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《近场动力学微分算子》

——在数值分析中的应用

[美] Erdogan Madenci等著

韩非，张玲 译

北京：科学出版社，2021.1

责任编辑：刘信力

        《Peridynamic Differential Operator for Numerical Analysis》由著名科技图书出版公司Springer于2019年出版，作者是美国亚利桑那大学航空航天与机械工程系教授Erdogan Madenci及其合作者。

        Erdogan Madenci教授现为美国亚利桑那大学航空航天与机械工程系教授，主要研究领域为计算力学和复合材料与结构，近十几年在近场动力学领域做出突出贡献，成果具有很高的学术水平和应用价值。

        Madenci教授是美国机械工程学会ASME的Fellow、美国航空航天学会AIAA的Associate Fellow，并担任近场动力学专题学术期刊Journal of Peridynamics and Nonlocal Modeling主编，是ASME Journal of Engineering Materials and Technology副主编、International Journal of Composite Materials等多个国际期刊编委。已出版专著4部，合作编著专著8部，在JMPS、IJSS、JCP、CMAME、IJNME、CS、IJF、JMMS等固体力学、计算力学、断裂力学、材料科学和工程科学等的著名期刊上发表论文160余篇，国际会议论文200余篇，并多次在大型国际会议作邀请报告。主持美国国家科学基金会、空军科学研究局、国家航空航天局、海军航空系统司令部、圣地亚国家实验室、英国科学研究委员会、康宁、三星、雷神、波音公司等的60余项科研项目，近场动力学相关项目资助近20项，由其发起的“MURI Center for Material Failure Prediction through Peridynamics”项目获得美国国防部自2013年连续5年750万美元的大力资助。

什么是近场动力学微分算子?

        微分算子就是对函数求微分的运算符号，代表了一种运算规则。它是我们描述客观世界最常用的运算符之一。在力学、物理、化学等领域，我们遇到的大多数经典方程都属于微分方程。

        微分运算的中心思想是无穷分割。对一个函数求微分，前提是这个函数在所求之处必须连续。然而，在观测手段向着更小、更深、更快发展的今天，我们发现真实世界的场景往往并不能严格满足理想的连续性假设条件。这就使得经典的微分运算有时不再适用。那么，有没有一种运算能够达到微分运算的效果，又放宽了对连续性假设的要求呢？

        有！这就是近场动力学微分算子。在本书中，作者们通过将函数做泰勒展开，并在展开式两侧乘以特定的近场动力学函数，利用近场动力学函数在局部邻域上的积分正交性，构造性的推导出任意阶微分运算与相应的特定积分运算之间的等价关系，从而获得近场动力学微分算子。以下是单变量函数的p阶微分与近场动力学微分算子之间的等价公式：

其中p是阶数，g是近场动力学函数，f是求微分的目标函数。利用此公式，原先对目标函数具有p阶连续性要求的微分运算，等效为对目标函数乘以一个特定的近场动力学函数后的积分运算。对目标函数的连续性要求立刻被放松了许多。

近场动力学微分算子有什么用?

        相比经典的微分算子，近场动力学微分算子的适用范围变大了。我们很自然地会想到，描述自然现象的微分方程是否也可以利用此等价关系构造出相应的积分方程呢？如果可能，相应的积分方程的效果如何呢？对于基准问题，微分方程和对应的积分方程算出的结果是否一致呢？对于特殊的问题，积分方程是否有更好的适用性呢？近场动力学微分算子绝不是近场动力学领域特定的研究工具。经典微分运算所用之处，我们似乎都可以尝试替换，奇异也许就会发生。你我眼前一亮，好像发现了更广阔的研究空间。：）

        更进一步，作者Madenci教授从图形/图像的处理，常微分方程，偏微分方程以及最小二乘拟合等多个角度展现了近场动力学微分算子的应用场景。然而，比起科学理论的浩瀚海洋，这些研究只是其中的一瓢水，更多的新知识有待我们结合自己的研究背景去探索和发现，相信这样的结合必将使近场动力学微分算子这一新数学工具大放异彩。

*书中图4.34：具有32×32平铺分辨率的人脸图像的近场动力学拟合效果

*书中图6.18：Helmholtz方程的近场动力学解

当前研究趋势

        近场动力学微分算子从2016年发表第一篇文章算起才短短五年时间，属于非常新的研究领域。五年间，SCI一共收录相关文献28篇，引用210次，年平均引用42次。无论是发表文章的篇数还是引用次数都逐年快速递增，如下图所示：

