关于《小孩数数为什么不从零开始呢？》的遐想

                       王玉璞

程代展老师，您好！

    我是非数学专业的读者，对您的《一知半解漫说“数”（2013-3-4 15:50） 》一文产生了很浓的兴趣，特别是对您提出的《小孩数数为什么不从零开始呢？》这个问题，我认为很有深意，很值得大家认真思考。

    一、小孩数数不从零开始，我认为这不是小孩的认知能力不够的问题，而是小孩的家长（具有各种文化背景的一群大人）、幼师和小学教师的教法有问题。就拿许多大人惯用的用手指头教孩子数数来说，为什么不首先把拳头攥园，告诉孩子，这时没有手指头伸出来，叫做0个，然后再依次伸出一个、两个、三个、......九个手指头，先教给孩子从0数到9；再拿走路来说，大人为什么不告诉孩子，站在原地一步也没走时，叫做走0步，然后再教走一步、两步、三步、......、九步，教孩子从0数到9（因为从10开始，已经涉及到“进位”的概念）。家长和小学老师一直习惯先教孩子会数1到10，其结果，孩子一开始就形成了计数是从1开始的观念、一开始就把0从0到9组成的“一位数”的家庭中孤立出来。

    二、孩子都会长大的，长大以后都会又当家长的，家长中有的当了老师，有的当了老师的老师（各种师范院校的讲师和教授），有的还当了领导和指导全国小学数学教学的专家。如果这些长大了的孩子仍然没有更正这种从1开始计数的习惯、仍然把0从0到9这个一位数的家庭中孤立出去，那么就会在全国的数学教学领域中制造出一些本不应该出现的错误。

    1、关于0是不是自然数

    如果我们一开始就能按早在公元前571年左右诞生的先哲̶̶̶—老子的教导：《千里之行，始于足下。》的哲学思想来教孩子数数，我们很早以前就能得出自然数的正确定义：自然数是零、一、二、三、.....无限大的数构成的集合。很久以后，世界通用了阿拉伯数字，自然数就变成0、1、2、3、......无限大的数构成的集合。遗憾的是因为我们很早以前就形成了从1开始数数（计数）的习惯，从而定义出自然数是1、2、3、......无限大的数构成的集合。显然，这里的“自然”不是真正的自然，而是"习惯成自然"里的自然。

    直到1993年，我国才把自然数的定义在《国标》中改为0、1、2、3、......无限大的数构成的集合。但是在更改以后并未从数学概念上进行有效的宣讲，只是宣传了定义的更改是为了方便国际交流、是和世界接轨这样的说明，致使很多年纪大的人没有机会了解自然数里已经包含了0。

    2、关于0是不是一位数

    在1993年中国的《国标》中明确了在自然数中包含0以后，根据自然数的“位数”的定义，0和1到9一样，都是一位数，0应该回到0到9这十个一位数的家庭里了。然而我国著名的小学数学教学专家邱学华老师却在其论文中证明出《0不是一位数》。在《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数的定义中写到：《在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如“2”是含有一个数位的数，叫做一位数；“30”是含有两个数位的数，叫做两位数；“405”是含有三个数位的数，叫做三位数……》。这个定义当然是正确的，但为了避免根据这个定义直接否定邱老师的《0不是一位数》的结论，这本“教师教学用书”的编者或校者在该定义之后又加了一句行政语言：《但是要注意：一般不说0是几位数。》。在数学领域使用行政用语《一般》、《通常》的地方，都有没说清或不想说清的东西。

    3、关于0是不是最小的一位数

    自从网络媒体被使用以后，在网上出现一个至今还没完没了的热门话题：《最小的一位数是几？》。能够回答这个热门话题的标准答案一直是邱老师的结论。邱老师在其编著的《儿童学好数学的奥秘》一书中，以《最小的一位数是几？》为题进行过专门的论述，论述得出的结论是：“由此可见，按照最高位不为0的规定，0不是一位数，所以最小的一位数绝不是0。我们知道，每位数的单位数最小，所以一位数中最小的数是1。”。从建国到现在的七十年里，这个结论是教育部门认可、成为指导各地各级教研部门的工作、统治全国所有小学数学讲台的唯一官方结论。包括我们自己在内，全国人民在读小学阶段都无一例外地做过与此相关的作业题、答过与此相关的考试题，如果你认为“最小的一位数是0”，你就会被扣掉该考题的分值，你的得分就会因此而落后于认为“最小的一位数是1”的同学的得分为该题分值的二倍。一个严重的问题是，如果这个统治了全国小学数学讲台七十年的官方结论是错误的，那岂不是在客观上造成了一起严重的教学质量事故？！

    （1）、《在自然数范围内，最小的一位数是1。》的结论是完全错误的

    邱老师在其论文的结论中，共有两个命题，命题之一是《按照最高位不为0的规定，0不是一位数》，“最高位不为0的规定”是根据，“0不是一位数”是结果。我们已在《2、关于0是不是一位数》段落中明确指出，根据自然数的“位数”的定义得出0到9都是一位数。邱老师却把与“一位数”的概念毫不相关的“最高位不为0的规定”拼成因果关系，所得结论必定是错误的！《最高位不为0的规定》，仅仅是为了保证十进位数表示方式的唯一性而对两位以上的多位数的书写方式所做的规定，以避免出现02（最高位是十位）、0023（最高位是千位）、00056（最高位是万位）......这些表示方式。在两位以上的多位数中，个位始终是最低位，在只有个位的一位数中，没有最高位和最低位，在全世界的语文知识中，有一个共同的概念，那就是谈比较...、最...的时候，一定要有比较对象或比较范围。所以，“最高位不为0的规定”对只有个位的一位数没有任何约束！

