“学生化” (Studentized) 是一种特殊的非线性转换，转换后的变量为t统计量，因此称之为‘t-转换’：

假定我们利用蒙特卡罗方法获得许多仿真样本，从而得到样本标准差s和样本误差ε数据。这些仿真数据可以显示在（s ,ε )平面，即原始二维样本空间 Ω（s ,ε）。在原始二维样本空间 Ω（s ,ε），样本误差ε服从正态分布，样本标准差s服从chi-分布。因为ε与s相互独立，很容易的到它们的联合分布。我们可以进行‘t-转换’ (“学生化”) 使原始二维样本空间 Ω（s ,ε）的s ,ε数据转变成一维样本空间Ω（t）的 t统计量数据。在转换后的一维样本空间Ω（t），t统计量服从学生氏t-分布。 因此，基于学生氏t-分布的统计推断（例如t-区间、t-检验等等）是在一维样本空间Ω（t）进行的。当然，我们也可以将转换后的数据显示在（s ,t）平面，但是s 与t相互不独立。

然而,“使用[数据]转换会扭曲统计推断的每个部分【1】”。也就是说，根据转换后的“扭曲”的数据进行统计推断不会是正确的。这可以类比于现实生活中的一个例子：将柿子做成柿子饼是一种“转换”（图1）；根据柿子饼的形状 -- “扭曲”的柿子形状 -- 不可能正确推断柿子的原始形状（图2）。

为了说明‘t-转换’ (“学生化”) 对统计推断的影响，我们考虑两个样本：A 和 B，它们具有相同的样本量 n=4，分别从两个不同的正态分布中随机抽取。样本 A 的样本均值为 x_A=2（任意单位），样本标准差为 s_A=0.2。样本 B 的样本均值为 x_B=5 , 样本标准差为 s_B=0.8。假设两个正态分布的真值相等，μ=1 (但是方差不同)。因此，样本 A 的误差为 ε_A=1，样本 B 的误差为 ε_B=4。换句话说，x_A 比 x_B 更接近真值μ=1。然而，在 ‘t-转换’之后，这两个样本具有相同的 t 值：t_A=(2-1)/0.2/√4=2.5, t_B=(5-1)/0.8/√4=2.5。也就是说，在转换后的样本空间Ω（t），这两个样本之间的差异被掩盖了，因此根据这两个样本的t统计量进行统计推断将导致同样的结果，这显然是不合理的。

在测量不确定度评估实践中，‘t-转换扭曲’导致了“不确定度悖论”和“巴利科悖论”。感兴趣的读者可以参见【2】，这里不赘述。

参考文献

【1】 Harrell F 2014  Comments on: ‘Pitfalls to avoid when transforming data?’ Cross Validated, http://stats.stackexchange.com/questions/90149/pitfalls-to-avoid-when-transforming-data

【2】  黄河宁，2022 基于学生氏t-分布推断的谬误：两个悖论及其解决方法，及‘t-转换扭曲’, ResearchGate, https://www.researchgate.net/publication/362294062_jiyuxueshengshit-fenbutuiduandemiuwu_lianggebeilunjiqijiejuefangfaji't-zhuanhuanniuqu'

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