Keying Guan

Department of Mathematics, School of Science, Beijing Jiaotong University

Email：keying.guan@gmail.com

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Department of Mathematics, School of Science, Beijing Jiaotong University

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摘要：牛顿力学与相对论力学共有的关系式

   (*)  

违背相对性原理, 导致了静力不做功的谬论。而功率与其内蕴力的关系则符合相对性原理，利用这个关系可以明确力产生的原理并重新定义。牛顿对力的定义，特别是“物质内在的力”（Inherent force of matter）的定义包含了被普遍忽视的深邃思想。

一、相对性原理与有关的问题

相对性原理是人类描写自然现象客观性的普遍原则。一般地说，相对性原理就是要求客观的自然现象或规律与观测者所选择的时空系统（一般指惯性系）无关。现代物理学更是将相对性原理作为物理学的基本原理 (参考[1],[2],[3],[4],[7])。特别地爱因斯坦论文[2] 的标题就是 “关于相对性原理和从中得出的结论“ （Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen），论文从相对性原理得出了，狭义相对论力学、电磁理论和运动体系的力学与热力学（如熵与温度）等领域的重要规律。

牛顿力学与狭义相对论对惯性系的要求相同，即在惯性系中不受外力自由运动的物体必须是匀速直线运动。

牛顿力学使用的时空是伽利略时空，时间与空间坐标相互分离各按各自的标准度量，而且运动速度满足线性叠加原理，因此自然界物体的速度无上限。

牛顿力学中以匀速 v 运动物体的质量 m 是熟知的物理不变量，但动能

和动量

则显然不符合相对性原理。

狭义相对论则以光速不变为基本原理，惯性系的时空只能合理地采用闵考夫斯基时空，惯性系之间的变换只能按洛伦兹变换关系进行。狭义相对论中，虽然一些客观物理量在不同惯性系与相对速度有关，但它们必须按照洛伦兹变换的协变要求变换。如能量、质量、四维的加速度，四维的力、电磁场的四维势，能量动量张量，电磁场张量等都是如此。但在狭义相对论中，也存在不依赖惯性系的物理量，例如事件的间隔，固有时间，粒子的静止质量 m₀ ，电子的电荷 e 等都是不变量。另外电磁场的两个物理量，

和

它们都是不变量， 其中 E 和 H 分别是电场强度和磁场强度。

狭义相对论中最重要一个不变量关系式就是物体能量 E 与质量  m 的等价关系式

      (1)

其中 c 是光速。这个关系是狭义相对论对人类认识物质世界的最伟大贡献。

(1）式也等价于

     (1')

就是说物质的能量与质量之比是个不变量。

趣味的是，在牛顿力学中，牛顿第二定律意味著力 F 等于受力物体的质量乘以加速度 a，

   (2)

显然，加速度也是个与速度无关的量。因此，在牛顿力学中，质量 m 与力 F  均是与惯性系选择无关的不变量。

另一趣味现象是，在牛顿力学和狭义相对论中，功率 P 均被定义为能量 E 对时间的变化率，即

   (3)

类似，按照理论物理理论，力 F 在牛顿力学和狭义相对论中均被定义为动量 p（或冲量）的时间变化率，

    (4)

对于功率 P 与力 F，无论是牛顿力学还是狭义相对论它们都能推导出相同的关系式，即

  （5）

在牛顿力学中，由于自由运动物体的能量 E 等于其动能 K，由此可直接证明 （5） 式。

笔者在以前的博文多次提到，爱因斯坦在其创建狭义相对论的第一篇论文[1] 即已使用了关系式 (5),  但是，由于当时理论刚提出，论文并没给出对（5）式符合相对论的推导，而且 1906年，德国物理学家 M. 普朗克 （Max Planck）即已首次说明该论文对力的描述（或定义）并不是最有利的。普朗克指出：力的比较中肯的定义，应当使动量定律和能量定律具有最简单的形式。这个事实可参阅文献 [8] 中第 63页 的注释 （或 [9]112 页的注释)，该注释是由德国著名理论物理学家 A.索末菲( Arnold Sommerfeld)给出的。

事实上，二十世纪以来，几个顶尖物理学家在理论物理学的系统著作中，除使用相对性原理外，还普遍使用最小作用量原理（或哈密顿原理）系统地描述牛顿力学、狭义相对论、广义相对论，甚至量子力学，例如，普朗克的著作[3], 朗道与利夫希茨的 [4]，[5] ，[6],  S. 温伯格 (Stevev Weinburger)的著作 [5] 都是如此。

