地球系统力学动力学（3）

李务伦

吉林省煤田地质局二零三勘探队

第三部分  球层的形成及含球层的球内性质

这一部分主要解决球层产生的数理凭据，步骤如下：1、以下降力论述球层的形成及含球层的球内稳定与平衡，顺便讨论下降动力学；2、以上升力继续论证球层的形成及提出平衡定理；3、进一步分析含球层外球层异密度物上升力、下降力及浮力；4、给含球层球内引力强度、引力位、压力计算公式；5、总结出均匀物质球内性质Ⅱ。

1、引言

单一物质形成的球体具有均匀球内性质Ⅰ，对于多密度汇聚的太空球体，在物质可塑的情况下，物质的稳定平衡又该是怎样的呢？为什么地球是一个具有球层的天体？球层的地球是基于何种理论形成？产生球层的重力分异说该用怎样理论解释？具有球层球内部又具有怎样的性质？在球层形成的过程中又遍历了哪些动力学过程等？

万有引力定律出现于1687年。笛卡尔于十七世纪上半页，不知根据什么理论提出“组成地球的粒子按密度大小聚集，地球具有分层结构”^[1][2]；1712年出现如图3-1a示的，不知基于什么理论的水成地球模型^[1]。1909年莫霍洛维奇根据地震发现莫霍面，1914年古登堡根据地震发现古登堡面，这样以来地球内部三分--壳、幔、核为人们所认识。1936年莱曼提根据地震出地核两分假说，古登堡、杰弗瑞斯分别于1959年和1962年根据地震证实这一假说的成立；1963年到1975年布伦根据地震波的速度，提出地球内部内部划分为七个圈层，一个内核，其详细划分见表3-1^[2]和3-1b。

    通过上面简单对地球内部情况发现回顾，地球是一具有圈层和密度的由内而外的变小(见图3-2^[3])，然这种密度排列是基于什么理论形成的？在能收集到的资料中，也仅是类比于流体力学中上浮、下沉的一句分异而已。均匀大球中，具有球内性质Ⅰ，此时球内所有质点均处于平衡稳定状态，引力场强度、压力、引力位均呈球态展布。异密度的小球加入改变了这一状态，根据上升力定理和下降力定理，要么下降要么上升。运动的结果是什么？地球的圈层形成是否来源于此？重力分异是否来源于此？以及因小球运动大球内发生怎样的动力变化，并结合物质的黏度逐一讨论之。为了方便讨论圈层的形成，下面首先讨论小球下沉。

2、大球内小球的下沉

在大球内小球受到的力依据下降力定理，下降力的大小由式（2-8）i=2时计算得出。假设小球在大球内，在下降过程中粘滞力不足以束缚小球的下降，下降的小球最终的结果怎样才使得球内稳定呢？下面进行讨论。

2.1、小球下沉及最终稳定态分析

图2-4中的小球密度大于大球密度，小球具有向大球球心运动的下降力。而小球一但下降，要受到大球物质的阻碍，即粘滞力F_粘的作用。当粘滞力大于等于下降力时小球不会运动，以应力积累的方式稳定在原处，当小球的下沉力大于粘滞力小球才向球心运动。如果小球具用刚性，小球在下沉过程中保持球态不变，如果小球塑性小球下降过程中将变形。

刚性小球在下降过程中，根据图2-7、2-8和图2-10、2-11右侧图，由在开始的“负阳抱阴”最强烈。随着下降，“负阳抱阴”不断的改变，阳的部分不断扩大，阴的部分则逐渐减小，直至“负阳抱阴”消失。也就是这种过程一直持续到小球球心与大球球心重合，球层出现为止，这时因大球引力强度在O点为零，从而使得小球稳定在大球球心的位置。在小球下降的过程中，小球平行负增量在大球内，任意直径上，任意球面上，由最初的总体最小，则逐渐增大，到小球稳定在大球球心后达到最大。这是小球下降过程中，纵向上的变化。横向上，随下降由最初小球垂直负增量的最大，随下降则不断的变小，最后在小球到达大球球心后，小球垂直负增量部为零。小球在大球内向大球球心运动过程中，下降力随阴阳的不断变化下沉力而减小，当小球过大球球心，纵向上造成形成阴球部分的质量减少，横向上小球垂直负增量快速减小，下降力将快速减少，当小球球心与大球球心重合，下降力消失。总之小球的下降使得图2-4，刚性的小球因为小球下降变成为图3-3的形态。这一形态的存在，使得图3-3的球内内球的密度大于外球层的密度。

小球具有塑性，小球在下降的过程中，由于受大球粘滞力的作用，前部凸出，后部形成尾巴，即形成雨滴形态，其余的则与小球刚性时相同。

小球在下降过程中，根据下降力的形成过程，大球球内所有质点均受力，受力的大小不同，在小的周边则表现最为强烈，随着距离小球的距离增大，大球的质点运动逐渐减弱，最后可能见不到质点运动，但并不表示远距离的质点不运动，仅是忽略不计而已。在下沉过程中小球下顶部，首先排开底部物质，使物质沿小球球面仰冲，尔后由于小球后部的真空，仰冲物填补在真空的位置。

上面分析了小球的下降及稳定的位置，下面根据稳定的位置，进一步分析小球为什么会稳定在这一位置上。图3-3中，半径为r₀的小球内的引力强度，根据高斯定理为：

…（3-1）

密度为ρ为球层内球内引力强度计算。假设内球的密度也为ρ，球层内的引力强度为：

…（3-2）

由于假设小球的密度也为ρ，在半径r₀到R的球层任意点缺少了内球质量为4πr₀³(ρ₂-ρ)/3，在球层引起的引力强度，因此这一部分补上就可得球层上的引力强度。这部分质量引起的引力强度为：

