有教学，才有教学评价。教学评价需要有依据，这个依据便是教学评价指标。指标常常是先验式的，尽管先验式的评价建立在经验的基础上。任何人的经验都有一定的局限性，哪怕是经过了广泛地征求意见，也难免会有偏颇；而且很多时候，征求意见局限在特定的群体中，错位现象并不罕见，所以未必具有普适性。课堂教学评价的客观性与科学性取决于两个方面，一是评价依据（指标）的科学合理性，二是评价者的专业素养，两者缺一不可。无论是指标的科学合理性还是评价者的专业素养，皆有可以改进的空间。本文以数学课程为例，谈谈课堂教学形式与内容存在的一些争议，指出科学合理的课堂教学评价指标是评价课堂教学的重要依据，明确课堂教学的根本目标是培养学科素养与批判精神。

1. 课堂教学的形式与内容

课堂教学包含形式与内容两个方面。课堂教学的形式是相对比较容易观察的，如教师的教态、语言、板书、技术运用等。在这个问题上存在一些争议，焦点集中在两处：一是传统与现代教育技术的关系；二是课堂的组织形式。

多媒体运用于课堂教学始于大学，它确实在某种程度上为教学带来了便利，提高了教学效率。然而，不同的学科对现代化教育技术的需求与运用有着很大的差别，即使同为数学课程，不同的内容对教育技术的运用也会有不同的需求，不可一概而论。例如，几何课程可以充分运用教育技术提高教学效率，增加图形的美观度与可视性，甚至可以引入动态图形帮助学生理解，但是代数类课程依赖教育技术的程度显然有限。无论是何种数学课程，都不可能摆脱传统的板书，依然需要以板书为主，这是毋庸置疑的。从中学到大学，无数事实表明，以多媒体为主的数学课都会有很大的局限性，教师在课堂上很难挥洒自如，数学的思维特征难以体现。数学课堂不能依赖于多媒体已经慢慢成为管理者与教师的共识。曾有人提出：“能否规定数学课不允许使用多媒体？”虽然有些极端，但回归传统也许是数学课的必由之路。

对课堂组织形式的争议主要在中小学。很多专家认为，课堂应该调动学生的积极性，要结合学生的生活体验，让学生独立自主地建构知识体系，进而享受创造的乐趣。于是，各种体现学生参与的课堂教学理念层出不穷。我在听课时曾问身边的老师：“你们平时也是这样上课的吗？”老师回答很直率：“不是，有专家听课时才这样，否则会遭到专家的质疑甚至严肃批评。”可见，不是教师想这么做或者觉得有必要这么做，而是教学评价需要他这么做。

     课堂的组织形式没有一定之规，否则必然陷入形式主义的泥沼。不同的课程可能需要不同的组织形式，同一门课程的不同内容也可能需要不同的组织形式，怎可一概而论？我比较赞同随机听课的方式，而不是有准备的公开课。因为只有这样才能听到原生态的课，那些公开课、示范课、竞赛课大多经过了精心设计，代表不了日常教学。

我在讲授高等数学或数学分析等大学基础课程时，偶尔也会使用PPT。PPT确实很省心，还可以让教师少吃很多粉笔灰。据说有些教师更省事：课堂全程播放录像。记得有一次领导听一位数学老师的课，不巧的是课室停电，用不了多媒体，只好换一个课室上课。可如果整栋楼都停电了呢？是不是就不上课了？这种现象说明了一个问题：没有多媒体，教师便上不了课了。换言之，教师准备教的内容不在教师的脑子里，而是在PPT里。有教师随机听我的课，看我全程板书，便问：“您这样讲累不累啊？”我电脑里有现成的PPT，本可以用的，但一次都没使用过——因为作为一门纯理论课程，PPT会严重影响教学的效果。

教师对教学内容的掌握有着更大的差异性。造成这种差异性的原因也有两个方面：一是教师对教学内容理解的差异；二是教师是否有的放矢。尤其是对第二个问题的把握，很大程度上依赖于教师的专业素养。一个概念或一个定理，必有其生成的过程，进而必有其产生的原因。这个原因就是“问题”。有实习生在跟我交流时说：“我听课的感受是，如果没有围绕着问题展开教学，逻辑就会比较混乱。”我告诉他们：“没有问题的课堂必然会沦为知识点的简单传授，既缺少逻辑上的严谨，也多半会流于肤浅与平庸。”真正好的课堂不是教态多么优美，口齿多么伶俐，板书多么漂亮。这些固然重要，但都是细枝末节。一节有水准的课，应该逻辑结构严谨，知识与思想并重，教学过程充满了思辨性，有效突破了难点。一节行云流水般的课，应该是让知识在问题的分析过程中自然地流淌出来。但正如武侠小说中武学的修炼，需要健强的体魄做支撑，当抵达一定境界时，便可无招胜有招：可能招招不同，但是万变不离其宗，如同有一个看不见的东西牵引着出招者，贯穿始终，这就是武魂。教学也是如此，教学的魂是思想。