为节省篇幅，本文略去对最小作用量与相对论基础基础概念的介绍，直接使用朗道与利夫希茨的<The Classical Theory of Fields> ^[5] 中, 在最简单的情况下，给出以最小作用量为基础的推导（5）式的过程。

假设一个在真空中具有不变静质量 m₀ 的粒子相对于静止观测者以匀速 v 运动。

三维速度 v 在普通空间直角坐标中表示为，

根据相对论中的最小作用量原理，描述质点运动的，在洛伦兹变换下描述质点运动的一个基本不变量是四维闵考夫斯基时空中的粒子瞬间运动产生的间隔

   （6）

以此不变量为基础建立的粒子运动的作用量 S 可表示为

    (7)

其中的拉格朗日函数 L 为

    (8)

根据定义粒子 m₀ 的动量矢量 p 为

   (9)

同样，根据定义粒子 m₀ 的能量为

  (10)

在狭义相对论中，由于以下两个因子经常出现

所以为了简便，文献中普遍将它们分别记为                                                                                          

令

并依此定义 τ 为粒子的固有时间。显然，如果粒子的速度为零时，固有时与普通时间同步。

由 （9）与 （10）可知，

     (11)

根据定义，由于粒子 m₀ 的四维逆变速度为

  (12)

对应的协变四维速度为

 (13)

粒子的四维逆变动量定义为

  (14）

于是，粒子的四维协变动量为

     (15)

该粒子 m₀ 受到四维力的逆变形式被定义为

            (16)

根据 （9）式和 （10）式，经计算可得

  (17)

其中，

    (18)

它是粒子在空间的普通加速度。四维力的协变形式为

（19）

直接计算可得

   (20)

四维力的空间部分记为

   （21）

不难看出，当粒子的速度 v 相对于光速较小时，上面四维力的空间部分与牛顿力学的力相差很小，特别当 v = 0 时，F 与牛顿力完全相同。

将 （20）式代入 （19）式，进一步计算可发现

（22）

由于四度力的协变形式可写表示为

  (23)

(22) 式即意味着

  (24)

明显 （24）式等价于 （5）式。

在稍复杂的情况下，例如当存在电磁场时，如果一个静质量为 m₀ 并带有恒定电荷 e 的粒子，当其电荷 e 不足以显著影响周围的电磁场时，那么该粒子在电磁场就会受到电磁场的洛伦兹力

       (25)

这种情况下仍可证明（本文略去证明，详细证明可参考[5])

     (26}

其中 K 是粒子的动能

如果将 dK/dt 理解为带电粒子的功率 P，那么（26）式就是 （5）式。

因此，在狭义相对论力学中也可推导出（5）式。

以上对相对性原理的讨论尚停留在牛顿力学与狭义相对论力学的框架下，当延申到包含万有引力的广义相对论时，广义相对性体现在爱因斯坦的 ”引力与惯性等效原理 “（Einstein's principle of the equivalence of gravitation and inertia ）。为维持该原理大范围的有效性就必须假设时空由于物质的存在而弯曲，这就需要弯曲时空的非欧几何，需要建立克里斯托非尔符号及很多形式复杂协变张量，本文略去这些复杂细节的描述，只指出，与 （5）式本质相同的关系式也同样存在。对细节感兴趣的读者可参考[7] 或 [5]。

由于关系式 [5] 与其中的每个量均与观测者所在的惯性系的选择明显相关，显然不满足相对性原理。这对理论物理学提出了重要挑战：即，关系式 （5）不符合相对性原理，该式是否存在客观性的问题？

其实 （5） 式也可写为（注意，使用了物理学中常用的矢量除法）

   （5‘）

可以看出，(5) 式意味着静力不做功，（5‘) 式则意味着力与产生该力的耗能率之比竟依赖于相对于观测者的速度！这显然是违背客观现实的荒谬结论。

例如，笔者看到美国加州的电力部门在架设高架支撑的输电线路时，使用直升机将远处的器件送到高架上施工者的手中时，需要吊着器件滞空一小段时间。这期间为支撑器件重力的力为静力（见图1），直升机能不为此消耗能量吗？器件的重力，直升机的能耗能与观测者相关吗？

图 1.

