在最近的一篇文章中[1]，伍法岳等人对我的三维伊辛模型精确解的猜想[2]进行了评论。本文对评论[1]中对我论文的表达方式（长度、用词、附录的表达）的议论将不予答复。伍法岳等人的评论主要集中在低温展开、高温展开以及权重因子w_y 和 w_z的选择[1]。前两个问题已经被预期并在我的原始文章[2]中被反驳了，而后一个问题需要进一步的澄清。尽管没有必要重复我原始文章[2]中的话，我将在引入新思想的同时重点强调几点。 

首先，正如我已经在原始文章[2]中引用了大量的参考文献，我不否认伊辛模型已经被很好地研究了八十年，主要是由于许多著名科学家的杰出贡献，也包括评论[1]的作者们。当然，已经被很好地建立的知识体系不能作为评判猜想得到的精确解的标准，因为三维伊辛模型还没有被完全理解。有两朵“乌云”： 1)所谓的“精确”的低温展开是发散的，也表明存在一个非物理奇点；2) 根据李-杨相变理论，在无限大温度(T = , = 1/(k_BT) = 0) 存在一个相变的可能性[3]。

 很遗憾，评论[1]的作者们的反对意见仅仅局限于我的计算结果，对以拓扑学为基础的计算方法和过程没有评论。推定的解是用两个猜想（以及其它步骤）推导的，目前还不能视为严格。所以，解的正确性依赖于猜想的正确性。猜想一的逻辑非常简单：作为求解三维伊辛模型的困难的根源，三维伊辛模型的拓扑学问题可以通过引入一个边界条件，即一个附加的旋转变换矩阵V'₄，消除隐含在矩阵V V₃V₂V₁的边界条件(15)中大量纽结的交叉[2]。消除一个给定的交叉()有两种选择，所以一个具有N个交叉的图有2^N个状态[4]。数学上有状态和  ，为括号多项式，表示用纽结图定义的一个广义的配分函数[4]。这里，<KS> 为涡旋权重的积，在态S的圈的数目。所以，矩阵V包含两种贡献：一种反映自旋的局域排列，另一种反映纽结的非局域性质。在进行消除交叉的过程以后，在新的矩阵V' V'₄V'₃V'₂V'₁中将不再存在交叉[2]，它精确地包含了对配分函数的拓扑贡献，并可对角化。由纽结导致的内禀的非局域性质自发地要求一个附加的旋转矩阵以及一个附加维，以便在一个非常大的Hilbert空间处理问题，也因为在三维模型中的算符产生一个非常大的李群[5]。这实际上仅仅是在系统的哈密顿和波矢上执行了一个变换。因为大家公认“正确”的低温展开、高温展开从来没有计及全局性的拓扑效应，它们在三维有限温度下不可能正确。仅有的例外是，高温展开在无限大温度(= 0)及附近可以正确，因为相互作用不存在或极度地弱小以致全局效应可以被忽略。

我承认，在原始文章中[2]没有用一个逻辑的顺序表达几个关键的假定之一，有关权重因子w_x, w_y和w_z的猜想二，主要因为考虑到其长度其细节被移到附录。在原始文章中[2]权重因子值被定义成在[-1, 1]范围变化，并且，考虑到对称性认为它们的作用可以交换而不改变本征值(29)和配分函数(49) (见原文[2]第5372页)。我们可以将在本征矢量(33)中的权重因子拓展为复数w_x ， w_y和w_z分别带相, 和(注: 为模) 。当然，仅仅相因子的实数部分出现在系统的本征值 (29)，(30)，(31)和(49)等中，以致w_x, w_y和w_z可以分别被w_xRe   ，w_y  Re 和w_z  Re   取代。它们可以被理解成执行对三维伊辛模型的本征矢量向“四元数”  Hilbert 空间的变换再投影回三维[2]。近几个年代，物理学家先后发现了不同的几何相因子，例如，Aharonov-Bohm相、Berry相等等[6]，它们与量子系统的全局拓扑性质相关。量子力学中的势可以被视为在不同的局部的相之间的一个联络[6]，这对三维伊辛相互作用也应该同样适用。我们发现的相因子是一个新的相因子，起源于三维伊辛系统的几何性质。这个拓扑相是相互作用和温度的函数，敏感地依赖于纽结是否存在。所以，权重因子的值由于在无限大温度或附近处的几何（拓扑）结构的变化而变化，同时它从三维的w_xRe   = 1, w_y  Re  = 0和 w_z  Re    = 0 （如上所述，它们的作用可以交换以维持四重积分）变到二维的 w_xRe   1, w_y  Re   0和 w_z  Re     0 （约减为二重积分）。后者导致临界指数从三维到二维的演变。相因子 与出现在费曼路径积分理论中的类似[7]，那里在初始和最终状态之间的跃迁幅为对权重因子联系两点的所有路径的求和，这里S [x]为系统的作用量。我们的作用量是拓扑学的，从路径整体几何产生[6]，与其它的拓扑相类似。

