Zmn-1365 薛问天: 只是【未涉及】並不是【不允许】，不能说定义域【就是】Δx≠0 。评师教民《1359 》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1359》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

只是【未涉及】並不是【不允许】，不能说

定义域【就是】Δx≠0 。评师教民《1359 》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，对师先生所犯的错误，把我明明对他的《1284》用跟帖进行了评论，他却错误地硬说【没有评论】和【不敢回复】。其实很简单，承认了所犯的这种严重违反事实真相的错误，从中吸取教训就可以了。师先生多次对此错误做出各种辩解和解辞，实在毫无必要也毫无意义。

师先生说他己经知道了，文后的跟帖是一种常見的【评论形式】。知道了就很好，知道了以后就不会再犯这种的【无知】带来的错该。就不会再把这种正大光明的评论可笑地看成是【偷偷摸摸地、不声不响地、不露声色地、不敢声张地】一种行为。

2，师先生说【薛问天先生放弃他与我应该讨论的函数Δy=AΔx+o(Δx)，β(Δx)=o[α(Δx)]（定义 域必为 Δx≠0）而大谈他与我不该讨论的函数 f (Δx)（定义域可为 Δx=0）就错误了】。要知道这正是师先的错误所在。师先生你根据什么说函数Δy=AΔx+o(Δx)，和β(Δx)=o[α(Δx)]的【定义域必为 Δx≠0】。要知道、Δy=AΔx+β(Δx)，β(Δx)=o[α(Δx)]，函数Δy是相对于自变量增量Δx的增量，Δx=0时Δy=0。无穷小函数β(Δx)在Δx=0时的函数值是β(0)。你根据什么说它们的定义域是Δx≠0。

师先生解释说【薛问天先生与我应该讨论的函数 β(Δx)=o[α(Δx)]的定义域必为Δx≠0 的理由见我的上篇论文的 2 中 1)．】。

要知道师先生《1348》2中的1)。是一段错误的言论，它不能成为【β(Δx)=o[α(Δx)]的定义域必为Δx≠0 的理由】。

我们来具体分析一下师先生是这么说的【经过一番论述、推导或操作后得：β 变成 β(Δx)，α 变成α(Δx)，β=o(α) 变 成 β(Δx)=o[α(Δx)]，β/α 变成 β(Δx)/α(Δx)．薛问天先生还在他的文章 Zmn-1328 中又承认了 β(Δx)，α(Δx) 都是Δx 的函数，所以 β(Δx)，α(Δx) 也都叫做无穷小函数．薛问天先生还在他的文章Zmn-1269 中举例说：【β(Δx)=ΔxΔx 是α(Δx)=Δx 的高阶无穷小】，从而得：Δx=α(Δx)=α≠0，即得 Δx≠0．这说明，上述的函数 β(Δx)，α(Δx)，β(Δx)/α(Δx) 即薛问天先生与我讨论的、极限理论中无穷小函数的公共定义域为 Δx≠0．】

师先生在这里根据β(Δx)，α(Δx)，是Δx的函数，是无穷小。再跟据α(Δx)=Δx的实例中，满足α≠0的耍求，即在Δx≠0时仍然有α(Δx)=Δx≠0。就断定出β(Δx)，α(Δx)的定义域是Δx≠0，是完全错误的。

要知道对此段论述我在《1349》中做了严肃的批判。〖这个认为【函数β(Δx)，α(Δx)，β(Δx)/α(Δx)......定义域为 Δx≠0．】的推论完全是错误的。对于无穷小α(Δx)=Δx，即函数α(Δx)=Δx，当然满足在Δx≠0时，α(Δx)≠0的要求，在这里并推不出函数α(Δx)=Δx的定义域为Δx≠0。所以师先生推出函数α(Δx)=Δx的【定义域为Δx≠0】是错误的推断。另外β(Δx)=ΔxΔx ，β(0)=0有定义，说函数β(Δx)【定义域为Δx≠0】也是错误的推断。一般来讲，在高阶无穷小的定义中，由定义中β(Δx)和α(Δx)是无穷小函数，推不出它们的【定义域为Δx≠0】来。〗

