地球磁场太阴静日变化

齐柏华

基本事实：

1. 变化是全局性的；

2. 与地方太阴时有关；

3. 与太阴日周期频率（ω）有关，周期是半太阴日周期（2ω）为主；

4. 与月相紧密相关，不同月相导致太阴日变化峰值出现在不同的地方太阴时；显示与月球的关系及另有影响因素。

5. 主要太阴日变化发生在白天；显示与太阳的关系；

6. 特别是一个太阴月月相平均下来却是一个标准的cos(2ωt)函数；

8. 与地球磁经度有关，相同经度，太阴日变化图形相似；

9. 还与地球磁纬度有关，大小与维度有关，平均约2伽，磁赤道附近较大。

10. 与季节有关，夏季变化大，冬季变化小。

11. 两个极大点，但幅度不同。

现有的解释是，电离层E层产生的电流，导致太阴日变化。

1.1   首先让我们考察带电粒子作圆周运动产生磁场的问题。

B=-(Q/4πε₀)V × r/r³, 毕奥-萨伐尔定律. 略去1/4πε₀,

V × r = Vrsin(α)=Vrcos(θ),因为α=π/2+θ，且cos(θ)=±√（1-sin²(θ)）

∵ Rsin(θ)=R₀sin(γ)，因为正弦定律，

∴ B= -（QV/r²）√{1-(R₀/R)²sin²(γ)}

   ≈ -（QV/r²）{1-（1/2）(R₀/R)²sin²(γ)}， 磁场方向朝下。γ为R₀处观察Q的角度

γ = ωt，其中ω为观察者为中心带电粒子作圆周运动的角速度，t为观察者观察带电粒子作圆周运动的时间，与地方时相关，周期与地方时周期相同。

改写一下，

B= -（QV/r²）{1-（1/2）(R₀/R)²sin²(γ)}

=  -（QV/r²）{1-（1/4）(R₀/R)²+（1/4）(R₀/R)²（1-2sin²(γ)）}

=  - (QV/r²){1-（1/4）(R₀/R)²+（1/4）(R₀/R)²cos(2γ)}

= -（QV/r²）{1-（1/4）(R₀/R)²}-（QV/r²）{（1/4）(R₀/R)²cos(2γ)}，                      ---------------------------------（1）

其中，变量是γ和r。γ是局部观察者观察月球的角度，γ的一周对应一个太阴日，当γ=0时，太阴时为0时，γ=180°时，太阴时为正午时分，故其与太阴时紧密相关，其一周的频率就是太阴日频率。距离r是γ的函数，距离r的计算：

三角形S，O和Y，余弦定理，

r² = R² + R₀² -2RR₀cos(φ)

r*sin(γ)=R*sin(φ)

r² = R² + R₀² -2RR₀√(1-sin²(φ))

 = R² + R₀² -(2RR₀r/R)√(1-(R/r)²sin²(γ))

r² = R² + R₀² -(2R₀)√(r²-R²sin²(γ))

(2R₀)²(r²-R²sin²(γ)) = (r² - R² - R₀²)²

4R₀²r²-4R₀²R²sin²(γ) = r⁴ - 2r²(R² + R₀²) + (R² - R₀²)²

r⁴ - 2r²(R² + R₀²)-4R₀²r² = 4R₀²R²sin²(γ) - (R² - R₀²)²

r⁴ - r²(2(R² + R₀²)+2R₀²) = 4R₀²R²sin²(γ) - (R² - R₀²)²

r⁴ - r²(2R² + 4R₀²) - 4R₀²R²sin²(γ) + (R² - R₀²)² = 0

r²与半日周期相关。

如果r >> R₀，r ≈ R， 此时与角度变化明显相关的部分是：

B= -（QV/r²）{（1/4）(R₀/R)²cos(2γ)}

 = -（Qω₀/r²）{（1/4）(R₀²/R)cos(2γ)},ω₀=V/R是月球绕地球中心视运动的角速度，ω₀与角度γ变化速度大致相同，细节不一样。B的极小出现在 γ=0 和 π，即，在观察者的头顶部和脚底部。