…（3-3）

于是将式（3-2）、式（3-3）两式相加就得球层引力强度：

…（3-4）

有了式（3-1）和（3-4），根据矢量线的微分方程（1-3），可得到同式（1-5）一样的矢量线方程。因此，含一个球层的球内，球内性质是相同的，仅是多了内球的密度大于球层而已。这时的大球内引力场强度，压力、引力位同球面上值相等，球内任意点引力线方向均指向大球球心，含球层的大球内所有质点均处于稳定平衡状态。

2.2、小球下沉过程的不同角度得到的动力学

图2-4中小球的存在使得整体的质心位于大球球心的上部。这时小球无论刚性还是塑性，小球在下降过程中，首先表现为大球的质心由球心的上不断的靠近大球球心，如果给这种过程起一个名字的话，可叫质心动力学。第二、同球面上压力的差别不断的减小，横向上压力梯度不断地向零靠近，纵向上同球面上压力梯度趋于同值，如果给这种过程起一个名字的话，可叫压力梯度动力学；第三、同球面上引力位的差别不断的减小，横向上引力位梯度不断地向零靠近，纵向上同球面上引力位梯度趋于同值，如果给这种过程起一个名字的话，可叫引力位或引力位梯度动力学以及势能动力学等。第四、因受粘滞力的作用，同球面上不同地点表现为不同的应力积累，随小球的下沉，同球面上趋同趋向于零，如果给这种过程起一个名字的话，可叫应力积累动力学等。但应力积累的产生与大球的物质黏度有关，可见黏度也是一种动力作用，因此应力积累动力学又可称黏度动力学。第五、下降小球不断地改变球内引力场，如果给这种过程起一个名字的话，可叫引力强度梯度动力学或重力动力学。第六、从力的角度看，小球下降，横向力不断变小，但拱形桥的特点始终存在，因此又可得出拱形桥支撑力动力学等。上面提到的动力学，其根本在于大球内引力场的变化，或质点间相互作用力的系统表现，只不过是看问题的角度和选择的参数不同而已。尽管有如此多的动力学名称，但这些动力学动力过程是始终全球性同时遍历着的。

3、大球内小球的上升

在大球内小球受到的力理想条件下，小球密度小于大球，小球依据上升力定理小球上升。假设小球在大球内，在上升过程中粘滞力不足以束缚小球的上升，上升的小球最终的结果怎样？才使得系统稳定呢？下面逐一讨。

3.1、小球上浮及最终稳定态分析

图2-12中的小球密度小于大球密度，根据上升定理，小球具有背离大球球心运动的趋势。所以这样叙述，是因为小球上浮上升过程中，要受到大球物质的阻碍，即粘滞力F_粘的作用。当粘滞力大于等于上浮力时小球不会上浮运动，以应力积累的方式稳定在原处，当小球的上浮力大于粘滞力，小球才背向大球球心运动。如果小球具有刚性，小球在上浮过程中保持球态不变，如果小球塑性小球将变形。

刚性小球在上升过程中，“负阴抱阳”不断的改变，阳的部分不断扩大，阴的部分则逐渐减小，见图3-4。当小球与大球相切，小球受到的上升力达到最大。在横向上，横向作用随小球不断远离大球球心不断加强，这种加强到图3-4达到最强。在上升的过程中，小球的顶部不断排开大球的物质，过小球的中部，由于小球上升，小球的底部压力出现真空，顶部物质先是俯冲，尔后经小球中部补充到小球的后部。

而要使小球稳定在图3-4所示的位置，大球对小球的粘滞力或锁固力等于上浮力；粘滞力为零，要使小球稳定平衡在图3-4所示位置，应存在一半径为r₁的小球O₂，设密度也为ρ₁，该小球与大球O，小球O₁均相切于A点，如图3-5所示。如果此时处于平衡状态，上升力应等于大球对小球O₂的引力，减去多算小球质量对小球O₂的引力，即有以下平衡方程：

…(3-5)

式（3-5）中，左侧项为小球O₁与大球相切时的上浮力；右侧第一项为大球内小球的密度也假设为ρ时，大球与小球O₂的球的万有引力；而这一力大球内小球多计算了一部分引力，因此右侧第二项为球内小球多算质量与球外小球的引力。由上式可计算大球外小球的大小，整理后有以下关系：

…(3-6)

为方便后面的推导，对（3-6）进行整理得：

…(3-7)

在大球内小球不是太大的情况下，对式(3-7)两侧求R→∝的极限，即

计算得如下公式：

…(3-8)

由式（3-8）可以得出图3-5中球O₁和球O₂的体积比和质量比为：

…(3-9)

这一比值与时下传统流体中小密度物浮出流体部分和浸在流体中部分的体积比相同。这种相同表明：上述关于上升力、下降力及浮力的推导也是正确的。这是地壳均衡的根本理论基础，也应是普拉特和艾力计算补偿的理论根据^[4]38-40，因此将式命名为平衡定理。上升力和下降力除以小球质量，得小球的上升强度和下降强度：

…（3-10）

…（3-11）

从式（3-10）知，小球上升强度与大球球内大球引力强度存在比例关系，其比例系数为-(ρ-ρ_X1)/ρ_X1，这一比例系数与式(3-9)相差一个负号。这两公式也适用于异于流体密度物体，只是E（l）换成固定的重力加速度g，其余不变。

通过上面的推演，刚性的小球上升到与大球相切时，得到小球O₁平衡于球内的平衡条件。如果刚性的小球没有图3-5中的外部小球，小球将凸出于大球外，凸出的体积，在大球足够大时，凸出部分与浸入部分体积比为式（3-9）。

