科研如同修炼。一个人可以修炼到不同的境界。境界高导致视野开阔、心境通透。修炼的方式有多种，佛教有入禅定、打坐、冥想等。道家修炼功法有心斋、导引、吐纳、听息、守静、存想、守一、辟谷等。当然，我们做科学研究，并不拘泥于这些形式，可以随时随地“修炼”。无论是宗教还是科学研究，修炼的目标都是悟道，参悟到大自然非常高深的道理。我们可以从不同的道路（师从不同“门派”、“教派”或“学派”）进行悟道。由于我们面对的是同一个大自然，所以最后悟到的道理是相通的，也就是异途同归。只不过作为科学家，我们需要用科学的语言阐释大自然的“道”。

在从事科学研究（修炼）的过程中，一个非常重要的现象就是灵感的获得。灵感的产生需要经过非常奇妙的酝酿过程：一个问题长时间缠绕在大脑中，混混沌沌，有一种恍兮惚兮、似堵非堵、似通非通的感觉，突然灵光一现，虚无缥缈、瞬息攸变，转瞬即逝，具有突然性、偶然性、随机性。用一个字来形容灵感来临之前五花八门的状态：潜，空，虚，无，。。。根据大呆的体验，可以在不同的场景随时出现灵感，在吃饭、走路、洗漱、睡觉等，可以在出差途中、出席会议、学术讨论、休闲聊天等。用一个字来形容灵感来临之瞬千奇百怪的状态：闪，涌，冒，飘，降，临，现，游，感，。。。灵感的产生又具有一定的必然性。起决定性作用的是当事人的态度。最重要的是人的状态，需要全身心地投入到问题中去，与问题（大自然）融为一体，此所谓“天人合一”。首先要起心动念，发起探究真理的念头，坚持一定能够解决问题的信念，持之以恒地思考，萦绕在心中，以金石之心形成心流。在天时地利人和的和谐氛围中，灵感会自发产生，弱如萤火，细如游丝，快如闪电。这时候需要及时地抓住灵感，记录下来，并进行拓展，发展成一个可以进行推演的物理思想或者具体操作的计算方法以及实验方法。通常灵感是智慧的火花，大都是正确的，但是仍然需要做正确性的鉴别，去伪存真。

本博文的出场人物：外尔、杨振宁、米尔斯

赫尔曼×外尔(Hermann Weyl, 1885年11月9日-1955年12月8日)，德国数学家、物理学家。外尔发表了《论特征值的渐近分布》，证明拉普拉斯在紧致域中的特征值按照外尔定律分布，提出了一个基于变分原理的证明，开创了现代分析的特征值渐近分布领域。出版了《黎曼曲面的概念》，统一地处理黎曼曲面，利用点集拓扑使黎曼曲面理论更加严谨。在矩阵表示方面发展了紧群理论。提出外尔方程，用于替代狄拉克方程，描述无质量的费米子。提出黎曼几何中的外尔张量，对理解共形几何的本质非常重要。将标架(vierbein)的概念引入广义相对论。

杨振宁1922年10月1日出生于安徽省合肥县（现肥西县）。长期从事粒子物理学、统计力学和凝聚态物理等领域的研究。1951年推导出二维伊辛模型的自发磁化强度精确解，得到1/8的临界指数。1952年与李政道合作进行相变理论的研究，通过解析延拓的方法研究巨配分函数的解析性质，发现其根的分布决定状态方程和相变性质，证明了单位圆定理，指出吸引相互作用格气模型的巨配分函数的零点位于某个复平面的单位圆上。1954年与R.L.米尔斯合作提出非阿贝尔规范场理论。1956年与李政道合作提出弱相互作用中宇称不守恒定律。1966年提出杨-巴克斯特方程是量子可积系统和多体问题的重要条件。

米尔斯（Robert Laurence Mills），1954年与杨振宁合作建立非阿贝尔规范理论。后来任俄亥俄州立大学教授，离开了高能物理，和库珀（Leon Cooper）一起研究凝聚态。出版《Propagators for Many-Particle Systems and Space》、《Time and Quantra》两本书。

1918年外尔在《空间、时间、物质》中追踪相对论物理学的发展，引入了规范的概念，给出了规范理论的第一个例子。“规范”(gauge)这个词听上去比较高大上，实际上也不怎么神秘。翻译成中文有“测量、尺度”的意思。说白了，就是“坐标”。规范变换就是一种满足一定条件的坐标变换。在函数中出现相因子的变化。在规范变换后体系的能量等物理性质保持不变，则称这个体系具有规范不变性。在许多物理体系都存在规范变换不变性，例如，电磁场理论。阿贝尔规范理论与非阿贝尔规范理论的区别在于，拉格朗日公式中的算符对易不对易，算符的对称性决定了规范理论的物理性质。通常两个数相乘ab=ba，对易，阿贝尔；两个矩阵相乘AB=/=BA，不对易，非阿贝尔。当然，在特殊情况下，矩阵相乘也可能相等AB=BA，对易，阿贝尔。