这是一个周期为半园周期的三角函数： Acos(2γ),且振幅与观察者到带电粒子距离r平方反比，与圆周运动半径R平方反比，与观察者到转轴距离R₀平方正比。

1.2 其次，磁场也可以由坐标变换引起，如带电粒子固定在某点，从一个相对速度为V的坐标系的角度看，该带电粒子不仅有电场，还产生磁场，磁场由罗伦茨变换得出。

B = βV × E， 其中，β = √(1-(v/c)²), E 为电场。

如果移动坐标系不仅有速度v，还有加速度a,则产生的磁场还有加速度的贡献。

E=(Q/4πε₀)(1/s′³){(1−v′²/c²)(R′−(R′/c)v′)+(1/c²)R′×[(R′−（R′/c)v′)×a′]}

B=(1/c)(R′/R′)×E,(R′/R′):单位矢量。

此问题是： 运动观察者S观察静止电荷的磁场，运动观察者不是惯性系，但在瞬间，可将其看成是惯性系，作洛仑慈变换，观察者S观察该电荷的磁场与毕奥-萨伐尔定理公式一样，磁场B为：

B=-（QV/r²）√{1-(R₀/R)²sin²(γ)}

 ≈-QV/r²{1-（1/2）(R₀/R)²sin²(γ)}， 磁场方向朝下。γ为R₀处观察Q的角度，此时速度V是观察者S转动速度，也是假设观察者S静止，带电粒子相对观察者S的速度。实际上这里还有加速度的作用，但其较小，暂忽略。结果类似于带电粒子作顺时针圆周运动，但角速度是观察者的角速度。

结果与带电粒子作圆周运动产生磁场的问题一致。

B=-（QV/r²）{1-（1/4）(R₀/R)²}-（QV/r²）{（1/4）(R₀/R)²cos(2γ)}，

2. 太阴日变化

假设在朝向太阳的磁层月球产生两个带电映像体，分别存在于在月球与地心延长线磁层中，随月球运动，并受太阳引力作用，电荷为Q，离地心距离为R，地面观察者S到地球转轴距离为R₀，

地面观察者S到Q的距离为r，假设r》R₀，γ为观察者S观察Q的角度，当地球转动时，北半球地面观察者S看到的是Q作顺时针圆周运动，线速度为V，根据上述关于带电粒子作圆周运动产生变化磁场的问题的结论，

我们有，在Q直射到的地方，地面观察者S处的变化磁场为

B=-QV/r²{（1/4）(R₀/R)²cos(2γ)}                                                                          ---------------------------------（2）

其中， r为地面观察者S到Q的距离，与地面观察者S到地心距离L，观察者S观察Q的角度γ以及地面观察者S的经纬度有关。R₀为地面观察者S到地球转轴距离，与地面观察者S到地心距离L以及地面

观察者S的经纬度有关。

在Q不能直射到的地方，因为地面屏蔽，有一个衰减函数和一个增长函数。清晨时从零起步的指数函数增长到1的函数:

F1，作用区间是太阳时3：00到6：00

黄昏时从1衰减到0的指数衰减函数:

F2，作用区间是太阳时15：00到18：00 

F1 + F2 = 1，它们相互抵消，是两个相反的过程。

角度γ为观察者S观察Q的角度，尽管太阳和地球也影响Q的位置，Q本身的位置主要受月球影响，故其变化频率不是太阳时频率，而是太阴时频率。

结论还与r，R₀和R有关，r和R₀与地面观察者的位置直接相关，相同的经度γ相同，故同经度地面观察点变化形态相似；低纬度的(R₀/R)²大，故赤道附近太阴日变化幅度大于高纬度的太阴日变化。

当地面观察者S不能直视Q时，受地球屏蔽阻挡，Q不能在S点产生磁场，故当清晨时磁场是从零起步的指数函数，黄昏时磁场是消失接近到零的指数函数。当Q处在地面观察者S顶部时出现极小值。

只有出现在太阳时3：00到18：00的月球带电映像体有效，从磁层形状大体可看出。

加入月相使我们从不同的角度看待问题，从而引入月相因素，公式（2）变为：

B=-QV/r²{（1/4）(R₀/R)²cos(2ωt+τ)}                                              ---------------------------------（3）

其中τ为月相因子，可分为两部分，τ₁和τ₂。τ₁取决于是哪个带电映像体起作用，=0或π，τ₂是太阳对带电映像体的引力作用，使得带电映像体靠近太阳，每个月相近似相同，大小等于λ，在有的月相为正，有的为负，取决于起作用的带电映像体在太阳的哪边。

以太阳位置为正右X方向，地心为原点建立坐标，将带电体绕地运行划分为四个象限，第一象限对应新月到上玄月月相，第二象限对应上玄月到满月月相，第三象限对应满月到下玄月月相，第四象限

