Zmn-1350 黄汝广 : 答Zmn-1345 余月半

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答Zmn-1345 余月半：

黄汝广

一、关于看书不仔细

我的那个东西本来是要发言用的一个提纲，可能是比较简略了一些，但还不至于像这位朋友所指责的那样说看书不仔细。于是我就只好把张锦文的《公理集合论导引》再翻出来。

在书中第9页“V={x∣x=x}”下面的原文是：“这里，x是指任意的对象，它可以是集合，……”既然是指任意对象，当然可以是集合，但这并不意味着必须是集合。这位朋友说前面有讲小写字母默认指集合，则显然是这位朋友自己看书不仔细了（或许这位朋友的版本与众不同？）：1）、在书中第1页，白纸黑字：“通常用大写字母表示集合，……，用小写字母表示元素，……”；2）、在书中第3页，白纸黑字：“应当注意，在原则2中不能取真类为x或y，……”，这里说的只是在原则2中！如果是普遍如此就没有必要特意说是在原则2中，而且这么重要关键的东西如果是普遍的，不是更应该纳入公理之中么？

当然张锦文的表述确实有点暧昧，也许他心里默认了对象只能是集合，但是他却又不直接表明，仍然使用“任意对象”，或许他自己也明白：如果直接表明对象只能是集合，而他前面又说集合没有严谨的数学定义，这就意味着可以作为对象的集合其实是没有严格的判断依据的，而这就很容易导致有意或无意的偷换概念——比如罗素悖论，显然就是把真类和集合混为一谈了。为什么会如此呢？因为集合没有严谨的数学定义！在这种情况下，即便类有严谨的数学定义，而作为类中不是集合的真类，也依然和集合一样没有严谨的数学定义！所以，真类的概念其实没有什么实质意义。

实际上，我认为塔尔斯基已经说的很清楚了，类就是集合（没有什么真类），但是类是分层级的，罗素悖论的根源即在于把不同层级的类（集合）相混淆或者说偷换概念。另外，对于关系“∈”或“∈/”，其前面的是元素（个体），后面的是集合，元素与集合更是两个不同的层级，说“x∈x”或者“x∈/x”的都是逻辑感太差，混淆了层级！按照罗素或塔尔斯基的类型层级理论，所谓真类其实就是更高一个层级的类，但它们仍然可以作为元素来组成比它们更高一个层级的类，而不是不能作为类的元素对象。相比于真类概念而言，层级概念有一个显著的优点：即使集合没有严谨的数学定义，其层级概念仍然是清晰的——任一集合比作为其元素的集合高一个层级。

张锦文说：罗素悖论表明应当修改概括原则——“对于描述或刻划人们直观的或思维的对象x的任一性质或p(x)，都存在一集合S”——其中“存在一集合S”改为“存在一类S”。其实按照修改后的概括原则，仍然无法避免罗素悖论（把书中第2页相关部分的“集合”换成“类”即可），按照引入“真类”的逻辑，只好再引入“真真类”之类，以至于没完没了，陷入恶性循环。而且，按照修改后的概括原则，并不能由此得出真类不能作为类的元素的推论（难道真类不是人们直观的或思维的对象？还是说真类没有任何性质？）换言之，真类不能作为类的元素是独立于概括原则而额外地强硬塞入的，既然它这么必不可少，为什么不作为公理呢？

此外，按照这个修改后的概括原则，以及所谓的真类与集合的区分，张锦文关于“原则1 存在着一个空集”的论述其实就是一个循环论证：任一对象x总是与自身相同，即x=x，满足x≠x的对象是不存在的，所以由x≠x经概括原则决定的类就是空类；空类可以作为一对象形成集合，所以，空类是一集合，即空集。上述论述在分号之前没有任何问题，但是你怎么证明空类不是真类呢？说“空类可以作为一对象形成集合”实际上是武断地排除了其为真类的可能性，而将其直接归为集合了，然后再“所以，空类是一集合”，看上去好像有理有据，其实只是同义反复的循环论证而已。

其实，张锦文完全没有搞明白概括原则的问题所在。概括原则之所以导致问题或悖论，一是因为没有事先明确论域（也即所概括对象的范围），二是把所谓性质一词随意泛化，居然把“x∈x”这种混淆层次的错误东西也当做所谓性质了。对于概括原则，事先确定性质所作用的论域是非常必要的，比如性质或条件“x^2<0”，如果论域是实数范围，那么得到的是空集，如果论域是复数范围，则得到的就不是空集了。换句话说，真正的概括原则其实只能是公理化集合论所谓的子集合分离原则！

二、关于说谎者悖论

这位朋友说我的分析是偷换概念，他认为《“本语句为假”》的否定是《“本语句为假”为真》，那么按照这位朋友前面所说的，把“本语句为假”记作P，则《P》的否定是《P为真》？搞笑的吧？

要说偷换概念，“本语句为假”的“本语句”如果就是指“本语句为假”，这本身就是偷换概念：令“本语句”=X，则“本语句为假”=X为假，“X”=“X为假”？这不睁眼说瞎话！这个关于偷换概念的分析我曾在其他地方发过，所以在这个提纲里就未再提。

“本语句为假”的否定只能是“本语句为真”，而且如果要坚持“本语句”的自指含义，那么“本语句为真”的“本语句”就只能是指“本语句为真”；如果还是指“本语句为假”，那么“本语句为真”的“本语句”就不再是自指而是他指了！把一个本来自指含义的代词来进行他指，这不是偷换概念？

我还发过另外一个观点，即凡是代词通过代入而不能消去的都不是命题；如果“本语句为假”的“本语句”就是指“本语句为假”，带入后则“本语句为假为假”，代词仍然存在，这个代词永远不可能通过代入消去！

而且对于一个含有代词的命题，通过把代词所指代的对象代入进去，是一个等价代入，因而此命题的真值不应该因为等价代入而改变。如果“本语句为假”真是一个命题，那么通过把其中代词所指代的对象等价代入，则得“本语句为假为假”，实际也即“本语句为真”。注意，因此不管“本语句”到底是指什么东西，代入并不会改变它，必然还是同一个东西，真值不应该被改变；然而，事实却是等价代入居然将它由假变真了！逻辑学的代入规则都得重写了吧？！

三、关于有穷推无穷及对角线法

一一对应比较集合元素多少，只适用于有穷不适用于无穷，这最早是伽利略的结论。然而到了康托尔，硬是将一一对应由有穷推广到无穷，反过来却说伽利略错了。这对于那么些理屈词穷，最后只能说别人犯了有穷推无穷的错误，不是极大的讽刺么？你们也太双标了吧？

对角线法所要求的一一对应的实质，就是要求行数等于列数，也即数的个数等于位数，只有一进制这才是可能的，其本质上是否定数的多进制，当然不适用于多进制。这一点，脑袋转不过来弯的话，完全是鸡同鸭讲，多说无益。

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