        不仅如此，相关的高引用文章都是新近发表在CMAME等顶级的计算力学专业期刊上（如下图所示），同时也说明了近场动力学微分算子的研究是属于比较新且大受关注的专题。

为什么需要中文译著？

        正如本书的译者序言中提到的，近场动力学是一套固体力学的新型理论体系。该理论假设相隔有限距离的非接触物质点之间仍然存在力的相互作用，并通过求解空间非局部力的积分方程来描述材料的力学行为，避免了基于连续性假设建模和求解空间微分方程的传统宏观力学方法在面临不连续问题时的奇异性。因此，近场动力学模型适合于模拟裂纹自发地成核和扩展过程，即从基于连续变形的材料损伤到不连续变形的结构开裂的转变。2010年，译者韩非博士在国外留学期间初次接触到近场动力学理论，为它的公式所着迷，从此开始了译者的近场动力学研究之旅。

        虽然近场动力学的数学理论内容丰富，但是与传统理论的差别较大，相关的研究成果大多以英文文献的方式呈现，而且没有专门的软件可以使用，这就给很多朋友在一开始学习时带来了困难。因此，韩非博士建立了微信公众号“近场动力学PD讨论班”致力于将英文的文献和摘要翻译成中文并介绍给中国的研究者和学生。

        Madenci教授是国际上较早且长期专门从事近场动力学研究的几位学者之一，其研究工作包含近场动力学模型及其在复合材料损伤与破坏、热力耦合问题等多方面的内容。2015年秋，译者在美国开会期间首次聆听到Madenci教授讲授近场动力学微分算子的研究工作，当时就对这项研究产生了好奇心。直到2019年，译者读到了《近场动力学微分算子》这本专著，觉得近场动力学微分算子可能会成为计算力学和计算数学研究的好工具。并且，译者还了解到Madenci教授已经在线发布了书中使用的全套源程序，可供读者自由下载使用。

        因此，秉承着以往翻译和介绍近场动力学相关新知识的理念，译者觉得有必要将Madenci教授这本英文专著翻译成中文出版，尽快将近场动力学微分算子及其应用介绍给中国的研究者和学生，从而加速扩展大家对新概念的认知，进一步推动新理论与应用研究在我国的发展。

译者简介

韩非

大连理工大学教授，博士生导师。主要从事材料的多尺度建模和计算力学方法研究，尤其是在近年来兴起的国际研究热点——近场动力学理论方面做出了创新性成果。所提出的算法已经被国际著名商用软件LS-DYNA所采用。受邀撰写2篇专著章节，发表论文30余篇。2010年毕业于西北工业大学，获应用数学博士学位。同年8月到阿卜杜拉国王科技大学做博士后研究，并于2015年1月晋升为研究科学家。2017年11月到大连理工大学工作至今。曾受邀在美国橡树岭国家实验室做专题学术报告；连续组织了第12、13和14届世界计算力学大会的“近场动力学理论和多尺度方法”专题研讨会。现为国际华人计算力学协会理事；美国数学学会Mathematical Reviews的特邀评审人。

张玲

博士，2010年毕业于西北工业大学，获应用数学博士学位。2011年至2014年在阿卜杜拉国王科技大学做博士后研究。2019年到大连理工大学工作至今。主要从事流动问题的多尺度建模和模拟研究与地震破裂模型的量化分析等工作。

本书的目录

原文链接：近场动力学微分算子——新的数学工具

科学出版社公众号：近场动力学微分算子——新的数学工具

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近场动力学(PD)理论是国际上刚兴起的基于非局部作用思想建立的一整套力学理论体系，用空间积分方程代替偏微分方程用以描述物质的受力情况，从而避免了传统连续力学中的微分计算在遇到不连续问题时的奇异性，所以特别适用于模拟材料自发地断裂过程。然而，因为近场动力学的数学理论内容丰富且与传统理论差别较大，目前的相关文献又以英文表述为主，所以很多朋友在一开始学习时会遇到一些困难。因此，我于2016年9月建立了此微信公众号（近场动力学讨论班），希望通过自己的学习加上文献翻译和整理，降低新手学习近场动力学理论的入门门槛，分享国际上近场动力学的研究进展，从而聚集对近场动力学理论感兴趣的华人朋友，为推动近场动力学理论的发展做一点儿贡献！

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