另外，据报道，在某次飞行中，为维持升力与克服空气阻力，一架匀速飞行的波音 787-9 每小时燃烧约 5400 升燃油。

图 2 （摘自360百科词条： 波音787）

这个事实难道与观测者相对于飞机的速度有关吗？更多违反常识的例子也在笔者之前发布的多篇博文中给出。

其实正确反应功率与力的内在关系已蕴含在它们的定义。

在博文 Power and its intrinsic force 2023-04-15 或 再论功率与力的关系 2023-04-13，笔者指出这个内在关系已体现在任何科学完备的度量制中，功率 P 与其内蕴力 F_intrinsic 的内在关系

   (27)

或

      (27')

其中 v_unit 是相应度量制中的单位速度。它是个与惯性系选择无关的量。因此关系式 （27）是个与观测者完全无关的客观关系。这个关系即不是牛顿力学，也不是相对论力学，更不是量子力学，生物力学等方面的推导结果。只要合理地定义能量、质量、力、功率等概念，并且用完备的度量规则度量它们时，功率与力的深刻等价关系 (27) 或 (2’) 必然呈现出来！

二、力的定义与产生机制

笔者认为上述由公式（5）或 （5‘）带来的荒谬结论的原因在于主流理论物理学界都按公式 （4）定义力 F 这个概念。该定义依赖于受力或发力者的动量，但在静力时，发力者与受力者的动量都恒等于零，所以该定义不适合静力。

牛顿的万有引力，或电磁理论中的洛伦兹力等都客观存在，受这种力作用的物体可能会遇到外来阻力而停止运动。此时，尽管万有引力或洛伦兹力都变成静力，阻力也成为静力，可是它们都依然客观存在。如果，仍然要求按公式 （4）定义的力满足公式 （5），这必然导出力不做功的错误结论。因此主流理论对力的定义存在重大瑕疵或遗漏。

实际上，Issac 牛顿早在1686年发表的《自然哲学的数学原理》就已对力下了定义

图 3

牛顿在该著作^[10]中以定义（约定）及 ”公理和定律“为开篇，阐述了万有引力和三大运动定律。

定义部分在该书403页至415页，定义共有八个：定义1 “物质的量”， 定义 2 “运动的量”， 定义 3  “内在的物质力” （Inherent force of matter），定义 4 “施加的力” （Impressed force），定义 5 “向心力” （Centripetal force ),  定义 6 “向心力的绝对量” （The absolute quantity of centripetal force ）， 定义7 “向心力的加速度量” （The accelerative quantity of centripetal force) 和 定义 8 “向心力的动力量” （The motive quantity of centripetal force）。 

这些定义是通过文字描述的。限于那个时代的认识水平，牛顿将力分成六个部分来定义是可以充分理解的。显然，其中的定义 3 和 4是核心部分：

定义 3  物质的内在力是每个物体在其能力范围内坚持其静止状态或均匀直线运动状态的抵抗力。

(Definition 3  Inherent force of matter is the power of resisting by which every body,  so far as it is able, a perseveres in its state either of resting or of moving uniformly straight forward. )

定义 4  施加的力是施加在身体上以改变其静止状态或均匀直线向前移动状态的作用。

(Definition  4  Impressed force is the action exerted on a body to change its state either of resting or of moving uniformly straight forward. )

给出定义后，牛顿通过公理（Axioms of the laws of motion) 的方式 ，即著名的牛顿的运动三个定律约束施加在做机械运动物体上的力。其中第二定律如下：

Law 2  A change in motion is proportional to the motive force impressed and takes place along the straight line in which that the force is impressed.

(运动第二定律：运动的变化与施加的动力成正比，并沿着施加力的直线发生)

显然，牛顿并没有通过牛顿第二定律（公式 （4））直接定义力，而是用第二定律明确约束他定义的 ”Impressed force” （施加的力）。这充分说明牛顿内心认为力是某种潜在的客观存在。

他在用更多文字描述，放在对力定义首位的， “物质的内在力”时是这样表述的：

这种力总是与物体成正比，并且与质量的惯性没有任何区别，除了它的构想方式不同。 由于物质的惯性，每个物体都很难摆脱静止或运动状态。 因此，内在力也可以用惯性力这个非常有意义的名字来称呼。 此外，物体仅在其状态发生变化时才施加这种力，这种变化是由施加在其上的另一种力引起的，并且这种力的运用，根据观点，既是阻力又是动力：就身体而言，阻力是为了维持 它的状态，与外加的力和冲力作斗争，就同一物体而言，它很难屈服于抵抗障碍的力量，并努力改变该障碍的状态。 阻力通常归因于静止的身体，推动力归因于运动的身体； 但是运动和静止，彼此之间仅靠一点静止，并不总是真正意义上的术语，它们在视觉上是有区别的，并且物体通常被认为是静止的。

(This force is always proportional to the body and does not differ in any way from the inertia of the mass except in the manner in which it is conceived. Because of the inertia of matter, every body is only with difficulty put out of its state either of resting or of moving. Consequently, inherent force may also be called by the very significant name of force of inertia.  Moreover, a body exerts this force only during a change of its state, caused by another force impressed upon it, and this exercise of force is, depending on the viewpoint, both resistance and impetus: resistance insofar as the body, in order to maintain its state, strives against the impressed force, and impetus insofar as the same body, yielding only with difficulty to the force of a resisting obstacle, endeavors to change the state of that obstacle. Resistance is commonly attributed to resting bodies and impetus to moving bodies; but motion and rest, in the each other only by point rest are not always truly popular sense of the terms, are distinguished from of view, and bodies commonly regarded as being at rest.)