有学生说，她看了大量播放量突破几百万的课，好像也就那么回事。这不是什么奇怪的事，正如销量大的图书未必是好书。别人的课可以品鉴一下，好与不好是一个很模糊的概念：同一件事情，不同群体可能会得出不同的判断，甚至是完全相左的判断。我告诫学生：“多了解别人是正确的，博他人之长为自己所用，但要学会正确的鉴别方法，而不是以从众的心态判断好坏。”

2. 课堂教学的评价指标

对一节课的科学评价依赖于评价指标的科学合理性。什么是科学合理的课堂教学评价指标？至少应该体现在两个方面：（1）突出教师对学科内容的领悟与驾驭能力。它对教师的学科素养提出了比较高的要求，不仅要熟悉学科内容，而且要具备一定的学科眼界。（2）可操作性强。教学是一项无法准确量化的工作，评分规则宜粗不宜细，但又要反映学科教学的本质。有很多评价指标体系不仅项目繁多，而且细化到1—2分，把教学评价当成了考试。即使是考试，有时也很难如此细化。例如作文评价，除了错别字的扣分，就内容而论，是不可能细化到1—2分的程度的。

我不赞成有些评价方式。以大学的青年教师教学技能大赛为例，选手事先准备15个教案，竞赛时从中随机抽取一个做模拟试讲。15个教案、模拟试讲的准备固然会耗费一些时间与精力，但尚可事先做充分的准备，最重要的是可以集思广益，由他人参与磨课。所以，但凡势在必得的人，都会反复请人指导，尽可能练得相对完善，这样的竞赛表演成分居多。在准备充分的情况下，选手自然多了几分自信与从容，就看临场发挥得如何了。我之所以不欣赏这类竞赛，原因在于这种方式存在两个严重的弊端：（1）结果如何不完全取决于选手的准备程度、投入的精力，也取决于他人的参与程度；（2）评审者常常都是该学科的外行，看到的都是表象，对学科的内涵无从考查，导致竞赛未必能决出选手的真实水平与学科素养。

还有一种竞赛方式是自主选择一个课题，按自己选择的内容模拟讲课。这类竞赛的教案部分大多数情况下也不会由选手独立完成，而是由他人深度参与。所以，教案比拼的也不是选手的水平，而是选手所在团队的集体水平。

在我见过的各类竞赛中，从比赛方式看，“田家炳杯”教育硕士教学竞赛是最考验选手学科素养与教学能力的一类竞赛。竞赛并不事先规定内容，只笼统划定一个学段的内容。现场临时抽取一个模拟讲课的题签，在一个封闭的环境里独立准备90分钟的时间——没有手机，也没有网络，更不能跟带队老师接触。要应付这样的竞赛，不仅要对整个学段的内容了然于胸，还需要对这些内容有比较深刻的理解。因为评委都是本学科的专家与一线教师，所问的问题几乎都是针对学科内容的：教学方法技术大家都亲眼所见，无需多问，需要了解的则是对该知识点的理解程度、内容的前后逻辑关系等。

竞赛也好，教学评价也罢，既是对教师的考验，也是对评委的考验。如果评委没有对相应内容的深入了解，很容易问得不着边际。例如在一次竞赛中，一个选手讲中学函数的零点定理，评委问：“零点定理与连续函数是什么关系？与介值定理是什么关系？”虽然连续函数、介值定理是每个数学专业的大学生都必须掌握的内容，但已经远远超出了中学数学教学的内容。教学竞赛毕竟主要考查对中学数学内容的领悟程度与教学能力，学科素养并不等于学科知识量，两者不能画等号。介值定理虽然涵盖了零点定理，但毕竟不是中学的内容。如果跨过这个界，那就很难把握，因为任何中学的知识点都可以牵涉到大学很多学科的知识点。到底是考查教师对中学内容的理解程度和讲课能力，还是考查教师对整个大学阶段所学专业课程与中学相关内容的内在联系？有多少大学课程在教授时提示过这样的联系？假如按照这位评委的提问方式，即使选手回答正确了，只要想难为选手，还可以继续追问：“闭区间上的连续函数为什么会有介值定理？其成立的基础是什么？开区间上的连续函数有类似结论吗？为什么？”深入钻研过的选手也许能回答这个问题，但评委还可以继续追问下去：“这个结论在高维空间上还成立吗？如何表述？”如此就离题万里了。