非阿贝尔规范理论成为物理学具有广泛研究兴趣的焦点，这是由于其在理解基本物理过程（如电弱相互作用的量子味动力学、强相互作用的量子色动力学）的中心地位。1954年杨振宁和米尔斯发表发表非阿贝尔规范理论。从数学观点看，该论文是从描述电磁学的阿贝尔规范场论推广到非阿贝尔规范场论。在此基础上，格拉肖、温伯格和萨拉姆统一了电磁相互作用和弱相互作用，这里规范场为无质量光子，假定有质量的矢量介子为弱相互作用的媒介。在电弱理论中，通过希格斯机制利用自发对称性破缺引入质量，发展成标准模型。对于强相互作用理论，动力学模型必须满足在短距离条件下作用力可以被忽视，即所谓的渐进自由。从而，与夸克耦合的SU(3) 杨-米尔斯场（量子色动力学）提供了唯一可能与高能轻子-核子散射实验相容的理论框架。为了理解夸克禁闭的夸克模型，我们需要一个从弱短程力变成强长程力的理论。已知的理论中非阿贝尔杨-米尔斯规范理论是唯一具有这种特征的理论。从物理观点看，发展出新的相互作用的基础规则，用杨-米尔斯理论可以描述弱电相互作用和强相互作用。但是，杨-米尔斯场方程从来没有被精确求解，甚至是经典的杨-米尔斯场理论。

格点规范场理论可以用来模拟杨-米尔斯规范理论在晶格空间极限下的一些性质。Wegner在1971年发明了伊辛格点规范场理论。Z₂格点规范场理论是格点规范场理论中最简单的一个，因为与其他对称性U(1)、SU(2)和SU(3)比较，Z₂ 是最简单的对称性。我们将对一个Z₂格点规范场理论的长程性质感兴趣，假定有效耦合强度足够大从而可以使用威尔逊的强耦合方法。通过引入空间晶格引入紫外截断。这个方法破坏了相对论场理论的时空对称性，所以我们研究的格点规范场理论不是真正意义上的杨-米尔斯规范理论。当然，依照威尔逊，我们主要对强耦合规范理论的规范不变性感兴趣。注意到这一点，我们确信三维Z₂格点规范场理论的精确解在物理上非常重要，不仅仅是理解模型本身的性质，而且对理解其他对称性U(1)、SU(2)和SU(3)的三维格点规范场理论的基本特征。到目前为止，没有人报道三维Z₂格点规范场理论的精确解。

图13，一个简单立方晶格（黑色实线）与它的对偶晶格（蓝色虚线）。

图13展示一个简单立方晶格与它的对偶晶格。黑色实线表示原始的三维伊辛模型晶格，顶点上圆点表示的伊辛自旋进行双自旋相互作用，边线中间点上空心方块表示的Z₂规范自旋进行四自旋相互作用，这两个模型对偶。Z₂规范自旋进行四自旋相互作用，其效应可以用在原始的三维伊辛模型晶格的体心上空心圆圈表示的伊辛自旋描述，这些自旋构成一个蓝色虚线表示对偶三维伊辛模型晶格。所谓的对偶关系就是黑色实线表示的原始三维伊辛模型与蓝色虚线表示的对偶三维伊辛模型之间的对偶。进一步，蓝色虚线表示的对偶三维伊辛模型，边线中间点上黑色方块也表示一个对偶的Z₂规范自旋一个模型。为了更好地展示对偶关系，在图14(a)中显示三维伊辛模型晶格与三维Z₂晶格规范理论晶格之间的对偶，同时在图14(b)中三维伊辛模型一个链上两自旋相互作用与三维Z₂格点规范理论一个小匾(plaquette)上四自旋相互作用之间的对偶。并且，我们将图13中的四个模型分解开画成图15中的四个模型，它们形成一个对偶循环。

图14，(a) 三维伊辛模型晶格与三维Z₂格点规范理论晶格之间的对偶。(b) 三维伊辛模型一个链上两自旋相互作用与三维Z₂格点规范理论一个小匾上四自旋相互作用之间的对偶。

