摘要   微积分中的微分与积分蕴含着微观与宏观的对立，通过对微积分理论的分析与解读发现二者间的统一关系。微分与积分的统一实际上包含了微积分基本公式的论证思路，微观与宏观相统一的科学思想最早在古希腊哲学家毕达哥拉斯那里有朴素的表达，这一思想促使人们去解释理论与现实的联系问题。

关键词：微分与积分，微观与宏观，毕达哥拉斯学派，理论与现实

微积分的研究对象是函数，函数y=f(x)是将数x变为y的一个映射，也可以认为这个映射表达了两个数x,y之间的某种关系。微积分最重要的结果是Newton-Leibniz公式，这个公式其实明确地表明了函数及其原函数之间的关系，微积分的发展从最初的的两个数之间的对应关系出发，最终达到了对两个函数之间关系的清楚认识，前者是微观的，后者是宏观的。微积分的微观与宏观相统一的思想贯穿于微积分理论的论证进程中。

一、微分与积分的基本内容

   微积分的微分与积分相互对立的理念在龚昇教授的《简明微积分》中有刻意的安排，微积分主要研究的是连续函数和可微函数，这从基本公式中可以看出来。对连续函数的讨论从数列的极限开始，数列可以认为是一个特殊的函数，一个定义在自然数上的函数，当把定义推广到实数上便获得了一般的函数。当自变量趋于无穷时，这个数列函数有极限；而对于函数，则表示实数附近的一种无限逼近，在确定的有限的点附近存在“无限趋近”这一事实包含了“有限中可能蕴含无限”的思想，当然这是通过较自然数更为复杂的实数实现的。极限可以定义函数的连续性，表明一个点附近的点的收敛性，连续函数有一些重要的性质，如介值性、闭区间上有最值等，这些性质的证明需要从实数理论出发。

与连续函数相对应的是定积分，定积分也由极限定义，与连续函数由数列的收敛引出不同，定积分是一种有限求和的极限形式，也可以称作一无限求和，因为有限的极限便是无限。定积分的抽象形式可以看成是积分区间中所有的点对应的线段的长度加起来，形成了定积分的面积，因为面是由线组成的。由此定义的积分有重要的积分中值定理，这个定理可以通过连续函数的介值性加以证明。

函数y=f(x)把x映成y其实也表示了两个量之间的变化关系，f(x)中自变量x从a到b的变化导致了因变量y从f(a)到f(b)的变化，其间的变化程度可以用割线的斜率来表示，这是一段区间[a,b]上的情形，从a到b之间经过的无限个数是一种“外在的无限”，如果考虑点a附近的无限则是一“内在的无限”，同连续函数的定义类似，函数发f(x)在点a处的变化率可以由导数来定义。导数最重要的理论结果当属微分中值定理，这个定理不仅道出了函数及其导数之间的关系，而且具有了Newton-Leibniz公式的雏形。另外更简便的是把积分函数当成一个可导函数，对它求导就有基本定理的微分形式。

二、微分与积分的统一

从微积分基本公式上来看，微积分主要考察连续函数f(x)以及它的原函数F(x)，微积分的基本理论成果是这二者间的辩证关系。这二者间的过渡是怎样的形成的呢？这可以从教材中的理论论述过程中来思考。连续函数向其导函数的过渡是考察函数的导数，由此得到largrange中值定理；可导函数向其导数的过渡则只需将积分看成函数并对其求导。

连续函数的图像是一条曲线，而可导函数则表示一个面积函数，可将线与面的关系规定为微观与宏观的关系，微观的线段是一维的，宏观的面积是二维的。由微观的函数向宏观过渡是函数积分的定义，而由宏观的积分函数向微观的过渡则是对其导数的考察。因此我们在这里发现微积分中微观与宏观相统一的思想，微积分中的微观对象可以形成宏观内容与宏观的对象内蕴含微观在二者间的过渡中有充分的体现。不仅如此，而且我们发现微观的连续函数的性质与宏观的积分函数的性质有某种对应，从前文的分析可以看出连续函数的介值性在积分函数中则表现为积分中值定理，同样体现微分与积分间关系的微分中值定理与积分中值定理其本质是同一的。

三、哲学中的观点

微积分理论作为近代科学的伟大成果，其中蕴含的宏观与微观的思想在西方哲学和科学的发源地——希腊哲学中也有类似的观点，也就是“大宇宙与小宇宙”的哲学观点。根据希腊哲学研究者的介绍：

毕泰戈拉斯学派研究数，特别是在音乐的研究中，发现一定的数的比例，构成和谐。他们将这个思想运用到天体上，认为各个天体之间的距离，也是按照这种数学比例的，因而整个天体就是一个大的和谐。

毕达哥拉斯学派对天体的宏观认识是从他们对数的研究中推广而来的，他们的基本哲学观点是：数是万物的本原，万物模仿数而存在，如点是一、线是二、面是三、体是四。菲罗劳斯认为这是“同类相知”：即以心中的“数”的概念去认识对象中“数”的性质和关系。