在有些评价指标中会涉及现代化技术的使用，包括PPT以及几何画板甚至一些数学软件的使用等。我在教授数学史、课堂教学评价等课程时，也会用PPT，因为这些课大多没有教材，PPT更多是给学生看的。不过我的PPT仅是一个提纲，可能仅有几页或十数页：一两页PPT便可以讲上个把小时，五六个小时的课也仅有十数页PPT。数学课特有的思辨性决定了数学课堂不可以读PPT，否则效果是不言自明的。事实上，我没见过一节可以称得上成功的以PPT为主的数学课。如果读PPT可以上好一节课，教师完全可以被机器人取代。

课堂教学评价的另一项指标是课堂是否生动有趣，体现快乐学习。我对此不以为然。学习是一项艰苦的事情，快乐并非体现在学习的过程中，而是在学习取得成效后的成功中。没有经历过炼狱般的刻苦，何来成功的喜悦？兴趣与快乐是两个完全不同的概念，正是因为兴趣才有了刻苦的动力，才有了坚持的毅力。我们需要的是培养学生的学习兴趣，不应将兴趣与快乐这两个风马牛的概念混为一谈。

课堂是否生动有趣与是否浅显易懂也是两个完全不同的概念。浅显易懂的课貌似是好课，但是可能会误人子弟。对于真想学点东西的学生来说，条理清晰、分析透彻、逻辑严谨的课，才是生动有趣的好课。课的好坏常常因人而异，与观察者的眼光密切相关。有一位研究生在应聘一所中学时，还没试讲几分钟，便被考官打断了：“你为什么不按照书上的讲？”看来考官认为教材就是“圣经”，是不可以违背的，甚至不可以重组。他大概没搞清楚一件事：教师是在用教材，不是在教教材。我安慰学生：“这种品位的学校，不去也罢。只要是自己认为正确的东西，就要坚持，不要因为一时的得失放弃自己的理念，要相信天下之大，总会有自己的用武之地。”

课堂教学评价的核心是教学内容而非形式。遗憾的是，我们在评价一节课时常常本末倒置，纠缠在一些细枝末节上，忽略了教师对内容本质的理解。前面之所以强调学科素养，其根本原因是教师需要有独立的判断能力与批判精神。教材不是“圣经”，也在不断完善中。教师是有条件地使用教材，而不是盲目地信奉教材，更不能无知无畏，犯了科学性错误而不自知。例如，有教师在讲授一元二次函数时以鞭炮为例，认为鞭炮在空中的轨迹是一条抛物线，鞭炮将在最高点爆炸，甚至写出了二次函数式。鞭炮的轨迹是抛物线吗？其爆炸点取决于什么？是引线燃烧的时间还是最高点？为什么会让人感觉在最高点爆炸？鞭炮爆炸时产生的冲击波会形成上抛的阻力，所以给人一种感觉：鞭炮在最高点爆炸。鞭炮在爆炸的瞬间被肢解了，还谈什么抛物线？可见，创设情境不能只知道一点数学，然后想当然地做各种假设。

课堂教学的观测点无非三个部分：（1）教师形象，包括教态、语言、板书等方面；（2）课堂的组织形式，包括课堂的节奏、逻辑层次、重点的把握、难点的突破、师生的交流等；（3）学科内容的把握，包括学科知识的准确性、课堂的思想性、情境的科学性、问题的指向性等。2023年“田家炳杯”教育硕士教学竞赛的评审指标中，学科内容占了60%，教法占了20%，还有20%的答辩环节也聚焦在学科背景与内容上，这是合适的。相信从事一线教学的老师都清楚：课堂教学真正考量的是学科的基本功，而不是教法的基本功；无论是从应试的角度看，还是从学科素养提升的角度看，学科基本功都是核心。

3.  课堂教学的根本目标

数学课堂当然要讲授数学知识，但知识不是教学的根本目的。知识如教材一样也是一种载体，承载着相关课程的思想，课堂教学的根本目标则是透过知识，挖掘隐藏在背后的思想。这个挖掘过程也需要一个载体，这个载体就是“问题”（关于这个问题的详细阐述可以参见我在《中学数学杂志》上发表的《中学数学课堂中数学素养与思维能力的培养》一文）。挖掘数学思想的过程是培养数学思维能力、提升数学素养的过程，远比单纯的讲授知识重要得多。正如哈尔莫斯所说：“具备一定的数学素养比具备一定量的数学知识重要得多。”当一个人具备了数学思维能力，具备了一定的数学素养，他就能用科学的眼光、批判的精神审视书本、审视课堂。