这说明，牛顿所定义的“物质的内在的力”应该包含“ 静力”；还说明，他在为内在力的形成原因而思考探索。

如果那时牛顿已经知道质量与能量的等价关系，那么他一定会将物质的内在力给出更深刻的定义。

理解了为什么牛顿将 “物质的内在的力” 放在力的定义的首位，笔者由衷地钦佩牛顿思想的深邃！

严格地说，主流对力的定义 （4）忽略了功率与其内蕴力同时同地产生的客观事实，忽略了科学的单位制蕴含的功率与内蕴力等价关系，忽略了力与力产生的本质。

事实上，功率与力的等价关系早已蕴含在人类的认识（或意识）中，马德堡半球实验中人们用马的力量 （horsepower) 度量实验中马提供的力，而且人们也或多或少有意识地使用马力这个词作为功率大小的度量标准。特别，功率 (Power)一 词，在多种语言中都有功率与力的双重涵义。根据这个关系，一匹马消耗的功率等价于这匹马输出的内蕴力，发动机消耗一瓦特的功率就等价于发动机输出一牛顿的内蕴力。

下面讨论内蕴力 F_intrinsic 与外在可见，可直接感受到的力 F 之间的关系。

如果在一段时间内，公式 （5）中的功率 P,  可感受到的力 F，与非零的速度 v 都是定值，这意味着，这段时间内发力者必须以速度 v 运动，并且受到了强度等于 F 的某种阻力。这时，F 与发力者发出有效功率 P 的内蕴力 F_intrinsic 的关系是

    (28)

为此发力者需要通过挡位、杠杆、滑轮等其它结构使给定的内蕴力 F_intrinsic 变换成给定的力 F。

如果受力的物体没有受到任何运动阻力，那么公式 （5）就没有意义，受力 F 作用的物体必须做加速运动。假设受力前物体的运动速度等于零，正如上一节指出的，力 F 作用期间，牛顿力学与狭义相对论力学都等于

  (2’)

其中 m₀ 是受力物体的静止质量， a 是物体的加速度。如果受力物体已经以一定速度 v 运动，根据狭义相对论，（2’）式就要修正到 （21）式。

无论对哪种给定的可感觉到的力 F，施力者都可可通过辅助结构的控制使内蕴力 F_intrinsic 瞬间表现为该机械力 F，就像阿基米德研究杠杆时遐想到的："给我一个支点，我可以铲起地球“ 。

图 4 （图片摘自中文维基百科词条：阿基米德）

的确，只要有条件阿基米德的确可在一瞬间提供那样大的力。可是真要移动地球，就需要时间，需要真付出体能，阿基米德就难了。尽管如此，现实中，只要有足够的能量，用小的内蕴力即可克服大阻力。例如通过滑轮等工具，力气小的人仍可将一重物吊起。

如果力 F 是纯粹的静力，而且无论静力多大，受力物体都不能产生直接的宏观运动，那么发力者的推力 F 必然等于受力物体的反作用力。这时，发力者发出的功率必须等于受力者对发力者发送的功率，发力者在一小段时间内向受力者传出的能量必须等于受力者向发力者传送的能量。这个事实意味着，在静力的情况下，静力一定等于发力者发出的内蕴力。

功率与内蕴力的等价关系给出了力产生的根本原因。

根据这些事实，笔者认为，如果使用功率的内蕴力作为力的一般性定义包含了静力，或许更多、更自然、更科学。理论上，如果使用最小作用量原理，继定义了能量、动量后，可以首先定义功率与内蕴力，即揭示了力产生的根源，然后再研究、定义施加在运动物体上的力，这样理论将更圆满，有更大的适应性。

这需要做许多更深入的工作。

三、由功率与其内蕴力带来的自然哲学观

物理学是研究物质世界的基础科学。笔者认为能量 E 与 能量的变化率 (即功率） P 是物理学描述物质与物质运动（包括相互作用）的最基本量。根据与观测者无关的能量与质量等价关系（3）和功率与内蕴力的等价关系 (27)，即可定义质量与力这些物理学描述世界的重要概念。