    其命题之二是《每位数的单位数最小，所以一位数中最小的数是1》，这也是个假命题。在一个两位以上的多位数中，除了最高位不可取0、最小的可取值是1以外，其余所有位的最小可取值都是0而不是1。计数单位与计数的开始数不是一回事。这也正是在本文开始处，强调教孩子数数时应该从0开始数起的原因，因为孩子总会成为大人的，有的孩子会成为老师，有的孩子会成为老师的老师。

    （2）、既然在小学生的作业题和考试题中经常出现“最小的几位数”或“最大的几位数”的用语，小学数学教科书中就应该为学生明确“最小的N位数”和“最大的N位数”的概念，我把它定义如下：

    （I）、当一个N位自然数的每一位都取最小可取值时，这个N位自然数就叫最小的N位数。根据最高位不可为0的规定，最高位的最小可取值是1，其余的所有位的最小可取值都是0；

    （II）、当一个N位自然数的每一位都取最大可取值时，这个N位自然数就叫最大的N位数。每一位的最大可取值都是9。

将自然数按位排列如下表，就一目了然了。

自然数的排列表

4、在正整数范围内，最小的一位数是1吗？

    正整数正好是从1开始数起的数，那么在正整数范围内，最小的一位数是几？国内七所师范大学的数学教授曾经以《关于数学教学中的一些问题》为题，开过一次研讨会。在研讨会的纪要中的《小学阶段，问题1：最小的一位数是几？》中，明确指出：《在正整数范围内，最小的一位数是1。》。这个命题是长大后成为老师的老师的大人们建立的，应该足够权威了，因此，建国七十年中，不曾有人质疑过。但是，这个命题也没有人证明过，因此在我的遐想中也触及到这个命题。不想不知道，仔细一想，原来这个从来没有人质疑过的命题也是个似是而非的假命题。

    参考上表，举例说明如下：

   （1）、在从100001到无限大的集合中，最小的一个数是100001，但这个集合中不包含最小的六位数100000、不包含最小的五位数10000、不包含最小的四位数1000、不包含最小的三位数100、不包含最小的两位数10，不包含最小的一位数0;

   （2）、在从11到无限大的集合中，最小的一个数是11，但这个集合中不包含最小的两位数10和最小的一位数0；

   （3）、在从1到无限大的集合（正整数集合）中，最小的一个数是1，但这个集合中不包含最小的一位数0；

   （4）、在从0到无限大的集合（自然数集合）中，最小的一个数是0，这个集合中最小的一位数也是0。

也就是说，在自然数集合中，0是最小的一位数，而在其所有的不含0的真子集中，都不存在最小的一位数，只存在最小的一个数。

    至此，如果有人还不明白为什么《在正整数范围内，最小的一位数是1》的结论也是错的，那么，我们不妨再用反证法来证明一下：

以《在正整数范围内，最小的两位数是几？》的问题为例，如果《在正整数范围内，最小的一位数是1》，可以确定它的个位的最小取值是1；再根据《最高位不可为0》的规定，它的十位的最小取值也是1，那么，这个最小的两位数便是11。这个结果与真正的最小的两位数是10相悖，所以《在正整数范围内，最小的一位数是1》的结论也是错的。

当前，国内对《最小的一位数是几？》的认识，主要有三种，列表如下：

    5、关于整数的分类

   （1）、在1993年以前，我国所定义的自然数实际上就是正整数，在那个年代，人们把整数分类成：正整数，零和负整数。这种把“0”单独孤立出来的分类方法，显然是不科学的。

   （2）、1993年以后，数学界把整数的分类改良成：负整数和自然数。在这样的分类下，当孩子们学到负整数部分时，当孩子们数负整数时，又不得不从“-1”开始，就又会出现《小孩数数为什么不从零开始呢？》这个问题。

   （3）、为了解决在负整数集合中《数数不从零开始》的问题，我们不妨再一次请教两千多年前的先哲—老子。老子说过《千里之行，始于足下。》，那么，我们能不能理解为《千里之逆行，也始于足下》呢？如果可以，那就会造就一个新的集合—负自然数集（-0、-1、-2、-3、......）。这样一来，与整数有关的核心数集就是“自然数集”，“负自然数集”是“自然数集”的相反数集；“整数集”是“自然数集”与“负自然数集”的并集。同时，也就没有必要再出现什么“正整数集”和“负整数集”用语，比如，所谓“正整数集”只不过是“自然数集”的真子集之一而已。

三、结语

程代展老师提出的《小孩数数为什么不从零开始呢？》的问题很有深意，值得我们认真思考。我是一名非数学专业的读者，把自己的想法说出来是为了得到各位专业老师的批评、指点。如果说错了，我的《遐想》就变成了《瞎想》。

最近，在任正非先生的讲话中有《一个国家的强盛，是在小学教师的讲台上完成的。》这样一句金句。我想，直接站在小学讲台上的是小学教师，间接站在小学讲台上的还有所有的家长和与基础教学有关的所有人。如果我们的工作存在不足和错误，为了孩子们，为了国家的强盛，我们应该及时地加以纠正才对！

(应王玉璞学长的请求, 将其博文转载在此, 供讨论. 谢谢王学长! 程代展)