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微积分和DNA缠绕数 精选

已有 3586 次阅读 2024-3-23 08:34 |系统分类:科普集锦

微积分和DNA缠绕数

虽然生物医学出身,但对于DNA的物理特征和数学秘密了解非常少,例如特别特别长的DNA纤维是如何或按照什么逻辑放在细胞核内,复制和转录过程和这种折叠的关系。本书虽然是关于微积分的,但最后这一部分关于DNA的内容,特别是线轴的比喻,让人耳目一新。

 

传统上,微积分一直应用于像物理学、天文学和化学这样的“硬”科学。但近几十年来,它进入了生物学和医学领域,在流行病学、种群生物学、神经科学和医学成像等方面发挥着作用。在本书中,我们已经看到了不少数学生物学的例子,比如,利用微积分预测面部手术的结果,为HIV与免疫系统的战斗过程建模,等等。但所有这些例子都与变化之谜(关于微积分的最新困扰)的某个方面有关。相比之下,下面这个例子来自古老的曲线之谜,一个关于DNA的三维路径的谜题为它赋予了新的生命。

这个谜题与DNA在细胞中的“打包”方式有关,DNA是一种超长分子,包含了一个人成长发育所需的全部遗传信息。在你的大约10万亿个细胞中,每个都含有约2米长的DNA。如果将它们首尾相连,那么DNA可以在地球和太阳之间往返几十次。不过,怀疑论者可能会辩称,这种比较并不像听上去那么令人印象深刻,它只是反映了我们每个人都有很多细胞。而与DNA所在细胞的细胞核比大小,或许更能说明问题。一个典型的细胞核的直径约为5微米[插图],它是细胞内DNA长度的40万分之一,这个压缩系数相当于把20英里长的绳子塞到一个网球里。

此外,DNA也不能被随意地塞入细胞核。它绝对不能缠绕在一起,而必须以有序的方式打包,这样DNA才能被酶读取,并被翻译成细胞维持生命活动所需的蛋白质。有序的打包方式还有一个重要作用,那就是当细胞分裂时DNA可以被整齐地复制。

进化用线轴解决了打包问题,当我们需要存放一根很长的线时也会采取相同的方法。细胞中的DNA缠绕在分子线轴上,这些线轴由一种叫作组蛋白的特殊蛋白质组成。为了实现进一步压缩,线轴会像项链上的珠子一样首尾相连,然后这条“项链”会盘绕成绳索状纤维,这些纤维本身又会盘绕成染色体。最终,通过重重盘绕,DNA被压缩成足以放入狭窄细胞核的大小。

但线轴并不是大自然解决打包问题的原始解决方案。地球上最早的生物是没有细胞核和染色体的单细胞生物,就像今天的细菌和病毒一样,它们也没有线轴。在这种情况下,遗传物质是通过一种基于几何学和弹性的机制来压缩的。想象一下,你拉紧一条橡皮筋,用手指夹住它的一端,并从另一端扭转它。刚开始,橡皮筋的每次转动都会产生一个扭结。扭结不断增加,当累积的扭转超过临界值时,橡皮筋不再保持绷直状态,而会突然弯曲并盘绕在自己身上,仿佛在痛苦地扭动。最终,橡皮筋聚成一团,实现了压缩。DNA也是这样做的。

这种现象被称为超螺旋化,它普遍存在于DNA的环状结构中。尽管我们倾向于把DNA描绘成两端开放的直螺旋,但在许多情况下,它会自我闭合成一个环。当这种现象发生时,就好比解开你的安全带,把它扭曲几圈再扣上一样。此后安全带的扭曲次数就不变了——它被锁定了。在不解开安全带的前提下,如果你试图在某一处扭曲它,其他地方就会形成反向扭曲来抵消这种操作。其中,有某个守恒定律在起作用。当你把花园用的软管盘绕成好几圈堆在地上时,也会发生同样的事情。而当你试图把软管直直地拉出来时,它会在你的手里扭曲。就这样,盘绕转变成扭曲。这种转换也可以反向进行,即从扭曲变为缠绕,就像橡皮筋在扭曲时发生了缠绕一样。原始生物的DNA正是利用了这种缠绕作用,某些酶可以切割DNA,扭曲它,再把它闭合起来。当DNA为了降低其能量而放松扭曲时,守恒定律就会迫使它的超螺旋化程度增强,让它变得更紧凑。这样一来,DNA分子的最终路径不再位于一个平面内,而是在三维空间中缠绕。

20世纪70年代初,美国数学家布洛克·富勒率先做出了关于DNA的三维缠绕现象的数学描述。他发明了一个叫作DNA缠绕数[插图]的量,用积分和导数推导出它的公式,证明了关于它的某些定理,从而明确了针对螺旋和缠绕的守恒定律。此后,关于DNA的几何学和拓扑学[插图]研究成为一个蓬勃发展的产业。数学家已经利用纽结理论和缠结微积分[插图]阐明了某些酶的作用机制,这些酶可以扭曲或切割DNA,或者将结与链引入DNA。由于这些酶改变了DNA的拓扑结构,因此被称为拓扑异构酶。它们可以弄断和再连接DNA链,对细胞的分裂和生长起到至关重要的作用。经证实,它们是癌症化学治疗药物的有效靶点。[插图]尽管其作用机制尚不清楚,但人们认为,这些药物(被称为拓扑异构酶抑制剂)通过阻断拓扑异构酶的作用,可以选择性地损坏癌细胞的DNA,导致癌细胞自杀。这对患者来说是好消息,对肿瘤来说则是坏消息。

在将微积分应用于超螺旋DNA时,双螺旋被建模为一条连续曲线。微积分一如既往地喜欢处理连续对象,但事实上,DNA是一群离散的原子,它没有什么地方是真正连续的。但是,为了得到好的逼近,DNA可被看作像理想的橡皮筋一样的连续曲线。这样做的好处是,微积分的两个副产品——弹性理论和微分几何学——可用于计算当DNA受到来自蛋白质、环境及与自身相互作用的力时,它会如何变形。

 

更重要的一点是,微积分延续了它一贯的创造性,将离散对象当作连续体来处理,从而揭示它们的行为。这种模拟尽管是近似的,但却很有用。无论如何,这都是我们唯一的选择。没有连续性假设,就无法使用无穷原则。没有无穷原则,就不会有微积分,也不会有微分几何和弹性理论。

我希望,未来我们将看到更多将微积分和连续数学应用于天生离散的生物学“角色”的例子,比如基因、细胞、蛋白质和生物学“大戏”中的其他“演员”。我们能从连续体近似方法中获取的洞见实在太多了,以至于不能不用它。除非我们开发出一种新的微积分形式,它可以像传统微积分适用于连续系统那样适用于离散系统,否则无穷原则将在生物的数学建模方面继续指导我们。

 

内容来自《微积分的力量》。

作者史蒂夫·斯托加茨(Steven Strogatz)美国康奈尔大学应用数学系教授、知名教师和数学家。为《纽约时报》《纽约客》写作数学博客,也是美国科普电台《科学星期五》的常驻嘉宾。主要代表作有《X的奇幻之旅》。目前住在纽约伊萨卡。



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