功率与内蕴力是能量被激活的表现，没有这个激活整个的物质世界就是冰冷毫无生气的僵死世界。因此研究能量的激活是物理学研究的一项主要任务。

笔者面前有个瓷器的咖啡杯，很坚固，形状很美。它的内在能量是活的吗？仔细想想，意识到是活的。为什么？ 因为这个杯很结实，结实说明它的组成物质有较强的结合力，而有结合力，力就要做功，内部结构就会在不断地变化。由此想到，不管如何小心维护，这个咖啡杯必将改变成其它形式的存在。

因此，这个世界是活的，所有物质是活的。

能量的激活来自两方面

一方面来自物体内部，换而言之，如果其内能（内能的定义参考文献 [4] 和 [5]) 不稳定，随时间的发展发生了内在的变化，内能被激活，即内能随时间变化即可产生功率与内蕴力；

另一方面该粒子受到了其他物质带来的接触力，或受到电磁场、万有引力场的作用等。

无论来自哪个方面，力的产生都伴随着物质的相互作用与能量形式的转化。

在牛顿力学中粒子之间通过的万有引力的相互作用，狭义相对论中，带电粒子与电磁场的相互作用，广义相对论中物质之间的相互作用、物质与时空时空的几何结构这件的相互作用，都已部分地反映了物质能量的激活机制，例电磁场的辐射机制等。尽管如此，这些理论也存在内部困难，仍需探索完善。例如客观存在有质量的基本粒子（包括电子）在时空中仅是个运动的点吗？它们如何与时空互动？ 它们有质量，也就有内能，内能活跃吗，内能能被激活或者能自己就能激活吗？

除此，量子力学、量子场论、基本粒子、宇宙学和生命科学等领域的相关问题也是重要的研究探索对象。因能力与篇幅，这里，笔者不做更多讨论。

牛顿对力的本质的深邃思想，爱因斯坦的相对论与由此揭示的能量与质量等价关系都是人类的巨大思想财富。

能量与质量的等价关系，功率与其内蕴力的等价关系是自然界的最重要关系，二者相互补充相互依赖。

这两个等价关系符合更广义的相对性原理，它们都是不依赖观测者的客观存在。

参考文献：

[1] Einstein, Albert (1905d) [Manuscript received: 30 June 1905]. Written at Berne, Switzerland. "Zur Elektrodynamik bewegter Körper". Annalen der Physik (Submitted manuscript) (in German). Hoboken, New Jersey (published 10 March 2006). 322 (10): 891–921.

[2] Einstein, Albert (1907),  Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen. Jahrbuch  der Radioaktivität under Eleltronik, 1907, V 4,  411-462

[3] MAX PLANCK, EIGHT LECTURES ON THEORETICAL PHYSICS, DELIVERED AT COLUMBIA UNIVERSITY IN 1909, TRANSLATED BY A. P. WILLS , PRESS OF THE NEW ERA PRINTING COMPANY LANCASTER, PA. 1915 

[4]  Landau, Lev D.; Lifshitz, Evgeny M. (1976). Mechanics. Vol. 1 (3rd ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2896-9.

[5] Landau, Lev D.; Lifshitz, Evgeny M, THE CLASSICAL THEORY OF FIELDS , Translated from the Russian by MORTON HAMERMESH, PERGAMON PRESS OXFORD • NEW YORK • TORONTO SYDNEY ' BRAUNSCHWEIG , Third English edition 1971

[6]  Landau, Lev D.; Lifshitz, Evgeny M, QUANTUM MECHANICS, Translatedfrom the Russian by J. B. SYKES and J. S. BELL, PERGAMON PRESS Member of Maxwell Macmillan Pergamon Publishing Corporation OXFORD NEW YORK BEIJING FRANKFURT SAO PAULO • SYDNEY • TOKYO • TORONTO ,  Third revised edition 1977.

[7] Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, by Steven Weinberg, pp. 688. ISBN 0-471-92567-5. Wiley-VCH , July 1972.

[8] H.A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski and L.Weyl, The Principle of Relativity, Dover Publications (June 1, 1952)

[9] 范岱年 赵中立 许良英编译，爱因斯坦文集，第二卷，商务印数馆出版，1977年第一版，统一书号：2017●184

[10] Issac Newton, THE PRINCPIA Mathematical Principles of Natural Philosophy, a newtraslation and guide by I. Bernard Cohen and Anne  Whitman associated by Julua Budenz, University of California Press, Berkeley, Las Angeles, Landon, 1999