塑性的小球上升，由于粘滞力的作用，小球在上升的过程中，边上升边变形，形成倒雨滴状。过与大球相切点后，小球物质不断的涌出球面，这时涌出的物质就形成类图3-5中外小球物质。因涌出物质与大球内物质存在引力，这一引力对没有凸出的小密度物质形成阻力，同时形成类图3-6的引力场。从这图可以明了的得出球面合引力场不再指向球心，而是存在一定的夹角。这也与“早期普拉特1854年在喜马拉雅山附近一点，根据地形的计算，估计垂线28″的偏差，实测则为5″”^[4]39，结合式（3-9）应是重力均衡的较为妥贴的一种新诠释,同时也可证明固体中异密度物质存在浮力。涌出物质在后部上升力的作用下除上升外，由于塑性及出露物质点受力方向和值不同，小球O₂物质将延展于大球外部。而在开始沿大球面延展，之所以出现这种情况，是因为下面原因。

图3-6中，球O₁的小球正增量在大球中的展布已在第二部分中已详细陈述，在此不再叙述。而球O₂的引力强度在大球内展布，也可用小球正增量在大球内展布分析法进行分析。

球O₂的引力强度在大球内任意直径上也有两个分量，一个平行于该直径，一个垂直于该直径。为后面叙述方便，前者称为球外平行分量，后者称为球外垂直分量。球外平行分量大球内可划分为两个区域，一个区域为图3-6中圆O₄的内部分，一个为大球除去前者后的剩余部分。

图3-6的剖面图中给出了三个球的引力线展布形态，它们均指向各自的球心。球O₂在大球内的球外平行分量，根据小球平行正增量的分析方法，可分析出在O₄的圆内，球外平行分量的方向与大球引力强度方向相对；在O₄的圆外球外平行分量的方向与大球引力强度方向同向。前者造成造成大球引力强度的减小，后者则造成加强。球O₂在大球内的球外垂直分量，同样根据小球垂直分量的分析方法，可分析出在O₄的圆内，球外垂直分量的方向与与球O₁的小球正垂直增量正好相反。这些特点是形成图3-5、3-6取得平衡的条件之一，另外一个条件是O₁和O₂刚性，第三个条件是同密度下体积比为式（3-9）。

尽管在上述三条件下取得图3-6式的平衡。根据图3-6的引力场展布，依据物理原理可以推测出大球内任意同球面上的合引力强度、引力位、压力并不相等，也就是不符合均匀球内的性质Ⅰ，即存在不平衡的因素，这是一。而在图3-5、3-6的A点平衡方程式（3-6）的存在，大球面上除A点外，其余部位压力均为零，这是又一个不平衡因素，这是二。从以上两点看图3-6中所有质点均处于不稳定状态。而一旦大球和两小球的刚性降低或黏度变小，所有质点都将运动。假设大球物质的运动始终使大球保持为球形，而内外小球物质，在图3-6示的引力场的作用下内外小球的质点，在合力场的作用下受力。这种受力表现为，内部的小球质点在上浮力，外部小球质点在与大球内所有物质的相互引力作用下，所有物质向压力低地方沿大球面蠕动运移。但这种运移要受自身物质黏度的约束，根据自身黏度的大小情况形成中部厚向周边薄的最大球冠，如图3-7所示。

   这时在自身黏度约束下形成的图3-7的形态，但大球内的引力场的展布仍将存在类似图3-6的展布，只不过更为复杂，而图3-7的平衡也仅是暂时的，是在小密度物质黏度作用下的准平衡。根据前面小球下沉形成球层，而使球内的所有质点稳定平衡，要达到所有物质的平衡稳定，当小密度物足够多及相应物质黏度足够相应小，小密度物形成球层，小密度物才处于平衡状态。这时的平衡状态也可用式（3-3）、（3-4）描述其平衡，这时的球内，同球面上引力强度、压力、引力位相等。

3.2、小球上浮和圈层化过程的不同角度得到的动力学

小密度上升过程中与大密度小球下沉，存在同样的动力学：质心动力学、地压或地压梯度动力学、引力位或引力位梯度动力学以及势能动力学、应力积累动力学及重力动力学。但在小球出露大球面后，若小球物质是塑性的，小球物质将出现图3-7的状态。在形成这一过程中小密度的物质质点，依照合引力场的强度受力，沿大球物质的顶部水平展薄与蠕动或低角度滑移（马杏垣），伴随水平展薄与蠕动建立新的平衡和新的合引力场，同时大球表面物质也运动，伏于小球物质底部，直到在小球黏度的约束下达到最后的平衡。根据小球物的展布发生的特点，小球物质的存在水平运动和垂直运动。由于小球物质水平运动带有一定的厚度，从厚度着眼的话，可得出层流运动，甚至得出拱形桥的作用原理。而在小球物质最后达到圈层的过程中，质心动力学、地压或地压梯度动力学、引力位或引力位梯度动力学以及势能动力学、应力积累动力学、重力动力学始终相伴随且具有遍历性，这就看你以什么参数去衡量了。

另外需要交代的是，图3-7小球物质在大球外形成圈层过程中，在黏度允许的情况下，向四周的延展表现蠕动变薄，且由中部向四周厚度不断的减小，最前端又表现为图式的弧形状。这为大陆架、大陆坡、大陆隆的形成提供了理论根据。

4、多球层的球内小球受力分析计算

前面讨论了两种密度的物质形成的球，球内所有质点要稳定平衡，唯有形成同心球层。根据图3-4，小球密度小于大球，上升的小球在黏度和小球物质的量适度，最后的结局形成外球层；小球密度大于大球，下降的小球成为内球，原大球物质形成球层。这样以来，由三种密度构成稳定的球体，将形成其密度由内而外依次减小，由一个内球和两个球层组成的球，如图3-8（1）所示。由此可知，对于多于三种密度以上物质组成的球，如果所有质点达到稳定与平衡，必须形成由内而外密度依次减小球层球层。为了探讨多球层的球内性质，下面对如下两个问题讨论：一、含多球层的球内引力强度；二、多球层内任意球层上小球上升力和下降力的计算。

