在中国，哥德巴赫猜想是最著名未解决的数学难题了，没有之一。托徐迟和陈景润之福，很多人都知道“1+1”这个问题，有些人甚至还知道，这个问题说的是：每个偶数都可以表示成两个质数之和。如果对数学更熟悉一些，还知道陈景润没有解决这个问题，他只解决了“1+2”的问题：每一个充分大的偶数，都可以表示成1个质数a与2个质数积bc的和（a+bc）。

昨天，在“风云学会科技群”里，群主袁岚峰问了这样一个问题：“对哥德巴赫猜想的数值实验已经进行到了多大？即把多大的偶数分解成了两个质数之和？”

群友“哆嗒数学网”说是“4后面18个零”（$4\times 10^{18}$），还给出了一个网址（Goldbach conjecture verification, http://sweet.ua.pt/tos/goldbach.html），有人用计算机检验过的。我对这个答案本身并没有兴趣，因为哥德巴赫猜想显然成立，只是大家找不到严格的数学证明而已。有人费心费力地检测到这么大的数字，也只是让我觉得他确实闲的没事干。我感兴趣的是他说的另一句话：“有趣的事情是，虽然验证的数很大，总有一个写法，其中一个质数小于10000。”

$4\times 10^{18}$可以拆分成两个素数，不奇怪。其中一个素数小于1万，似乎也不是特别怪。所有小于$4\times 10^{18}$的偶数，拆解后都有一个素数小于1万，听起来好像挺难的。

我又想了一下，原来如此。其实也是显然，只是这个道理虽然简单，但是很少有人提到。这里简单说一下吧。

数论里有一个非常重要也非常有名的定理，叫作质数分布定理（素数定理， https://baike.baidu.com/item/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86 ）：对于足够大的数$x$来说，小于$x$的质数的数目大约是$x/\ln x$，其中$\ln$是自然对数。这个结果挺准的，而且$x$越大就越准，见下表：

这个结果不是很难猜（历史上有很多人都猜到了），但是不好证明（但是也有好几个大数学家独立给出了证明）——标准的数论教材里都有，我能看懂，但是我自己不会证明。

这个定理很好用：从不大于$n$的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是$1/\ln n$。而且从实际的目的来看，这真的是个随机过程，随机得很呢。

好了，现在我们回到哥德巴赫猜想，问这样一个问题：对于任何一个偶数$n$，它有多少种方法可以分解为两个质数之和呢？很简单。比它小的素数有$n/\ln n$个，所以你有这么多的选择。选定一个素数$p$以后，$n-p$还是素数的概率是多大呢？对，你猜对了，就是$2/\ln n$，因子2是因为已经知道选奇数了，所以随机性下降了一半，而且偶数都不是质数（除了2这个作怪的）。所以，对于偶数$n$来说，它有$2n/(\ln n)^2$种方法分解为两个素数之和。这个数字是非常大的，所以，哥德巴赫猜想有极大的概率是成立的。

哥德巴赫猜想还有一个变种：任何一个奇数，可以分解为三个质数之和。因为奇数减去质数3就是偶数，所以，只要哥德巴赫猜想成立，这个变种肯定成立。但是另一方面，一个奇数分解成三个质数之和的方案数目，比一个偶数分解成两个质数之和的可能性多得多，大约是$n^2/(\ln n)^3$的量级。换句话说，这个奇数的哥德巴赫猜想的冗余度要大得多。所以，它早就不是猜想了，而是一个定理。苏联数学家维诺格拉朵夫早就给出了证明。

再回到哥德巴赫猜想。考虑一个很大的数$n$，比如说“4后面18个零”（$4\times 10^{18}$），问这个问题：把它拆分为两个素数，最小的素数大于10000的几率是多大呢？小于10000的素数有1229个，所以你有1228次选择$p$的机会（去掉偶数2）。对于某个确定的选择$p$，$n-p$也是素数的几率是$2/\ln n$，不是素数的几率就是$(1-2/\ln n)$，1228次都不是素数的机会就是$(1-2/\ln n)^{1228}$。这是一个很小的值，大约等于$e^{-2456/\ln n}$，把$n$的数值带入就可以得到$8\times 10^{-24}$。这个几率小得微乎其微，即使考虑所有的小于$4\times 10^{18}$的偶数，如果他们中间有一个数不能分解为小于10000的素数，这个几率大约是$1.6\times 10^{-5}$，大概是6万分之一。所以，那个计算机检验的结果也就不足为奇了。

这种方法虽然不是严格的证明，也不是直接的数值验证，但是它很有用，而且已经用在很多地方了。比如说，密码学里就有很多应用，原则上说，任何一个密码被猜出来的几率都不是零，但是你可以证明这个几率小得很，在任何实际的意义上都等价于零，那么你就可以放心大胆地用了。

你甚至可以用这个方法“证明”孪生素数猜想，也就是说，存在无穷多组素数对，它们的差等于2。只要把素数看作是满足素数分布定理的随机数，就很容易“证明”这一点。但是，这种“证明”只是给自己打气用的，真正数学意义上的证明还没有出现：张益唐证明的是，存在无穷多组素数对，它们的差小于7000万。其他数学家改进了他的结果，使得孪生素数对的差小于两百五（严格地说，是小于等于246）。真要想证明这个猜想，还需要新的方法。（孪生素数猜想  https://baike.baidu.com/item/%E5%AD%AA%E7%94%9F%E7%B4%A0%E6%95%B0%E7%8C%9C%E6%83%B3 ）

数论追求严格的证明，需要天才的想法，而我们普通人并不需要这么做，因为这个世界并不那么完美，而且有很多冗余的。对待很多事情，其实都可以套用流汗黄豆的那句话：差不多得了。