在评论[1]重复强调的批评之一是建立在低温展开、高温展开的收敛性已经被严格证明的“事实”基础上。评论[1]争辩道，表达式(49)，(74)和(99)不能是真正的解，因为权重因子导致在高温极限下的表达式(A.12)和更普遍的温度下选择w_x = 1，w_y = 0 和w_z = 0的表达式(A.13)不同。但是，从未注意在无限大温度及附近存在一个相变的可能性([2], 第5371页)。李-杨相变理论[3]是严格的，非常普遍性的理论，它应该可以适用于三维伊辛模型。如果在= 0处的奇异性作为一个必要条件加到展开的收敛性上，它将不会颠覆其它的严格结果[8]。证明展开的收敛半径是不充分的（特别是在三维）。Lebowitz和Penrose证明了一个高温展开的理论[9]，并区分 > 0和 = 0。他们清楚地声明，因为 = 0处于(, z)空间的E区的边界上，没有普遍性的原因来期望一个p或n的的系列展开收敛 (见文献[9]第102页)。在Griffiths 的综述中给出一个定性的图象[10]，显示在T-H 平面(Fig. 6)所有都是解析的区域的形状，但他的出发条件是 > 0。文献[10]中对证明严格的结果是重要的不等式(2B.8) (或其它相似的不等式)仅仅在> 0时成立。实际上，如果我们将Griffiths的T-H平面改画成-H平面，应该有一个= 0的奇异性。所以，我们区分 “无限大温度及附近”和 “有限温度”是合理的。Sachdev在他的书中[11]图4.3和11.2中宣称在非常高的温度有一个所谓的“格点高温”相有非普遍性的临界性质。尽管在一维的量子模型（可以映射为二维伊辛模型）中的奇异性可能不够强大到足以导致任何形式的相变，我们理解在二维的量子模型（映射为三维伊辛模型）中的几何变化可以在无限大温度（T = ）诱发一个相变。通常，数学理论[8-10]在一些假设（例如，在Sinai 书中[8]理论2.1.的Peierls条件和> 0；在Glimm和Jaffe的书中[8]理论18.1.2，推论18.1.4，理论18.3.1，命题18.4.2和理论18.5.1中充分小的或，理论20.3.1-2, 20.4.1-2 中的假设P1, P2和E c + 5以及(20.5.4)中的小）基础上证明函数的非常普遍形式的解析行为，不能担保低温展开、高温展开在它们著名的展开基上的解析行为（如，低温展开的发散性与这些理论矛盾）。从另外一个角度，我们可以认为，猜想的解的展开的解析本质被这些数学理论支持[3,8-10]。另外，猜想的解可以回到Zandvliet 等人的各向异性的三维伊辛模型（即，两个交换作用小于第三个）的结果[12]，它与Fisher 在这个极限下的严格公式一致[13]。

我们可以从另外一个角度理解引入附加的维度的必要性。基本的问题是通常在量子统计物理中被忽视的一些关键点。为了引入热平衡的概念（严格地讲，是一个没有定义好（或多重定义）的概念），我们的伊辛模型由一个能使用统计概念的足够大系统的部分构成[14]。在一个量子统计系统中，除了对量子态的平均（期望值），我们还要对在一个系综中系统的几率分布求平均 [7,14,15]。系综为由无限弱的力联系在一起的m行和n列和l平面的（一个大数N个）相同的伊辛模型的整体集合。无限弱的力允许这些伊辛模型交换能量，但不贡献到系统的总能。即，一个物体的一部分与所有的事物相隔离，而物体的任何部分必须与作为一个热库用来定义温度的其它部分相平衡[15]。但是统计物理中的温度实际上是量子场论中的时间[7]，因为欧几里德时间间隔能被视为。配分函数Z = Tr 在薛定谔图象可以表达成 ,它仅仅是路径积分中的跃迁幅，因为我们有t = -i。这表明时间t是隐含在一个平衡系统的统计力学框架中的。 所以，我们得到一个暗示，三维伊辛系统的统计力学框架中应该包含时间，为一个 (3+1) 维的欧几里德时空。由于著名的映射[11]，对二维量子模型也是如此。