3，师先生说【满足Δx≠0 这个条件的函数 f (Δx)=β(Δx)/α(Δx) 说明，这个函数 f (Δx)=β(Δx)/α(Δx) 的自变量是 Δx≠0，即自变量 Δx 的取 值范围是Δx≠0 的全体实数．而自变量Δx 的取值范围就叫做该 函数 f (Δx)=β(Δx)/α(Δx) 的定义域，所以满足Δx≠0 这个条件的 函数 f(Δx)β(Δx)/α(Δx) 的定义域就是Δx≠0 的全体实数．这个函数 f (Δx)=β(Δx)/α(Δx) 的定义域简记作Δx≠0，这个整体函数 简记作 f (Δx)=β(Δx)/α(Δx) （Δx≠0）】

师先生的错误在于逻辑的不严密性。在Δx≠0的条件下f(Δx)=β(Δx)/α(Δx) 只是说明了这个函数的自变量在Δx≠0时的情况，並没有说明这个函数的自变量在Δx=0时的情况。你根据什么说这个函数的【自变量 Δx 的取 值范围是Δx≠0 的全体实数】呢？要注意【没有说明】只是【未涉及】並不是【不允许】。你只能说这个函数的定义域【包括了】Δx≠0 的全体实数，不能说这个函数的定义域【就是】Δx≠0 的全体实数。师先生的错误就在这里。因为定义域还有可能包括Δx=0。没有规定【不允许Δx=0】。

也就是说定义域定义为函数自变量的取值范围。严格讲是它的自变量的最大允许取值范围。

所以，薛问天先生说的【滿足这个条件的函数很多．它们的定义域並不都是Δx≠0】是正确的。【说它的定义域是 Δx≠0，是师先生的一个错误】。同时师先生说高阶无穷小 中的函数 β(Δx)，α(Δx)的定义域为 Δx≠0．这句话也错误．理由为：由高阶无穷小变量时规定的 α≠0，推不出函数 β(Δx)，α(Δx)乃至 β(Δx)/α(Δx) 的定义域是Δx≠0。

4，师先生的错误在于他一贯坚持【高阶无穷小变量的定义里的求极限 的函数 g (Δx)=β(Δx) /α(Δx)β(Δx) /α(Δx)（定义域为Δx≠0）．这个函数的定 义域只是 Δx≠0 的全体实数，不包括 Δx=0．】要知道，他这个观点的错误就在于他这个判定是毫无根据的。求极限的函数f(Δx)只是要求在Δx≠0时f(Δx)=β(Δx) /α(Δx)。並没有要求【这个函数的定义域只是 Δx≠0 的全体实数，不包括 Δx=0．】错误同样发生在认识上没有认清，只是【未涉及】並不是【不允许】。你只能说这个函数的定义域【包括了】Δx≠0 的全体实数，不能说这个函数的定义域【就是】Δx≠0 的全体实数。师先生的错误就在这里。因为定义域还有可能包括Δx=0。没有规定【不允许Δx=0】。

5 ，师先生说【没有敢对我的 2 中 1)里的理由进行反驳，而只是重复了自己的下述错误：定义域是Δx≠0 的 函数 g (Δx)和定义域不是Δx≠0 而是除含有Δx≠0 外还含有定义域是Δx=0 的 h (Δx)都是我们讨论的求极限的函数． 】要知道师先生《1348》2中的1)。之所以是一段错误的言论，就是它不能成为【β(Δx)=o[α(Δx)]的定义域必为Δx≠0 的理由】。因为师先生在2中的1)里断定其定义域是Δx≠0是毫无根据的。我所进行的反驳就是问你【你根据什么说它们的定义域是Δx≠0。】

师先生解释说【薛问天先生与我讨论的函数是极限理论定义的高阶无穷小变量中的求极限的 函数．极限理论在定义该函数时，规定了α≠0．薛问天先生通过他的论述和操作，由α≠0 推导出Δx≠0，即推导出Δx 的取值范围≠0，亦即 g (Δx) 的定义域为Δx≠0．也就是说，薛问天先生与 我讨论的、极限理论定义的高阶无穷小变量中的求极限的函数的 定义域为Δx≠0．】

这是在【风牛不对马嘴的狡辩】。定义中α≠0的要求明明指的是在 Δx≠0时α(Δx)≠0，怎么变成【亦即g(Δx)的定义域为Δx≠0】了。这当然是师先生的胡言乱语。哪里是什么逻辑推论？

6，没有具体讨论的问题，所以就不与回答了。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】