图15 三维伊辛模型与三维Z₂格点规范理论之间的对偶。从左上角、右上角、右下角、左下角的四个模型依次为：三维伊辛模型、三维Z₂格点规范模型、三维伊辛对偶模型、三维Z₂格点规范对偶模型

Z₂对称性就是在空间沿着上下两个方向具有对称性。伊辛自旋有两个数值+1和-1，分别代表自旋向上、向下两个方向，所以伊辛自旋具有Z₂对称性。三维伊辛模型和三维Z₂格点规范场理论均具有整体的Z₂对称性。也就是将模型中所有的自旋都翻转180度，体系的能量保持不变。三维伊辛模型和三维Z₂格点规范场理论中还存在局域的Z₂规范对称性。在三维伊辛模型格点n上的一个局域规范变换可以被定义为：将与格点n相连的键上的所有自旋进行翻转操作。这个自旋翻转操作可以在模型的所有格点上进行，而保持体系的作用量不变。所以，模型中形成一个巨大的规范不变群。具有这个规范对称性的非平庸作用量包含晶格中沿着小匾一圈的自旋乘积。

三维Z₂格点规范场理论的精确解是与三维伊辛模型精确解同等难度的问题。大呆首先分析了三维伊辛模型、三维Z₂格点规范场体系中非局域效应的起源以及对物理性质的贡献。非局域效应起源于晶格的三维特征与量子统计物理中使用的转移矩阵的二维特征的矛盾。所以，非局域效应是三维多体相互作用体系的本质特性。根据三维Z₂格点规范场理论与三维伊辛模型之间的对偶关系，利用前期工作中求出的三维伊辛模型精确解直接推导出三维Z₂格点规范场理论的精确解。通过运用如下的对偶关系

求出三维Z₂格点规范场理论的配分函数、居里点、自发磁化强度、自旋关联、临界指数等物理性质。三维Z₂格点规范场理论的居里点由K^* = 3K确定, 为,即1/K^*_c = 1.38539128…我们求出的三维简单立方伊辛模型居里点精确解在黄金点，而三维简单立方Z₂格点规范场理论的居里点是黄金解的三次方。三维Z₂格点规范场理论的临界指数与三维伊辛模型为同一个普适类：a = 0, b = 3/8, g = 5/4, d = 13/3, h = 1/8和n = 2/3。我们还讨论了三维Z₂格点规范场理论以及三维伊辛模型的基本问题，如维度、对偶性、对称性、流形、简并态等。讨论了与超流、超导、粒子物理的联系。并且，从拓扑、几何、代数的角度讨论了三维Z₂格点规范场理论的物理意义和数学结构特征。本项工作再一次表明三维伊辛模型精确解可以推广到许多物理体系。

三维Z₂格点规范场理论精确解的论文最近发表在arXiv: 2412.10412。有一位法国的著名物理学家，在重整化群理论模拟方面取得一些新进展，是这一方面的 “牛人”。我的论文发表后，他立即通过email与我联系，进行了一轮学术交锋。具体的情形请见下回《终结猜想-35-学术交锋》。

相关论文：

          1,提出两个猜想：Z.D. Zhang, Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

       2,初探数学结构：Z.D. Zhang, Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

3,证明两个猜想-克利福德代数方法：Z.D. Zhang, O. Suzuki and N.H. March, Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12. https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2

4,证明猜想1-黎曼-希尔伯特问题方法：O. Suzuki and Z.D. Zhang, Mathematics, 9 (2021) 776. https://doi.org/10.3390/math9070776

5,证明猜想2-黎曼-希尔伯特问题方法：Z.D. Zhang and O. Suzuki, Mathematics, 9 (2021) 2936. https://doi.org/10.3390/math9222936

6,自旋玻璃三维伊辛模型计算复杂度： Z.D. Zhang, J. Mater. Sci. Tech. 44 (2020) 116.  https://doi.org/10.1016/j.jmst.2019.12.009 

7,二维横场伊辛模型的精确解：Z.D. Zhang, Physica E 128 (2021) 114632. https://doi.org/10.1016/j.physe.2021.114632

8,拓扑量子统计物理和拓扑量子场论： Z.D. Zhang, Symmetry, 14 (2022) 323.

https://doi.org/10.3390/sym14020323

       9,布尔可满足性问题计算复杂度，Z.D. Zhang, Mathematics, 11 (2023) 237. https://doi.org/10.3390/math11010237 

     10. 黎曼z函数与伊辛模型零点分布的等价性：Z.D. Zhang, arXiv:2411.16777.

https://arxiv.org/abs/2411.16777

11. 三维Z₂格点规范场理论精确解：Z.D. Zhang,arXiv: 2412.10412.

https://arxiv.org/abs/2412.10412