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从绳子张力角度分析滑轮组中拉力与重物重量之间关系

 摘要：首先给出了目前初中物理教材对于滑轮和滑轮组的有关表述，指出了从杠杆角度处理复杂滑轮组的困难，只有从绳子张力角度处理滑轮和滑轮组问题才抓住了问题的实质，笔者给出了一个基本假设，处理复杂滑轮组问题才更加简洁。文章对定滑轮、动滑轮、滑轮组尤其是联动滑轮组进行了分析，从简单到复杂：首先从理想滑轮组到考虑质量的滑轮组，然后考虑变速运动的滑轮组，最后从类比角度指出轻质弹簧、轻杆和轻绳一样不考虑能量，指出了有关文献对于轻质弹簧的错误认识。

关键词：滑轮组；张力；重量；轻绳

1.问题的提出

滑轮和滑轮组的使用已经超过千年，古典时期（古希腊） 阿基米德建立杠杆平衡法则（力×力臂平衡），但没有明确将滑轮等价为杠杆；《力学问题》、希罗仅从绳索段数总结省力关系，没有力矩分析框架。文艺复兴转折点（16 世纪末） 圭多巴尔多・德尔・蒙特（Guidobaldo del Monte）最早系统性把每一个动滑轮等效为第二类杠杆，尝试用杠杆平衡模型推导滑轮受力，是力矩方法研究滑轮组的开端。伽利略定型（《论力学》Le Mecaniche, 1600）。伽利略明确使用moment（矩）概念，严格论证：定滑轮是等臂杠杆，动滑轮为省力杠杆；整个滑轮组可逐层依靠力矩平衡分析，正式确立 “以力矩视角解析滑轮组” 的理论范式。经典力学之后牛顿力学建立，力矩（moment of force）概念规范化；后世教材形成通行结论：滑轮本质是连续转动杠杆，依靠轴上力矩平衡建立拉力与负载的关系，和绳张力分析形成两条互补思路。

现在初中物理教材对于滑轮和滑轮组主要表述如下：

定滑轮特点：不省力，但能改变动力的方向。(实质是个等臂杠杆)。

①定义：中间的轴固定不动的滑轮。②实质：定滑轮的实质是：等臂杠杆

③特点：使用定滑轮不能省力但是能改变动力的方向。④对理想的定滑轮(不计轮轴间摩擦)F=G。绳子自由端移动距离S(F)(或速度v(F))=重物移动的距离S(G)(或速度V(G))

动滑轮特点：省一半力，但不能改变动力方向，要费距离。(实质是动力臂为阻力臂二倍的杠杆)

①定义：和重物一起移动的滑轮。(可上下移动，也可左右移动)

②实质：动滑轮的实质是：动力臂为阻力臂2倍的省力杠杆。

③特点：使用动滑轮能省一半的力，但不能改变动力的方向。

④理想的动滑轮(不计轴间摩擦和动滑轮重力)则：F=(1/2)G只忽略轮轴间的摩擦则拉力F=(G(物)+G(动))/2绳子自由端移动距离S(F)(或V(F)=2倍的重物移动的距离S(G)(或V(G))

滑轮组：使用滑轮组时，滑轮组用几段绳子吊着物体，提起物体所用的力就是物重的几分之一。

①定义：由若干个定滑轮和动滑轮匹配而成。

②特点：可以省力，也可以改变力的方向。使用滑轮组时，有几段绳子吊着物体，提起物体所用的力就是物重的几分之一。

③动力移动的距离s和重物移动的距离h的关系是：使用滑轮组时，滑轮组用n段绳子吊着物体，提起物体所用的力移动的距离就是物体移动距离的n倍，即s=nh。

在滑轮组中拉力与物体重力大小之间的关系，一直是中学物理教学中的一个难点。教材中是这样叙述它们之间的关系的：在定滑轮中，拉力与重力相等；在动滑轮中，拉力等于重力的一半；滑轮组中，如果有几根绳子承担物体的重力，那么拉力就等于重力的几分之一。运用这种方法分析拉力与重力之间的关系，对于简单的滑轮组尚可以；对于复杂的滑轮组，尤其是含有联动滑轮的滑轮组则相当困难。如果我们设计两个半径不等半圆性的光滑滑轮上面平滑连接，固定在墙上，此时如果忽略绳子的重量以及摩擦等因素拉力也等于重力，如果从力矩角度分析难度很大。

但是，倘若我们从另一个角度分析滑轮组中拉力与物体重力大小之间的关系，这种困难就可以迎刃而解。由于拉力拉起重物的实质在于拉力使绳子产生张力，张力将物体拉起，只有从绳子的张力出发分析拉力和重力的大小关系才算真正抓住了其实质，教材中利用力矩分析虽然也是等效成立的，但是没有揭示其更本质的内涵，特别是当绳子的角度变化时张力为何基本不变，学生难以理解。

2.一个基本假设

力的大小、方向和作用点是力的三要素，但是必须本质地看待力的作用点问题，根据牛顿第二定律力必须作用在有质量的点上，文献[1]说明了轻质弹簧传递力，类似地对于轻绳而言力的作用点应该为重物。理想轻绳本身质量可忽略，但这并不意味着绳不能传递力。恰恰相反，在理想模型中，绳通过张力向其连接的物体施加约束力；由于绳的质量被忽略，不能将其作为独立的具有惯性质量的研究对象使用牛顿第二定律求取其平动加速度。

我们可以把牛顿第二定律和欧姆定律进行类比，合外力相当于电压，质量相当于电阻，加速度相当于电流。导线抽去电阻、电感等属性后用电器的电压等于导线两端的电压一样。类似于不考虑电阻、电感等属性的导线不能承担电压和消耗能量一样，轻绳不能单独承受力^[2]，也不能储存能量^[3]。

理想滑轮与滑轮组没有摩擦力，滑轮不能转动，需要从张力角度分析。为了运用张力分析平衡状态下滑轮组中拉力与物体重力大小之间的关系，给出一个基本假设：同一段轻绳，无论怎样缠绕，其张力大小是相同的。

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