对应下玄月到新月月相。以下分别讨论在各个象限中太阴日变化及其各自月相对太阴日变化的影响。

新月月相： 因太阳，月球和地球在一条直线上，带电体也在这条直线上，且太阴零时与太阳零时重合，故τ₁=0，τ₂=0，也导致τ=τ₁+τ₂=0。所以，在新月月相，太阴日变化为：

白天： B=-QV/r²{（1/4）(R₀/R)²cos(2ωt)}                                                           ---------------------------------（4）

晚上： B=0

如图中第一根曲线所示，太阴日变化极小点出现在白天太阳时12：25正午左右，带电体正处在天顶位置。

第一象限： 有两个月相，初月相和上玄月相。

  初月月相：月球点移到太阳时15：00左右，此时的太阴时12：25正午，受太阳吸引，带电体移到太阳时12：00到15：00之间，太阴时早于12：25正午，近似11：00左右，τ₁=0，设τ₂=λ，τ=λ。

    白天： B=-QV/r²{（1/4）(R₀/R)²cos(2ωt-λ)}                                                   ---------------------------------（5）

    晚上： B=0

    当2ωt-λ=2nπ时，太阴日变化为极小，其中n为0，1，2，3......。如图中第二根曲线所示。

  上玄月相：月球点移到太阳时18：00左右，此时的太阴时12：25正午，受太阳吸引，带电体移到太阳时15：00到18：00之间，太阴时早于12：25正午，近似11：00左右，τ₁=0，设τ₂=λ，τ=λ。

    白天： B=-QV/r²{（1/4）(R₀/R)²cos(2ωt-λ)}                                                                 ---------------------------------（6）

    晚上： B=0

    当2ωt-λ=2nπ时，太阴日变化为极小，其中n为0，1，2，3......。与初月月相不同，此时带电体位于黄昏，太阴日变化曲线受黄昏前指数衰减函数影响迅速变为零，在与太阴时12：25正午

    相对应的太阴时0：00附近将会出现另一个太阴日变化极小，此时是清晨，太阴日变化曲线受清晨前指数增加函数影响迅速出现变化，如图中第三根曲线所示。

第二象限：有两个月相，凸月月相和满月月相。

  凸月月相：月球点移到太阳时21：00左右，所在位置处在太阳日晚上，此点带电映像体失效，由另一个处在太阴时00：00左右，太阳时9：00取代。受太阳吸引，带电体移到太阳时9：00到12：00

    之间，τ₁=π，设τ₂=λ，τ=π+λ。

    白天： B=-QV/r²{（1/4）(R₀/R)²cos(2ωt-π-λ)}                                       ---------------------------------（7）

    晚上： B=0

    当2ωt-π-λ=2nπ时，太阴日变化为极小，其中n为0，1，2，3......。如图中第四根曲线所示。

  满月月相：该月相与新月月相对应，相差π，月球点移到太阳时0：00左右，因太阳，月球和地球在一条直线上，带电体也在这条直线上，且太阴零时与太阳零时相差整半天，故τ₁=π，τ₂=0，τ=τ₁+τ₂=π。

    所以，在满月月相，太阴日变化为：

    白天： B=-QV/r²{（1/4）(R₀/R)²cos(2ωt-π)}                                                   ---------------------------------（8）

    晚上： B=0

    当2ωt-π=2nπ时，太阴日变化为极小，其中n为0，1，2，3......。如图中第五根曲线所示，太阴日变化极小点出现在白天太阳时12：00正午左右，带电体正处在天顶位置。

第三象限：有两个月相，凸月月相和下玄月月相。

  凸月月相：月球点移到太阳时3：00左右，所在位置处在太阳日晚上，此点带电映像体失效，由另一个处在太阴时00：00左右，太阳时15：00取代。受太阳吸引，带电体移到太阳时12：00到15：00之间，

    这与初月月相相似。

    故τ₁=π，τ₂=-λ，τ=τ₁+τ₂=π-λ。

    白天： B=-QV/r²{（1/4）(R₀/R)²cos(2ωt-π+λ)}                                                     ---------------------------------（5）

    晚上： B=0

    当2ωt-π+λ=2nπ时，太阴日变化为极小，其中n为0，1，2，3......。如图中第六根曲线所示。

  下玄月相：月球点移到太阳时18：00左右，此时的太阴时12：25正午，受太阳吸引，带电体移到太阳时6：00到9：00之间，太阴时早于12：25正午，近似11：00左右，这与上玄月相相似。τ₁=π，τ₂=-λ，τ=π-λ。