4.1、多球层的球内引力强度分析计算

由内而外密度由大而小的球内引力强度具有怎样的规律？下面通过图3-8推理找出含多球层的球内引力强度一般表达式。在图3-8（1）中，三种密度的物质形成两个球层一个内球，根据高斯定理，内球内任意半径上的引力强度为：

……（3-12）

式中M_1r为内球内半径为r的球的质量。

对于R₁到R₂的球层，球层上任意半径上的引力强度与式（3-4）相同为：

…（3-13）

式（3-13）中M₁为内球球质量、M_2r为密度为ρ₂的球层中半径为R₁到r球层的质量。对于R₂到R₃的球层，球层上任意半径r上的引力强度，根据（3-4）推导过程，内球的密度设为ρ₂，式（3-13）中ρ₁换成ρ₂，就为R₂到R₃的球层上任意半径r上的引力强度，但缺少内球质量在半径r上的引力强度，于是可有下面的表达式：

…（3-14）

（3-14）中M₂为R₁到R₂球层质量、M_3r为密度为ρ₃的球层中半径为R₂到r球层的质量。

图3-8

根据式（3-12）到式（3-14）以上的球内引力强度的推算，对于图3-8（2），可以推出半径为R_m-1到R_m的球层内的引力强度为：

…（3-15）

根据式（3-15），对于球密度具有ρ=ρ（r），密度随r的而变化的情况，球内任意半径r的引力强度具有如下的表达式：

……（3-16）

上面（3-13）～（3-16）式给出了含球层的球内任意点的引力强度。

4.2、外球层与小球位于内球的相互作用力

如图3-9所示，存在外球层，内半径为R₁外半径为R。外球层的密度为ρ₂，内球密度为ρ₁，小球密度为ρ_x1或ρ_x2，ρ_x1＜ρ₁＜ρ_x2。计算坐标原点选在O₁，图3-9的剖面与x轴的正向夹角为θ。图中小球与外球层所有质点间的相互作用力，与前面一样可用引力场和万有引力定律两种方法计算。小球的质量为，这一质量与AB或CD上任意位置上质点质量ρ2dv的相互作用力为：

…（3-17）

式（3-17）中r为小球心到质点的距离，是依据万有引力定律的计算，但稍加变化就变为就是小球引力场下质点的受力。在图3-9中，通过几何计算：

……（3-18）

图3-9存在对称性，式（3-17）在x、y轴上分量也存在对称性，合力在两轴上为零，所以仅需计算z轴上分量的合力即可。式（3-17）在z轴的投影为：

…（3-19）

式（3-19）各参数的取值范围，α∈[0，π/2]；θ∈[0，2π]。r的取值：r∈[,]∪[,]。

由于小球增量在AB和CD上方向相差180°，因而在z轴上合力为：

=0……（3-20）

从（3-20）可以看出，外圈层与小球间的相互作用合力为零，这与用高斯定理的意义相同，所以下面仅需计算最外球层，异球层密度小球受力即可。对于图3-9图示前面提到的稳定平衡力、稳定平衡支撑力、非稳定力、“升、降力”，根据上面的结论，外球层对其以上各种力贡献也都为零。图3-9图示的小球的以上各种力仅与内球有关，所以以上力分别为：

稳定平衡力：…（3-21）

稳定平衡支撑力(浮力)：…（3-22）

非稳定力：…（3-23）

上升、下降力：…（3-24）

4.3、多球层最外球层内小球的各种力的计算

4.2的陈述告诉我们，外球层对其以内的任何区域的作用力合力为零，所以下面的陈述不再涉及外球层。而对于处于多球层的任意球层上的异密度小球，其小球增量的变化是相同的，在第2部分中已详细陈述，故不再赘述。但同样存在以上各种力，所以下面仅讨论各种力的算法。

4.3.1、位于单一球层小球受到的各种力

如图3-10所示，小球位于外圈层内，圈层的密度为ρ₂，小球的密度为ρ_x1或ρ_x2，三者的关系为ρ_x1＜ρ₂＜ρ_x2，内球的密度为ρ₁，ρ₂＜ρ₁。图3-10b中，O₁M、O₁P为半径R₁的圆切线，OH⊥AD。O₁F=lcosα-(R₁²-l²sin²α)^1/2，O₁G=lcosα+（R₁²-l²sin²α）^1/2，∠OO₁M=sin^-1（R₁/l)。

图3-10

1、稳定平衡力的两种算法

①假设半径为R₁的内球的密度也为ρ₂时，小球范围的稳定平衡力为：

…（3-25）

这样以来内球质量少算，此时的小球的稳定平衡力也就缺少了这一部分质量的作用力。下面就计算这一部分。在图3-10a中，线段AD上E点取一体积dV，少算的质量为（ρ₁-ρ₂）dV，E处质点在小球引力场中受力为：

…（3-26）

根据图示的对称性，式（3-26）在x、y轴上的分量的合力为零，因此仅计算在z轴合力即可，所以式（3-26）的投影为：

…（3-27）

    式（3-27）各参数取值范围为α∈[0，sin^-1（R₁/l)]；θ∈[0，2π]。r的取值：r∈[lcosα-(R₁²-l²sin²α)^1/2,lcosα+（R₁²-l²sin²α）^1/2]。

对内球少算质量在小球增量场的少算力积分：

…（3-28）

式(3-25)和(3-28)相加得：

…（3-29）

在(3-29)式中，大括号中与式（3-13）相同，是O₁处的引力强度。

②图3-10中，假设半径为R₁的内球的密度也为ρ₂时，小球的稳定平衡力也为（3-25）。半径为R₁的球密度为ρ₂时，该部分对前面的稳定平衡力贡献根据万有引力定律为：