   这里的“心中的数”发展到柏拉图那里就是理念，柏拉图哲学认为理念是事物的本原，事物由“分有”理念而存在。在这里，所谓的微观与宏观的区分其实是哲学中思维与存在的关系，微观是思维的产物，是人的思维对宏观事物的认识，而宏观指的是客观存在的经验事物及其关系，也是人与客观事物的综合。古希腊哲学中的这些观点虽然与现代科学的看法相去甚远，但也表达了那些哲人对自然万物的内心真实的看法。人类同自然打交道的精神方式是语言，语言中的概念对于我们认识事物有关键作用。人们一般认为毕达哥拉斯学派的“数是事物的量的统一的抽象原则”，我认为毕达哥拉斯的“数”也是一种语言，一种符号语言，就是我们通常说的数学，由于数学在希腊早期内容仅限于数及其关系，用它们来说明万事万物及其关系未免牵强。但数学发展到微积分，内容的丰富就让我们可以表达更多的事物，近代哲学家康德认为人类的思维对事物的把握通过量、质、关系和模态四种知性范畴进行，量的规定通过数可以达到，微积分讨论的连续函数和可导函数的性质则属于“质”的范畴，微分和积分的互逆关系又从属于“关系”范畴，至于模态，也就是可能性的问题，在微积分中也存在，因为有“存在处处连续但处处不可导的函数”的结论。

毕达哥拉斯不仅是一位哲学家，还是一位数学家，他发现的毕达哥拉斯定理不仅给出了客观的线段与面积之间的一个准确结论，而且促进了人们对于无理数的发现与思考，这体现了宏观认识激励人们去认识微观事物的逻辑的、理性的科学态度。值得注意的是，我们这里所说的微观与宏观的科学统一思想需要同中国古代董仲舒的“天人感应”论区别开来，“天以终岁之数，成人之耳，故小节三百六十六，副日数也；大节十二分，副月数也。”这里的数只是经验事物的某种外在特征，与毕达哥拉斯的规定万物本原的“数”是不同的，后者属于数学家戴德金说的“人类心灵的自由创造”。张世英先生认为“董仲舒的儒家思想成了几千年来封建王朝扼杀中华儿女的自我独立性和创造性的思想工具”，可见“天人感应”论并没有促进人们对客观事物的科学认识。

四、微积分的教育价值

  一般我们谈到的微积分是一种理论，它是数学家们对经验事物的理论认识，要问这个理论的实际应用价值，则遇到了不少麻烦。有一个例子，从1958年到1972年，北大数学系的师生几乎跑遍了所有北京市的工矿企业，却找不到一个生产中的实际问题，非直接用瞬时速度（导数或微商）不可。由于在中国有“理论联系实际”的广泛而通俗的说法，中国数学家们却提出了一系列质疑：是否每个重要的数学概念与理论必须是从生产实际直接提出来的？解决的方法也是在生产实际中直接创造的？数学理论的意义何在？我曾在中国科学院自然科学史研究所听过一个关于中国计算数学发展的一个报告，报告人王涛副研究员对应用数学家冯康先生的有限元方法发现总结道：“这是现实联系理论，而不是通常说的理论联系实际。”理论给了一个模板，一种科学的思维方式，现实的问题可以抽象到理论的高度并从中获得相关的解决方案。理论往往是一个总体，微分与积分统一的理念也是人们对微积分理论作一种总体的把握获得的。数学家冯诺依曼认为“讨论任意领域中智力活动的性质是一件困难的任务，对处于人类智能中心领域的数学就更是如此。”还有“在我看来，刻画数学特点的最有力的事实，是它和自然科学的特有联系。”也许由于当时中国的自然科学不发达，人们无法通过数学与自然科学的关系来论证数学的价值。

   微积分理论尤其是微分理论是独一无二的，它并不能帮我们去解决实际问题，但以它的内涵的丰富性，用它来表达我们对事物的认识，或者说去解释事物及其关系则是可能的。因为理论是对现实的一种解释，理论与现实的关系正如前面说的微观与宏观的关系。微积分告诉我们对微观的认识能阐释宏观中相应的一些问题，因而我们对微积分理论的认识也能对应地去认识一些宏观的现实问题，如今社会提出的“个人利益与国家利益高度统一”也是微观的个人与宏观的国家相统一的一个例子。如何由理论过渡到现实，或者在一些具体对象上建立微积分理论等微观内容与现实宏观对象之间的对应关系是数学文化的重要课题，这需要人们进一步的思考。

参考文献：

[1] 龚昇. 简明微积分[M]．北京：高等教育出版社，2006：1-32．

[2] 汪子嵩 范明生 陈村富 姚介厚.希腊哲学史（第一卷）[M]．北京：人民出版社，2014：205-305．

[3] 康德.导论[M]．北京：商务印书馆，1978：69-70．

[4] 张世英．觉醒的历程：中华精神现象学大纲[M]．北京：中华书局，2013：26-29．

[5] 王淑红 孙小淳.心灵的创造:戴德金的数学思想[J]．自然辩证法通讯，2019，02：115-122．

[6] 邓东皋 孙小礼 张祖贵．数学与文化[M]．北京：北京大学出版者，1999：27-37,379-382．