内”因子与转移矩阵对易。这样，如我在原文[2]中猜想的那样我们加了一个带附加的旋转的附加维度做为一类边界条件，然后由于其非局域性质我们可以将方程(15)中的拓扑问题做为一个整体同时解决，而不管它有多么的复杂。

Istrail显示伊辛模型的NP-完全性(NP-completeness)的根本原因是非平面性[8], 也指出困难的根源是拓扑学的。正如在[2]中第5393页讨论的那样，NP-完全性仅仅是防止在多项时间(polynomial time)内解决问题所有部分的代数[9,10]。从计算机科学观点得到的这种NP-完全性问题不能完全被用来评判发现精确解所需要的数学上的进展。进一步地，如Istrail和Cipra宣布的那样[8-10], 对在[2]处理的铁磁性三维伊辛模型存在精确答案的可能性。如上讨论的那样，由高次项引起的主要困难是拓扑学的[1,8-10]。所以，用来处理三维伊辛模型拓扑学问题的引入第四维的猜想[2]仍然是合理的，它公开征求被严格证明（当然，谢谢Perk教授，矩阵V [2]要用方程(15b)的新形式）。

在[1]中的其它反对意见，集中在低温展开和高温展开以及权重因子的选择，与伍法岳等人的评论[11,12]完全相同，已经在我的上一个答复意见[13]中答复了。仅有的例外是，在[1]中引用的高温展开收敛性严格证明的文献[14-18]与[11]中的[19-22]不同。正如[1]提到的那样，[14-18]的证明是建立在Gallavotti和 Miracle-Solé的证明[14]基础上的。当然，紧接着在[14]中方程(5)的下面，作者为了方便起见令 = 1/(k_BT) = 1，它与无限大温度的 = 0矛盾。在[14]中理论的一些重要条件在 = 0不适用。例如：如果将 = 0代入[14]中的方程(24)，对理论1的ii), iii)和iv)，理论2和3的条件将不合法。人们可能会争辩，无限大温度仅仅是要求所有的相互作用能等于零。但在这种情况下，条件仍然不满足，并且人们要面对在 = 0以及附近所有的相互作用能从零到非零的一个变化。这种变化导致一个几何（拓扑）结构的内禀的变化，如在[13].中揭示的那样。正如在[13].中已经指出的那样，Lebowitz和Penrose [15]和Griffiths [17]区分> 0和 = 0，从 > 0条件开始证明他们的理论。这些著名的理论的基本困难源于一个事实，根据杨-李理论[23,24]在 = 0可能存在一个相变。

每个人均被陷进一个两难的窘境，不可能同时满足相反的希望：做为一个精确解要收敛，同时它又必须与一个发散的展开完全相同。正如[1]中所述，我的推定的精确解的低温展开有一个直到临界点的有限的收敛半径。所以，它被预期不能逐项复制发散的著名的低温展开。缺少三维伊辛模型的全局性质的信息是著名的低温展开发散的根源。它的问题可能来源于统计物理的基础上的困难[25-29]。

在[13]中，我指出了引入(3+1)维框架处理三维伊辛模型的必要性，并简要地讨论了附加维背后的物理。进一步地考察统计物理的数学基础，即遍历公设和混合公设[25-31]，是非常有益处的。现已经证明遍历公设是最困难的问题之一，缺少一个在普遍条件下遍历公设的证明[25-31]。对强于遍历公设的混合公设，计及在G (E)表面上点的分布，人们不再讨论一个单独的系统，而混合对一个纯孤立的系统是不恰当的[25]。在统计物理中，人们简单地假设时间平均可以由系综平均代替[25-31]。实际上，在统计物理中研究的大部分系统不是遍历的[29-31]。这是我的理解，三维伊辛模型欠缺遍历性将导致时间平均与没有包含系统的完全信息的系综平均不同。忽视两种平均的不同在维度D  3的其它模型可以工作得很好，但在三维伊辛模型因为其全局拓扑性质和几何结构会遇到严重的麻烦[2,13]。因为三维伊辛模型著名的低温和高温展开可能没有正确地计及系统的时间平均，它们在有限温度可能不适用。

总结，在 [2] 中的错误应该如Perk在 [1] 中建议的改正，但不影响推定的精确解的合法性，因为解不是从这个错误的方程直接推导出来的。在[14-22]中的所有著名理论仅对>0进行证明，不对无限大温度。[1]中的其它反对意见和[11,12]中的没有建立在一个坚固的基础上。猜想的解可以被利用来理解在不同体系的临界现象，同时猜想仍然公开征求被严格证明。

The author appreciates the supports of the National Natural Science Foundation of China (under grant numbers 50831006 and 10674139). I am grateful to Prof. Dr. Jacques H.H. Perk for helpful discussions via e-mail exchanges.

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