…（3-30）

所以外球层对稳定平衡力为（3-25）减去（3-30）

…（3-31）

密度ρ₁半径为R₁球对稳定平衡力贡献为：

…（3-32）

式（3-31）与（3-32）相加就为有一个球层稳定平衡力为：

…（3-33）

为R₁到l的圈层在半径为l球面引起的引力强度，内球在半径为l球面引起的引力强度，所以大括号中的项为大球引力强度与（3-13）相同。

2、稳定平衡支撑力(浮力)计算

稳定平衡支撑力与稳定平衡力是一作用与反作用力，稳定平衡支撑力为：

…（3-34）

3、非稳定力计算

非稳定力的计算过程与上面稳定平衡力的计算方法相同，表达式为：

…（3-35）

4、上升力、下降力计算

式（3-34）和（3-35）两式相加就得上升力和下降力：

…（3-36）

4.3.2、小球位于双球层及多球层的最外球层受的各种力

图3-11中最外球层的密度为ρ₃，小球的密度为ρ_x1或ρ_x2，三者的关系为ρ_x1＜ρ₃＜ρ_x2；R₂到R₁内球层的密度为ρ₂，内球密度为ρ₁。球层、内球的密度存在如下的关系ρ₃＜ρ₂＜ρ₁。

1、稳定平衡力

对于图示3-11小球区域处的稳定平衡力计算如下，假设图3-11内球的密度为ρ₂，这时小球的受力，根据式（3-33）为：

…（3-37）

上面因假设内球的密度为ρ₂，内球少算了如下的质量，这部分质量对小球的作用力根据式（3-28）得：

…（3-38）

式（3-37）和式（3-38）相加，图3-11小球区域的稳定平衡力为：

…（3-39）

式（3-39）中大括号为小球心处的引力强度，与（3-14）相同。对于如图3-8（2）任意一m球层上的划定一小球区域的稳定平衡力，根据上面式（3-29）、（3-34）、（3-39）三式的得出，可知为：

…（3-40）

式（3-40）中括号内为表示的引力强度与式（3-15）相同。

2、稳定平衡支撑力

稳定平衡支撑力与稳定平衡力是一作用与反作用力，式（3-39）、（3-40）对应的稳定平衡支撑力分别为：

…（3-41）

…（3-42）

3、非稳定力

图3-11中的小球密度ρ_xi（ρ_x1＜ρ₂＜ρ_x2）时，非稳定力为：

…（3-43）

若小球位于图3-8（2）m球层的，小球密度ρ_xi（ρ_x1＜ρ_m＜ρ_x2）时，非稳定力为：

…（3-43）

4、上升力、下降力计算

图3-11中的小球密度ρ_xi（ρ_x1＜ρ₂＜ρ_x2）时，上升力与下降力为：

…（3-44）

若小球位于图3-8（2）m球层的，小球密度ρ_xi（ρ_x1＜ρ₂＜ρ_x2）时，上升力与下降力为：

…（3-45）

通过以上的推求，可以发现各种力仅的表达式，都是质量乘以质心处的引力强度。也就是说前面从均匀介质中得出的共同作用定理、上升力定理和下降力定理及浮力定理，其各自的内容在球层内仍然适用，故不在单独给出其各自的含义。

4.5、位于球层间的异于上下球层小球的稳定

图3-12

如图3-12所示，小球的密度介于所栖球层和下球层的密度之间。根据上升力定理和下降力定理，刚性的小球要稳定，既不能稳定在内球层上，也不可能稳定在外球层上，而是稳定在图示的内外球层之间，如图3-12（1）所示，而图3-12（1）又可等效给出图3-12（2）。在图3-12（2）中，外球层所示的小球，因小球的密度大于外球层，因此存在下沉力；同样内球层的小球，因小球的密度小于内球层，因此存在上浮力，这时二力相等。这时的稳定对比图3-6和前述的小球下沉平衡稳定分析，如果小球刚性或上下球层黏度能够抵抗小球引力强度带来的应力，图3-12（1）的小球被锁定在图示的位置；否则，在小球物质足够多的情况下，小球物质沿内外球层分界面蠕动，最后形成新的球层，从而实现最后的稳定和平衡。但对于小球的物质不足以形成球层，在小球物质的内聚力作用下，最大的形成球冠等。而在小球沿内外球层分界面蠕动过程中，前面提到的动力学，在这里依旧出现，且这些动力学都具有全球性，故不再单独赘述。对于这种小球密度介于上下球层密度之间，且物质和黏度许可的情况下，小球物质最终将进行圈层化，将此称为圈层化平衡作用定理。

5、含同心球层及密度随半径变化的球内压力计算

在第一部分中推导均匀球内压力公式，下面推导多球层内压力计算公式。

5.1、含同心球层球内压力

如图3-8所示，从内而外密度逐渐变小，球内某一球层引力强度（重力）计算表达式为式（3-15）。有了上述表达式，根据前面的均匀球内压力计算方法，下面逐层计算球内压力。根据式（3-15），在最外球层内引力强度为：

  …（3-46）

图3-8最外圈层内如图1-5一样，取一面积微元ds，高度为dr＇，微体元质量为式为（1-20），于是式（1-21）中引力强度换为式（3-46）得：

…（3-47）

式（3-47）两侧同除以ds得：

…（3-48）

对式（3-38）从r到R_n积分得球最外球层内任意半径上的压力为：

…（3-49）

从式（3-49）中当r等于R_n-1时，外圈层在半径R_n-1的球面上的压力为：

…（3-50）

有了式（3-49）和（3-50）就可以讨论以下问题。

一、在式（3-49）中，R_n的大小如地球半径相同，质量与地球质量相同，当r=R_n-h十分接近R_n，，，于是该式变为：

…（3-51）

式（3-51）中M_球表示了具有同心球层的球的质量，所以乘号前的部分是引力强度，与式（1-23）相同。这也进一步表明时下使用的静水压力公式是一近似公式。对于地球内部的压力，根据式（3-49）和式（3-51）静水压力公式不具普遍性，式（3-49）不再是如式（1-23）的抛物线函数，而是更为复杂。

