本文拟介绍气泡或液滴拉普拉斯方程的推导，供参考.

       拉普拉斯方程是描述弯曲液面曲率半径R、附加压力Δp及表面张力γ之间定量关系的数学表示式，参见如

下式（1）所示：

                  （1）

       式（1）显示：弯曲液面附加压力Δp也是状态函数.

 1. 球形气泡成长过程的拉普拉斯方程

      球形气泡成长过程示意图，参见如下图1所示：

                图1. 气泡成长过程示意图

       图1显示球形气泡的始态半径为r，某终态半径为r' .

       依热力学基本方程可得：

       dG=γ·dA_s=-SdT+Vdp+δW'               （2）

       式（2）中“A_s”代表球形气泡的表面积;“S、T、V及p”分别代表球形气泡的熵、温度、体积及附加压

力；“W'”代表气泡成长过程的有效功.

       对于球形气泡，

       A_s=4πr²，dA_s=8πr·dr                （3）

       V=4/3·πr³                                   （4）

       另气泡成长过程满足：①恒温，或dT=0；②有效功为0，或δW' =0 .

       将式（3）、（4）及恒温、有效功为0条件分别代入式（2），并整理可得：

                                     （5）

       式（5）定积分可得：

                    （6）

      设气泡起始状态为平面液体，即：r₁=∞，p₁=0.

      将上述条件代入式（6）可得：

                            （7）

       整理式（7）可得：

                                              （8）

       式（8）显示，球形气泡（凹液面）半径与曲率半径符号相反；球形气泡半径r越大，曲率半径R越小，附

加压力Δp越大.

 2. 球形液滴分散过程的拉普拉斯方程

     球形液滴分散过程示意图，参见如下图2所示：

                图2. 气泡分散过程示意图

       图2显示球形大液滴的始态半径为r'，某终态小液滴半径为r.

       依热力学基本方程可得：

       球形大液滴分散过程，通常体积恒定，即：

       V=4/3·π(r')³ =Const.                                   （9）

                                                  （10）

       另球形大液滴分散过程满足：①恒温，或dT=0；②有效功为0，或δW' =0 .

       将式（9）、（10）及恒温、有效功为0条件分别代入式（2），并整理可得：

                                               （11）

       式（11）定积分可得：

                                   （12）

      设气泡起始状态为平面液体，即：r₁=∞，p₁=0.

      将上述条件代入式（12）可得：

                                         （13）

       整理式（13）可得：

                                                         （14）

      式（14）显示，球形液滴（凸液面），半径与曲率半径符号相同；球形液滴半径r越小，曲率半径R亦越

小，附加压力Δp越大.

 3. 结论

    ⑴球形气泡规定为凹液面，半径与曲率半径符号相反；球形液滴规定为凸液面，半径与曲率半径符号相同.

    ⑵ 球形液滴半径r越小，曲率半径R亦越小，附加压力Δp越大; 球形气泡半径r越小，曲率半径R越大，附加压

力Δp越小.

    ⑶液滴拉普拉斯方程：；气泡拉普拉斯方程：.