在量子力学中，任何时刻，一个真正孤立的系统的波函数能被表述成静态波函数_n一个完全正交集的线性叠加：，这里c_n 是一个复数，通常是时间的函数[15]。在量子统计力学中，波函数依赖于被考虑的系统的坐标和外部世界的坐标（这的确需要一个附加的维度）。_n 表示系统的正交静态波函数的一个完全集，c_n被解释为外部世界的一个波函数（依赖于其坐标）。所以，外部世界的第n个和第m个波函数的标量积(c_n, c_m)也是时间的函数。这意味着，大量的测量一个算符的平均值，瞬时地用它的期望值描述，的确依赖于时间，尽管在实验室我们测量的不是它的瞬时值，而是一个时间平均值[15]。当然，用优先等几率公设和随机相公设，系统的波函数可以被视为，其中随机的复数b_n 的相是用一个平均的方法计及外部世界的影响。必须强调的是，这种约化是有条件地合理的，系统必须与外部世界相互作用。否则，随机相公设失效，因为相的随机无非意味着没有几率幅的干涉，但这种环境不可能总是符合的，尽管可能在某一瞬间是满足的[15]。量子统计力学的公设可以被视为工作假设，其正确性由与实验的符合来评判[15]。这种观点是完全不令人满意的，没有一个严格的证明(见文献[15]中第184-188页)。所以，我们立即可以问一些问题：系统是如何与外部世界相互作用的（这可能与我们原先接受的无限弱的力有些不一致）？在应用公设时失去了什么？回答这些问题已经超出了本答复的范围。但是，上述讨论显示附加维的必要性，也暗示在评论[1]中存在缺陷。

综上所述，承认权重因子的选择仍有一些可以讨论的问题需要深入研究，我们已经争辩，能与高温展开吻合不是一个巧合，而与低温展开不一项项地吻合不能证明我们拓展到第四维处理扭结的新方法不正确。

作者感谢中国国家自然科学基金委员会的资助（项目号：50831006, 10674139 和50331030）。

参考文献：

[1] F.Y. Wu, B.M. McCoy, M.E. Fisher and L. Chayes, Phil. Mag. 88, 3093(2008).

[2] Z.D. Zhang , Phil. Mag. 87, 5309 (2007).

[3] C.N. Yang and T.D. Lee, Phys. Rev., 87, 404 (1952); T.D. Lee and C.N. Yang, Phys. Rev., 87, 410 (1952).

[4] L.H. Kauffman, Rep. Prog. Phys., 68, 2829 (2005).

[5] G.F. Newell and E.W. Montroll, Rev. Mod. Phys. 25, 353 (1953).

[6] Y. Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev. 115, 485 (1959); M.V. Berry, Proc. Roy, Soc., A392, 45 (1984); T.W. Barrett, Topological Foundations of Electromagnetism, (World Scientific, Singapore, 2008).

[7] A. Das, Field Theory, a Path Integral Approach, (World Scientific, Singapore, 1993).

[8] Ya. G. Sinai, Theory of Phase Transitions: Rigorous Results (Pergamon Press, Oxford, 1982) Chapter II; J. Glimm and A. Jaffe, Quantum Physics, 2^nd Edn. (Springer-Verlag, New York, 1987) Chapters. 18, 20; R.B. Israel, Commun. Math. Phys. 50, 245 (1976); M. Zahradnik, J. Stat. Phys. 47, 725 (1987).

[9] J.L. Lebowitz and O. Penrose, Commun. Math. Phys. 11, 99 (1968).

[10] R.B. Griffiths, Phase Transitions and Critical Phenomena, Vol. 1, edited by C. Domb and M.S. Green, (Academic Press, 1972) chapter 2.

[11] S. Sachdev, Quantum Phase Transitions, (Cambridge University Press, 1999).

[12] H.J.W. Zandvliet, A. Saed, and C. Hoede, Phase Transitions 80, 981 (2007).

[13] C.-Y. Weng, R.B. Griffiths and M.E. Fisher, Phys. Rev. 162, 475 (1967); M.E. Fisher, Phys. Rev. 162, 480 (1967).

[14] B.M. McCoy and T.T. Wu, The two – dimensional Ising model, (Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1973).

[15] K. Huang, Statistical Mechanics, (John Wiley & Sons Inc., New York and London, 1963).