二、对于球层R_n-2到R_n-1内任一点压力计算可分为如下步骤计算。首先计算外球层物质对该球层外球面任意点压力，然后计算该球层在内部引力场下，任意半径上球面的压力。其前者为式(3-50),后者为式（3-49），仅是式（3-49）的n变为了n-1。因此球层R_n-2到R_n-1内任一点压力为：

…（3-52）

上式中当r取值为R_n-2时，半径R_n-2为的球面上压力，根据式（3-50）为：

…（3-53）

有了上述讨论，可以得出对于图3-8中R_m-1到R_m球层内任意点压力通式为：

…（3-54）

由式（3-54）可进一步推出内球R₁的压力为：

…（3-55）

通过以上讨论，得到了具有同心球层球内任意点所用的静压力公式。而通过上面的推求，可以进一步推求球内物质密度ρ=ρ(r)时球内压力的计算。

5.2、连续变密度球内压力计算

如图1-5所示，球内物质密度变化为ρ=ρ(x)，且随半径增大而减小，球内任意半径球面上的引力强度为：

…（3-56）

根据上面的计算方法，于是球内任意点有：

…（3-57）

式（3-57）两侧同除以ds得：

…（3-58）

由（3-58）可以计算球内任意深度的压力，下面就根据式（3-58）计算r₀≤r≤R对半径为r₀球面的压力为：

…（3-59）

通过上面的讨论，至此球内压力计算公式根据压力概念全部给出。

当r₀几近R，R又等于地球半径，r₀=R-h。在R-h到R的圈层内密度不变，即ρ(r)=ρ。

…（3-60）

…（3-61）

式（3-61）与式（3-51）相同，进一步证实目前应用的静水压力计算公式，是球内压力公式一种近似表达，它的根源是万有引力。后面附录了地球内部压力计算，供参考。

5.3、对压力的总结结语

通过上面的对压力P=ρgh的讨论，明白了目前中学教材中压力P=ρgh的计算仅是一种近似计算，从而对目前流行于教材中的压力有了更深刻的理解。笔者之所以有上面的讨论，是因为探讨地球动力学的需要。高中物理因数理基础不够，只能直接给出压力P=ρgh表达式让人们接受，在能接触到的资料中，大学普通物理中或大学地球物理教材中，对上述情况也没有解释。致使有不少学者为探求地球内部压力，给出了各种基于压力概念的不同计算公式，而这对于地学专业人来说，特别是想在地球动力学进行探索人来说，在思考构造动力时有可能形成障碍。

6、多球层球内、外引力位及重力势能由来

引力位是指在引力场中，单位质量质点所具有的能量称为此点的引力位，它的数值等于单位质量的质点从无穷远处移到此点时引力所做的功。下面根据这一定义分以下情况计算引力场中引力位，在引力位的基础上推导中学物理中重力势能公式来源。

6.1、球内、外引力位

球内、外引力位分以下三部分陈述：一、均匀球；二、含均匀同心球层球；三、由内而外密度逐渐减小的球。

6.1.1、均匀球球内、外引力位

均匀球球内物质密度不变，球内、外引力位有以下计算。

（1）均匀球外一点引力位计算

如图3-13所示，球内物质密度不变。球外任一点引力强度为：

…（3-62）

根据引力位的定义，单位质量在（3-62）式引力场中由无穷远到B点做功为：

…（3-63）

（2）均匀球内一点引力位计算

如图3-13球内任意点A的引力强度为：

……（3-64）

根据引力位的定义，单位质量在球内外引力场中由无穷远到A点做功为：

…（3-65）

6.1.2、含同心球层球球内、外任一点引力位计算

具有同心球层球内、外引力位计算如下。

（1）含均匀同心球层球球外任一点引力位计算

如图3-14所示，球外任意点B引力强度为：

…（3-66）

式中M_i表示均匀内球或球层的质量，r≥R_n，于是B点引力位计算如下：

…（3-67）

（2）含均匀同心球层球球内任一点引力位计算

（一）图3-14最外球层内A点引力强度为：

…（3-68）

根据式（3-68），图3-14中A点引力位计算如下：

…（3-69）

式（3-69）中当r_A=R_n-1得：

…（3-70）

（二）图3-14 R_n-2到R_n-1球层内如图中A点引力位

半径为R_n-1球的球面引力位为式（3-70），从图3-14 R_n-2到R_n-1球层内如图中A点到半径R_n-1球面引力位为：

…（3-71）

于是由式（3-70）和（3-71）得：

…（3-72）

当式（3-72）中r_A=R_n-2时，式（3-72）可变为：

…（3-73）

（三）图3-14 R_m-1到R_m球层内如图中A点引力位

根据上面（一）、（二）引力位的推算方法，对于R_m-1到R_m球层内如图中A点引力位为：

…（3-74）

由式（3-59）图3-14 半径R₁的球面上引力位为：

…（3-75）

（四）图3-14内球球内如图中A点引力位

根据上面（一）、（二）、（三）引力位的推算，对于内球球内如图中A点引力位既可以用（二）的方法推出，又可根据式（3-73）直接给出，结论为：

…（3-76）

根据式（3-76）可得球心引力位为：

…（3-77）

6.1.3、球内密度随半径变化的球内、外引力位计算

图3-13球内密度随半径变化，并由内而外逐渐减小，表达式为ρ=ρ(x)。

（1）球内密度随半径变化的球外引力位计算

图3-13所示，B点的引力位为：

…（3-78）

（2）球内密度随半径变化的球内引力位计算

图3-13所示，A点的引力位为：

…（3-79）

6.2、球内、外一点到球最外球面势能

中学物理中势能计算公式为：W=mgh。但该公式是怎样来的，笔者所能接触的资料中没有看到相应的理论解释，在之前的头脑中总以为势能是反复实验得出普适性的实验成果，但从上面对引力位的推算看，W=mgh应该能从数理理论上推出。下面根据以上的引力位球内、外一点到最外球面势能计算，并推出W=mgh。