以赵州桥为例，似乎没有人质疑过赵州桥的拱桥是抛物线或近似抛物线的说法。我们不能凭主观臆断质疑，任何质疑都要建立在科学的基础上。桥的主要功能是使用，而不是观赏。所以，拱桥体现的不是美学价值，而是使用价值。为什么要建那个拱桥？两个因素：（1）避免桥桩，方便河道通航；（2）将桥面承受的重力通过拱桥传递到底部——无论是垂直的桥桩还是“人”字形桥桩，都基于这样的原理。抛物线的应力原理是什么？它能将重力传递到底部吗？这不是想当然的事情。事实上，这个由达·芬奇提出的问题困扰了数学家200年!创作油画《抱银貂的女子》（如图1所示）时，达·芬奇不知道项链最自然的形状是什么样的，便用女人的手盖住了项链的底部，将这个问题留给了数学家。

如果我们认真思考而不是被动地接受书本上所说的，便不难发现，当我们双手手指捏着一条项链的两端时，项链自然下垂，此时双手承受着项链的重力；将项链呈现的曲线翻转180度，翻转后的曲线便可以将力量传递到两端——这一曲线被广泛运用于桥梁设计中。这一曲线是什么曲线？是抛物线吗？这可不是拍脑袋可以搞清楚的事情，需要利用费马的最小作用量原理来证明。它并非抛物线，而是悬链线，对应的函数是双曲余弦。这个曲线当然不适合对中学生讲，更别说是初中生。这可不是任何教法可以搞清楚的问题。可见，要胜任一线教学，真正需要提升的是对学科本身的认识，要有一定的批判精神。

现在有一种趋势：课堂教学要强化应用。这可能忽视了两个基本事实：（1）数学教师知道的应用毕竟是有限的；（2）数学已知的应用也是有限的。适当介绍一点应用并无不妥，但应该清楚应用对于数学教育的价值是什么，是有利于对内容的理解还是真的能学以致用。我们总在提倡培养创新型人才。什么叫创新型人才？自然不会是只懂得一点数学应用的人。

以厨师工作为例，一个人在师傅言传身教下学会了使用菜刀、铲子等厨具，并在师傅指导下学会了如何烧菜，可他能做出师傅做不出来的菜品吗？一样的厨具、一样的调料，但不一样的人，做出来的菜很可能有着完全不同的口感，这就是创新。数学也是一样，我们在强调数学应用的时候是否想过，你永远不知道某一个数学理论在某个时候会在某个领域发挥着举足轻重的作用。曾几何时，数论是纯而又纯的数学，谁能想到它在密码学中有着重要应用？教师能够教给学生的应用永远是有限的，而且仅限于他知道的。任何人没有理由要求一个数学教师是通才，上知天文，下晓地理，无所不能。由此可见，数学内在的原理与思想方法才是最根本的，掌握了思想方法，可以创造性运用。如果只是知道一些概念、定理乃至证明技巧，用不了多久，这些东西就会还给老师，最终与什么都没学无多大分别。唯有思想才是永恒的。

4. 结语

数学教学有别于其他课程的教学，这是数学抽象性、思辨性所决定的。是否需要更多地发挥传统教学形式的作用是值得思考的问题——传统教学形式并非指满堂灌，而是以板书为教学的主要形式。

我听过很多课，印象最为深刻的当数在吉林大学的那几年，江泽坚先生的课让我受益匪浅。先生不愧博古通今、学贯中西，讲起课来旁征博引、娓娓道来，像讲故事一般引人入胜。从头到尾，他都不会翻书，也不会翻备课笔记。那时也没有多媒体，没有相当的功力是讲不出那样的课的。深得江老师衣钵真传的是王振鹏老师，他讲课的风格与江老师很是相似：幽默风趣，常常让人忍俊不禁，但又不失数学的严谨。另一个非常出色但风格迥异的老师是牛凤文教授，他的课以严谨著称。他在课堂上也是从不看教材与笔记，一手漂亮的粉笔字从头写到尾，不仅工工整整，而且绝不会因为写错而擦掉一个字。他讲“范畴论”，阐述透彻却从没有一句多余的话，放眼大中小学，我从来没有见过第二个老师具备他这样的教学基本功。他的课严谨有余，幽默风趣不足，相比之下，大家或许更喜欢听江老师与王老师的课。

网络发达了，让我们可以见识到更多的课。有比较才有鉴别，多听多看，慢慢地自然能分辨什么是真正的好课。