彩虹的原理是什么？大部分人都会回答，太阳光被空气中的小水滴折射，形成了红橙黄绿青靛紫漂亮的光环。如果继续思考，会发现只靠折射，折射光跟太阳光在一个方向，太阳光将盖过彩虹的七色，而且呈现的应该是外紫内红的七色（我们有时候确实能在彩虹的外侧，看到外紫内红的霓，但产生机制是在水滴内部经过两次反射，在下文会提到）。所以，加上反射，即太阳光进入小水滴后，经过一次反射后，再折射到空气中，色散的七色光背对太阳，而且外红内紫，问题似乎就解决了。当然，知道这些，应付中考应该是没问题了。然而继续深入下去，会发现问题并非那么简单。

事实上，根据不同的受力情况和水滴大小，小水滴可以呈现球形、椭圆、上圆下扁不同形状。但为方便讨论，将小水滴近似看成一个球体。

首先，第一个问题，为什么我们看到的彩虹出现在40°至42°夹角的位置（夹角为入射光和出射光的夹角的补角）？

由于太阳光是平行光，在水滴的向阳面的每个地方都会有阳光射入其中。如图所示，根据入射角的不同，出射光的位置也不一样。每一条入射光线确实能色散成七色，但许多平行光线叠加后，呈现的仍是白光。

我们之所以能在40°至42°夹角看到彩虹，是因为在这个夹角范围内，出射光最密集。换句话说，在其他角度范围，由于出射光强度太弱，人眼无法看到。下面做简单证明。

我们设入射光角度为θ₁，折射光角度为θ₂，经过第一次折射，角度改变了θ₁-θ₂，经过一次反射，角度改变π-θ₂，设经过m次反射（若只考虑主虹，m取1），最后经折射，出射光进入空气中，总的偏转角度D为2（θ₁-θ₂）+m（π-θ₂）。

利用python简单画了m=1时，关于θ₁的D函数散点图，红色点对应红光，紫色点对应紫光。θ₁的取值范围为0-90°，每0.5°取一个点。显然，在D=140°左右，点最密，即出射光的强度最大。

我们也可以根据sinθ₁=nsinθ₂（n为折射率），求D关于θ₁的导数，最小值对应的θ₁满足

对于主虹，m=1，即。

红光的折射率为1.3318，对应的θ₁为59.48°，D为137.75°，其补角为42.25°。

紫光的折射率为1.3435，对应的θ₁为58.80°，D为139.42°，其补角为40.58°。

对于霓，m=2。因为多了一次反射，霓的强度比虹小，这就是为什么大多数情况下我们只能看到一条彩虹的原因。随着m的增大，出射光强度减小。当光强减小到一定程度时，人眼便无法感知到。

具体计算如下：

太阳光也可以在水滴之间被多次折射和反射。

第二个问题，复虹。下图为美国男子John Entwistle在新泽西州拍到的罕见的5道彩虹。这是什么神仙运气，为什么我连两道彩虹都没看到过……

第三个问题，为什么彩虹是半个环形的？

明早有课，有空再写

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