6.2.1、球外一点距球顶面的势能计算

（一）如图3-13所示，均匀球外一点B到球面距离h的引力位差根据（3-48）为：

…（3-80）

由式（3-80）知质量为m的由球面上升到B点势能为：

……（3-81）

假设当上式中R与地球的半径相当，质量且与地球质量相当，且h远远小于R，于是由式（3-81）得：

……（3-82）

根据上面假设E_R相当于地球表面不大范围内重力加速度g的负值，约等于1，于是有：

……（3-83）

（二）如图（3-14）所示，含同心球层球外一点B到球面h的引力位差根据（3-67）为：

……（3-84）

由式（3-68）知质量为m的由图3-14的球面上升到B点势能为：

……（3-85）

由了式（3-85），根据前面的假设，也可得出式（3-83）的结论，故不再叙述。

（三）如图3-13所示，密度ρ=ρ(x)，根据式（3-78），B到球面距离h的引力位差为：

…（3-86）

由了式（3-86），根据前面的假设，也可得出式（3-83）的结论，故不再叙述。

6.2.2、球内一点距球面的势能计算

（一）如图3-13所示，均匀球内一点A到球面距离h的引力位差根据（3-69）为：

…（3-87）

有了式（3-71），根据上面的假设，同样可以得出式（3-83）结论，故不再重述。

（二）图3-14中最外球层球层内A点到最外球面距离h的引力位差根据（3-69）为：

…（3-88）

当式（3-88)中R_n的大小与地球的半径相当时，式和式均约等于1，于是式（3-88）可写为：

…（3-89）

有了式（3-74），根据上面的假设，同样可以得出式（3-68）结论。

（三）如图3-13所示，球内密度随半径变化即ρ=ρ(x)。球内一点A到球面距离h的引力位差根据（3-79）为：

…（3-90）

当式（3-90）中R与地球的半径相当，h又远远小于R，式（3-90）可由如下计算：

…（3-91）

有了式（3-91），根据上面的假设，同样可以得出式（3-83）结论。

（四）上面对各种情况下，讨论了中学物理势能公式理论由来，在讨论的过程中可发现引力位差公式中，当h较大时，重力势能是不可以应用式（3-83）进行计算，而是要根据具体情况进行具体计算。

6.2.3、对势能的总结结语

通过上面的对势能W=mgh的讨论，明白了目前中学教材中势能W=mgh的计算仅是一种近似计算，从而对目前流行于教材中的势能有了更深刻的理解。笔者之所以有上面的讨论，是因为探讨地球动力学的需要。高中物理因数理基础不够，只能直接给出势能W=mgh表达式让人们接受，在能接触到的资料中，大学普通物理中或大学地球物理教材中，对上述情况也没有解释。而这对于地学专业人来说，特别是想在地球动力学进行探索人来说，在思考构造动力时有可能形成障碍。

7、多球层的球内性质

通过上面的讨论，多密度物质的太空堆积，根据根据均匀介质中存在异于均匀介质密度物质根据上浮定理和下沉定理要么上升要么下降。上升或下降后，根据圈层化作用定理，最后的结局是形成图3-8(2)示的，存在一个内球多球层的密度由内而外逐渐变小的球体。这时球内任意点引力强度为式（3-15）。于是根据式（3-15）可计算出球内任意点压力和引力位以及引力线方程。但求出的压力方程、引力位方程，与均匀单一密度时相类同，引力线方程相同，而与后面要解决的问题意义不大，故不推求。

然根据以上的陈述以及球内性质Ⅰ，多球层的球体球内性质做出如下的归纳总结：

性质1：球内任意点引力强度方向均指向球心，该点引力线为过球心的直线；

性质2：球内等引力强度面、等压力面、等引力位面均为球形；

性质3：球内同球面上：引力强度值、引力位值、压力值处处相等；

性质4：球内同球面上，沿球面任意点引力强度、引力位、压力梯度横向各参数梯度为零；纵向上任意点上，同半径的任意点各参数上梯度值相等。

性质5：球内引力线与各参数等值球面垂直；

性质6：球内任一点的各向应力值与该点的压力值相等。

性质7：所有物质，由球心而外，按密度从大到小圈层展布。

这些性质存在，使得球内所有物质质点均处于稳定平衡状态。一旦这些性质中在球内任意一条不符合上述性质，球内的物质就会在上升力和下降力的作用下会做出调整。这些调整，根据共同作用定理，球内物质黏度允许，球内物质运动，这时可从不同参数的角度观测到不同的动力学现象。

这些性质应是“地球具有分层结构”的根源，是图3-1地球具有圈层构造，和布伦根据地震成果得出地球具有球层的理论依据。这些性质也适用一切天体，具有普适性。为区别均匀球内的球内性质Ⅰ，将上述总结出的含有球层的球内性质，称为球内性质Ⅱ。

8、对地球多球层形成及后造山的动力的解释

地球具有球层，在引言部分已将过往的实际探测得到成果进行了陈述，但为什么形成球层？过往的地球物理理论并没有给出数理理论上的解释，但有了上述陈述，地球具有圈层，不再是无源之水，无本之木。实际探测得到的地球具有圈层成果为上述理论成立提供了成果上的证实，而以上理论为地球具有球层提供理论支撑。从上一部分及本部分探究为分异的成立提供数理根据。

