对偶原理与曲点概念的提出

平面几何所讨论的点、线、面等几何对象，希尔伯特发现那些描述性的具体定义，本身在数学上并不重要；它们之所以成为讨论的中心，仅仅是由于它们与选择的公理的关系。因此，希尔伯特的公理体系虽然也从点、线、面这些术语开始，但达到了更深刻的抽象。

经过深入的几何类比，可以将无穷维组集合的每个无穷组看作一个“点”，它是一个有无穷多个坐标的“向量”，即希尔伯特空间也是一个内积空间。这种“空间”被理解为某类元素集合的变革，这些元素被称作“点”，它们之间受到某种关系的约束，这些关系被称之为空间的结构，“空间”仅仅是具有某种结构的集合，而“函数”的概念则被推广为两个空间（包括一个空间到它自身）之间的元素对应（映射）关系；其中将函数映射为实数（或复数）的对应关系，就是通常称的“泛函”。

微分几何开创时，曲面是在欧氏空间内考察的。高斯则提出一张曲面本身就构成一个空间，它的许多性质，如曲面上的距离、角度、总曲率等，并不依赖于背景空间，这种以研究曲面内在性质为主的微分几何称为“内蕴微分几何”。

1.对偶原理简介

对偶原理最先出现在射影几何当中，平面几何描述为：在射影平面中，把一个定理的“点”和“直线”对互换，然后其相对应的性质也替换后，得到的命题依然成立。该定理的证明极不容易，说到发现过程，我们要追溯到300年前的1640年，16岁的法国数学家帕斯卡（1623~1662），发现了著名的“六边形定理”。

Pascal六边形定理：如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，则该六边形的三对对边的交点共线。然后到了1806年的，法国一位大学生布列安桑，得到了另外一个著名的“六边形定理”。

Brianchon六边形定理：如果一个六边形的六条边都和一条圆锥曲线相切，则该六边形的三对顶点的连线相交于一点。

如果将“点”换成“线”，同时将“线”换成“点”，帕斯发现的对偶形式定理是：如果将一圆锥曲线的六个点看成是六边形的顶点，那么相对的边的交点共线。它的对偶形式则是：如果将一圆锥曲线的六条切线看成是一个六边形的边，那么相对的顶点的连线共点。

2.曲点概念的提出

笔者认为对偶原理的本质是直线与点全息，既然线由直线、曲线之分，那么点也有直点与曲点之分。只有认为曲点的存在，才可以理解函数在某一点的导数以及曲线在某点的切线。

曲线、曲面是数学造型的真正统治者，曲点既是与曲线、曲面同根生，那么掌握曲点首先得摸清曲线、曲面的基础定义体系。先不说黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离，流形上的曲线、曲面...，并以这些概念为基础展开对维流形几何性质的研究；在维流形上黎曼也定义有类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。

如果把“曲点”类比内蕴微分几何的曲面，也可以把一个曲点看成本身就构成一个空间，它的许多性质并不依赖于背景空间。黎曼1857年引入并发展了的代数函数论，使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破：黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念；运用这个概念，黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量：亏格。这也是代数几何历史上，出现的第一个绝对不变量。

其次，黎曼是把n维空间称作一个流形，n维流形中的一个点，可以用n个参数的一组特定值来表示，这些参数就叫作流形的坐标。在射影几何中，平面图形的“点”和“线”之间存在着异乎寻常的对称性。

联系曲点论物质族基本粒子质量谱计算公式，它揭示了夸克质量谱圆锥平台的共线性的存在；即帕斯定的对偶形式，在六种夸克对应的六种曲点空间也存在。以射影几何为基础的克莱因几何学的分类，几何学是统一于射影几何。克莱因的分类，还包括了当时的代数几何和拓扑学。克莱因对拓扑学的定义是：研究由无限小变形组成的变换的不变性。这里“无限小变形”就是一一对应的双方，连续变换。

英国物理学家里德雷说，简单的东西根本就不存在。如果把“曲点”看成是从曲线、曲面引伸出的概念，就像非欧几何是从欧氏几何衍生的学科一样，那么“曲点”量子力学也类似非欧几何是一种非量子力学，这并不是反对量子力学，而是量子力学的衍生学科。其道理是，里德雷说，石头是最简单的子弹，原始时代的军队大概会热心研究石头弹道曲线，但原始时代的物理学家不会去碰它，因为石头太复杂，表面一点也不规则，而五种规则的正面体却最简单；但规则的固体也有棱角，把那些棱角磨掉，就得到一个台球，所以原始时代的自然哲学家也喜欢球状石头的研究成果，这就是原子论、量子论的起源。

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