    白天： （-QV/r²{（1/4）(R₀/R)²cos(2ωt-π+λ)} ）                           ---------------------------------（6）

    晚上： B=0

    当2ωt-π+λ=2nπ时，太阴日变化极小，其中n为0，1，2，3......。与凸月月相不同，此时带电体位于黄昏，太阴日变化曲线受黄昏前指数衰减函数影响迅速变为零，在太阴时12：25正午对应的0：00附近

    将会出现另一个太阴日变化极小，此时是清晨，太阴日变化曲线受清晨前指数增加函数影响迅速出现变化，如图中第七根曲线所示。

第四象限：残月月相：月球点移到太阳时9：00左右，此时的太阴时12：25正午，受太阳吸引，带电体移到太阳时9：00到12：00之间，太阴时晚于12：25正午，近似13：00左右，与第一个凸月月相对应，τ₁=0，τ₂=-λ，τ=-λ。

    白天： B=-QV/r²{（1/4）(R₀/R)²cos(2ωt+λ)}                                                  ---------------------------------（7）

    晚上： B=0

    当2ωt+λ=2nπ时，太阴日变化为极小，其中n为0，1，2，3......。如图中第八根曲线所示。

  新月月相：月相完成一周的演变。

注意：上/下玄月相有些特殊，两个极小各有月相因子，大小相同，符号相反。实际上，极大值点也一样，使得极小值之间位相间隔不是180°。

规律：

太阳时从3：00到18：00

太阴时每一个月相倒退3小时，一个太阴月退完回到原点。

1. 太阴日变化时段由太阳时控制，从太阳时3：00到18：00。

2. 太阴日变化规律由太阴时作变量的三角函数。

对月相求和，

任何一个太阴时刻t₀，在八个月相中分别处在余下状态：

1. 两个月相因子为零的状态，即，新月和满月。

2. 两个月相因子大于零的状态。

3. 两个月相因子小于零的状态。

4. 两个在太阳日夜间的状态，太阴日变化B为零。

故相加后，

∑cos(2ωt-τ) = ∑{cos(2ωt)cos(τ)+sin(2ωt)sin(τ)}

= cos(2ωt)∑cos(τ)+sin(2ωt)∑sin(τ)

∑cos(τ)=cos(λ )+cos(-λ) = 2cos(λ ) = A

∑sin(τ)=sin(λ)+sin(-λ) = 0

使得，

∑cos(2ωt-τ) = Acos(2ωt)， 即，一个标准的半日周期三角函数。

3. 讨论

太阴日变化主要由太阳引起的磁层中的源所产生的，月球在磁层层产生两个带电映像体，分别存在于在月球与地心延长线磁层层中，并受太阳引力作用。两个带电映像体只当其出现在太阳时3：00到18：00期间才显示作用。因地球自转，带电映像体在地表产生磁场，表现为一个太阴日半日周期的三角曲线，振幅与地面观察者所处经纬度有关。

1. 变化是全局性的；

解释： 公式（3）描述全球太阴日变化。

2. 与地方太阴时有关；

解释： 公式（3）的一个主要变量是太阴时，故此。

3. 与太阴日周期频率（ω）有关，周期是半太阴日周期（2ω）为主；

解释： 公式（3）正是如此。

4. 与月相紧密相关，不同月相导致太阴日变化峰值出现在不同的地方太阴时；暗示除了月球，还有另外的因素影响着太阴日变化。当时难以理解是哪个具体因素以及是如何影响的。

解释： 公式（3）正是如此。

5. 主要太阴日变化发生在白天；显示与太阳的关系；

解释： 解的假设之一，符合。

6. 特别是一个太阴月平均下来却是一个标准的cos(2ωt)函数；当时难以理解。

解释： 符合。

8. 与地球磁经度有关，相同经度，太阴日变化图形相似，变化源近似垂直穿越地球磁经度，这样，相同的经度就处在相似的状态。

解释： 符合。

9. 还与地球磁纬度有关，大小与维度有关，平均约2伽，磁赤道附近较大。

解释： 符合。

10. 两个极大点，但幅度不同。

解释： 符合。

还有：

cos(2ωt)有两个极大点和两个极小点。太阴日变化有时有两个极大点，有时有两个极小点，取决于月相恰好适合哪种情况。并且两个极大或极小值并不相等，取决于极致是出现在早晚还是在中间时段，

出现在中间时段的极致大于出现在清晨/傍晚的时段。这是因为衰减和消除衰减函数起的作用。