在没有球内性质，共同作用定理、上浮定理、下沉定理、浮力定理、圈层化平衡作用定理，以下被揭示地质问题：①古老造山带不存在山根；②新的造山带存在山根；③山脉垮塌；④山脉形成后发育伸展构造；⑤碰撞造山完成后，深部地质作用仍在继续；是难以解释成因。而现在则是对上述现象，可以做到有理有据。以古老造山带不存在山根为例，造山运动结束后，由于山根较凉，且以硅铝物为主，在地球内部的热作用下，硅铝物等塑性增加，根据上浮定理、下沉定理、圈层化平衡作用定理，该沉得沉，该浮的浮，该圈层化的圈层化，进而使得山根不断减小直至消失。在这一过程中发育伸展构造、山体垮塌等。

参考文献

[1]李三忠等  板块驱动力：问题的本源与本质  大地构造与本质  2019年第4期（43卷）35

[2]巫建华等  大地构造学概论与中国大地构造学刚要  地质出版社  2009年9月35

[3]周蕙兰  地球内部物理  地震出版社  1990年

[4]傅承义 陈运泰 祁贵仲  地球物理学基础  科学出版社  1985年

[5]李务伦 谈一谈地球球内压力的计算  https://blog.sciencenet.cn/blog-3433895-1441051.html  2024-7-5

[6]李务伦 李相通 中学物理势能的计算公式的理论推求  https://blog.sciencenet.cn/blog-3433895-1442788.html  2024-7-18

[7]李务伦 “谈一谈地球球内压力的计算”一文的地球内压力数据补充  https://blog.sciencenet.cn/blog-3433895-1445174.html   2024-8-5 

附录一  地球内部压力的计算

国外学者通过相应的地球物理已给出地球内部，不同深度下的密度展布^[3]。于是可根据这些密度数据，利用上面的公式，计算地球内部不同深度的压力。计算结果见表3-2。 

表3-2录取的地球内部压力计算方法叙述如下[周慧兰老师编著的“地球内部物理”(地震出版社，1990年92页)]：球内部引力强度或重力为：,该式中；球内部流体静压力。由以上公式通过积分，同样可得出式（3-49）、（3-52）、（3-54）、（3-55）压力计算公式。原表中压力数据和后计算数据，对比发现同深根据利用球层压力计算公式得度基本相同。由此可知，两种方法同等且有效。

    但是要进一步要说的是这仅是地球内部压力的最小值，这是因为地球外部为固体圈层，这一固体圈层具有橡胶气球具有相同的锁定内部物质的作用，因此是最小值；可又是最为接近实际状况的内部压力，这是因为不论内部物质是什么相态，一旦来自外部压力，大于内部物质的抗压强度，内部物质如流体一样，上述公式计算的压力不再有偏差，只要地球内部径向密度搞清，用上述公式计算得地球内部压力是最为接近实际状态。

附录二  地球吸积位能的计算

原始地球由星云物质吸积而成，在形成的过程中位能将集中到原始地球上，具有多少位能集中到原始地球，下面就原始地球均匀密度引力位能、原始地球具有均匀球层最大及最小位能做分析。下面以杨学祥老师^[6]研究为基础做陈述。

（1）均匀原始地球位能计算

由星云物汇聚形成原始地球，星云物质的位能是多少？假设星云物质均匀的情况下，做均匀原始地球位能粗估算。

假设存在一个密度为ρ，半径为r的球，其外存在密度也为ρ，球壳质量为。于是根据万有引力定律，两者间的相互作用力为：

…（1）

由式（1），质量为从无穷远到半径为r的球面，根据功的定义，半径为r的球得到的位能为：

…（2）

于是均密度为ρ物质，由无穷远汇聚形成的星体球，获得的位能为：

…（3）

由此公式可计算出平均密度为5.52g/cm³时，可算得均匀地球的地球的重力位能绝对值为2.24×10³²J。

（2）非均匀原始地球最大、最小位能的粗估算

假设星云物质依照密度由大而小，并将物质物质受压后密度增大一并考虑在内，而汇聚成目前的圈层状态，如图3-14所示，原始地球将获得最大位能，计算如下。

原始地球密度为ρ₁的内球获得的位能已有式（3）给出，其质量设为M₁。密度为ρ₂的星云物质汇聚为内球的第一个外圈层，其获得的位能计算如下：

假设半径为r的球，质量为M₁+4πρ₂(r³-R₁³)/3，球壳质量为。于是根据万有引力定律，两者间的相互作用力为：

…（4）

由式（4），质量为从无穷远到半径为r的球面，根据功的定义，半径为r的球得到的位能为：

…（5）

于是均密度为ρ₂物质，由无穷远汇聚形成的球层，获得的位能为：

…（6）

根据式（6）的推导，图3-8（2）球层R_m-1到R_m球层位能为：

…（7）

有了上述计算公式，根据现在得出的地球圈层成果，就可以求取原始地球最大引力位能；当假设含球层的原始地球，球层密度由内而外变大，则可求出原始地球最小引力位能，二者估算绝对值见表3-3。由表3-3可知，原始地球获得的最大总位能为2.470×10³²J；最小位能为2.099×10³²J；物质平均密度计算得的位能2.24×10³²J，它位于以上两者之间。 

    原始地球所获得的最小位能为2.099×10³²J，是原始地球位能计算上的最小理想下限；原始地球获得最大位能为2.470×10³²J，是原始地球位能计算上的最大理想上限，也是汇聚物质经分异后的最大引力位能。而事实上因各种密度的星云物质汇聚原始地球时存在随机性，因而原始地球最初获得的位能较为接近平均密度计算的引力位能2.241×10³²J。这一引力位能与最大引力位能2.470×10³²J相差2.2931×10³¹J，是一最大理想位能差。而这一位能差在原始地球汇聚过程中，以及后续的演化过程中，将不断的产生与形成。这是因为原始星云物的汇聚即是原始地球的形成过程，也是远离其它星体建立独立力学系统的过程。在新的力学系统中原始地球球内物质，根据均匀球内性质，球内物质没有实现物质的稳定与平衡，因而在上升力和下降力定理及圈层化定理作用下必然的最大结果。