寻找网络中的重要节点是网络科学的一个基本问题。常用一些中心性指标可以衡量节点的重要性，我们也曾经提出删后矩阵的最小特征值作为节点重要性指标。近日发表于IJBC的文章《Node Centrality Based on Edge Dynamics in a Chaotic Network》，是我们关于边动力学重要性的特征向量表示方法的自然延伸，即把网络中节点信息看成邻接边的传播结果，通过分析Fiedler值建立节点及节点组重要性的特征向量指标，数值例子验证了这一方法的正确性。

https://www.worldscientific.com/doi/10.1142/S0218127424501426

陈方越、周进、陆君安

寻找网络中的重要节点是网络科学的一个基本问题。常用一些中心性指标可以衡量节点的重要性[1-3]，我们也曾经提出删后矩阵的最小特征值作为节点重要性指标[4-6]。在连通的网络中，节点的所有邻接边在促进与其相邻边的信息交换方面起着至关重要的作用。因此，我们通过评估节点的邻接边是否对网络的同步有促进作用来考虑节点的重要性。如果一个节点的相邻边集对网络同步有显著贡献，则表明该节点在网络中的重要性增加。现实生活中也有形象的例子来说明这一点：将城市看作节点，将交通路线看作是连接节点的边，由于交通路线承担着城市之间信息交流的作用，因此城市的重要性与这些路线的数量及其在网络结构中的地位都有关系。考虑一个连通网络，节点的邻接边集合记为，对集合内的每一条边施加的微扰。参考 [7-9]的方法，扰动后Fiedler值（Laplacian 矩阵的次小特征值）的一阶改变量为：它完全由 Fiedler 向量(Fiedler值对应的特征向量）的分量决定。考虑到在大型网络中，归一化之后的特征向量平方可能导致的精度溢出问题，以及指标大小仅仅表示节点重要性的相对排名，因此我们提出邻接边指标如下：           图1. (a) 双星网络. (b)–(d) 节点 1–3 的邻接边标记为橙色. 节点1–3表示不同的相对位置，分别是“bridge节点”、“hub节点”、“leaf节点”               在图1中，根据邻接边指标公式算出来的各节点重要性如下所示，第i个位置的元素表示节点i的重要性指标：可以看出“bridge节点”>“hub节点”>“leaf节点”，排序结果能应用于边自适应牵制控制同步 [10]（自适应增加边组的权重来促进同步），如图3可见控制效率与排序结果一致。图2. 牵制控制“bridge节点”、“hub节点”、“leaf节点”邻接边集合的同步效果

该指标也适用于判断节点组的重要性，例如：节点对的重要性可以用如下公式    注意减去第3项是为了避免重叠边重复计算的问题。对于图1的双星网络，各节点对的重要性可以用如下矩阵表示，第i行j列的元素表示节点对i-j的邻接边指标：从矩阵中不难看出，红色高亮的节点对2-8 (hub-hub)发挥最重要的作用，而橙色高亮的1-2/8(bridge-hub)其次，从对称性角度分析，这是显而易见的；考虑leaf节点，显然由于单节点时重要性“bridge节点”>“hub节点”，因此节点对重要性(bridge-leaf)>(hub-leaf)> (leaf-leaf)，且异侧的(hub-leaf)组合优于同侧，这揭示了信息平衡的重要性。图3. 牵制控制节点对1-2, 1-3, 2-9 和3-9邻接边集合的同步效果               图3以四组节点对为例，可以看到牵制节点对1–2 (bridge–hub), 1–3 (bridge–leaf), 2–9(hub–leaf) 、3–9 (leaf–leaf)使得网络同步所需的时间依次递增，这与重要性指标依次递减是相对应的。最后，图4展示了一个大型Jazz网络中的节点重要性，发现节点115最重要，其与节点39对网络同步的影响力也经图4(c)得到了验证。此外，重要的节点不一定有较大的度，因为邻接边指标中也考虑到了位置的重要性。图4.(a)Jazz网络的结构. (b)部分节点的重要性排序. (c)牵制控制节点115和39的邻接边集合的同步效果           总之，从邻接边的角度来考虑节点的重要性是非常自然的事情。至此，一个网络只要计算出Fiedler向量，那么网络所有节点和边的重要性就很容易计算出来了，相信未来还可以运用到有向网络和高阶网络中，并且结合实际问题加以应用。             参考文献    [1] Bollobas,  B. Graph  Theory  and  Combinatorics: Proceedings  of the CambridgeCombinatorial Conference  in honor  of P.  Erdos , 35 (Academic,  New York, 1984)[2]L. Y. Lü, T. Zhou, Q. M. Zhang, and H. E. Stanley, “The h-index of a network node and its relation to degree and coreness,” Nature Commun., Vol. 7, Jan. 2016, Art. no. 10168.[3]Xiaoqun Wu , Wenbin Wei, Longkun Tang , Jun’an Lu, and Jinhu Lü ,Coreness and h-Index for Weighted Networks, Transactions on Circuits and Systems–I: Regular Papers, 66(8), 3113-3122(2019)[4] J. Zhou, X. H. Yu, and J. A. Lu，Node Importance in Controlled Complex Networks, IEEE Trans. Circuits Syst. II Express Briefs. 66 (3): 437-441 (2019).[5] H. Liu, X. H. Xu, J. A. Lu, G. R. Chen, and Z. G. Zeng, Optimizing Pinning Control of Complex Dynamical Networks Based on Spectral Properties of Grounded Laplacian Matrices, IEEE Trans. Syst. Man Cybern. 51(2): 786-796 (2021).[6]刘慧，王炳珺，陆君安，李增扬，复杂网络牵制控制优化选点算法及节点组重要性排序，物理学报 Acta Phys. Sin. 70(5), 056401 (2021)[7] S.Y. Jiang, J. Zhou, Michael Small, J. A. Lu, and Y. Q. Zhang, Searching for Key Cycles in a Complex Network, Phys. Rev. Lett. 130, 187402 (2023).[8] Siyang Jiang, Jun-an Lu, Jin Zhou, and Qinrui Dai， Fiedler value: The cumulated dynamical contribution value of all edges in a complex network，Physical Review E 109, 054301 (2024)[9]Jin Zhou , Yanqi Zhang , Jun-an Lu , and Guanrong Chen，Introducing a New Edge Centrality Measure: The Connectivity Rank Index， IEEE Trans. On Systems, Man, And Cybernetics: Systems, 54(5), 2757 (2024)[10] W. W. Yu, P. DeLellis, G. R. Chen, M. di Bernardo, and J. Kurths, Distributed Adaptive Control of Synchronization in Complex Networks, IEEE Trans. Autom. Control 57 (8): 2153-2158 (2012).