“一位哈佛大学的生物学教授还重新学习高等数学”的故事是数学科学成为社会共有素质价值的佐证之一。了解一点不见闹心的数学符号的数学文化式样的数学内容是有利无害的。让孩子们去辛苦学习奥数的做法远不如家长去了解一些文化数学来的划算。下面的“博文”也许就是给家长们提供的数学文化食材。

数学科学的基本细胞是通常意义下的分明集合，而由集合概念再定义映射的概念，那么就可以讨论数学中的一切对象了。如果事先给定一个非空的分明集合作为讨论的场所（称为万有域），那么在此基础上还可以定义万有域上的模糊集合概念，于是产生了模糊数学范畴。值得说明的是，从理论研究的角度出发，分明数学，或称确定性数学，是数学学科的主体内容，而模糊数学却是应用数学的一个非常有用的分支学科。通常情况下，我们都在分明集合意义下讨论数学问题。

数学有三个主要方面：数学理论、数学应用与数学文化。

数学理论有“横向坐标”与“纵向坐标”两个方面。横向坐标是指同一概念层面上的理论体系的深入发展。纵向坐标是对已有概念在观点上的提高、拓广与抽象。若把数学视为一个世界，那么每门数学学科分支就是一个国家。例如，微积分是一个国家、实变函数是一个国家、泛函分析也是一个国家。在横向坐标下，微积分和实变函数各有不同的理论体系。但在纵向坐标下，实变函数就比微积分处于更高的位置了，而泛函分析还可以统辖微积分和实变函数。数学难学与难懂似乎已经被大众认同，尽管数学科学比起其它科学都要简洁。数学的含金量就体现在这个“难”字上面。数学的不同分支的确是难度各不相同的，就如同各个国家的强弱不同一样。数学上的难度如何定义和理解？一个是每个数学分支学科都存在的解决数学问题本身的技术性难度，不妨称之为难度I（技术难度）。再者就是数学分支学科本身理论由于抽象而产生的理解难度，不妨称之为难度II（抽象难度）。还有就是，由于学科本身内容涉及到的内容广泛而产生的综合性难度，不妨称之为难度III（综合难度）。

用模糊数学的语言，我们可以对数学不同分支的困难程度给出一个简单描述。设数学各分支学科的难度万有域集合为X={难度I，难度II，难度III}。则可以有X上的以下模糊集合：

组合学=（1.0难度I，0.1难度II，0.2难度III）,

运筹学=（1.0难度I，0.05难度II，0.1难度III）,

统计学=（1.0难度I，0.05难度II，0.2难度III）,

代数学=（1.0难度I，0.8难度II，0.3难度III）,

拓扑学=（1.0难度I，0.8难度II，0.6难度III）,

分析学=（1.0难度I，0.6难度II，0.6难度III）,　

几何学=（1.0难度I，0.9难度II，0.9难度III）

从以上这些模糊集合的例子，我们也许可以理解，为什么纯粹数学的最高奖励Fields 奖和Wolf奖总是授予难度大的数学分支重要研究成果的原因了。在某种意义上讲，所谓的核心数学就是由三种数学难度的隶属度总和的大小来决定的。

研究数学理论的主要技术路线常常是：在数学逻辑之下的集合中各种数学结构的体系推理过程。例如，已知一个非空集合，那么的幂集合是指由的所有子集合所构成的新集合。作为幂集合的子集合的拓扑结构和-代数结构，以及一些映射类的运算结构都是中重要的数学结构。与其上的拓扑结构“组合”就形成了拓扑空间理论；与其上的-代数结构“组合”就产生了可测空间理论；与其上的运算结构“组合”就构成了抽象代数理论等等。集合上的多种数学结构可能的“交织组合”还会产生更多、更广和更深的数学理论分支。

数学的应用方面更加能够说明数学是人类拥有的最奇妙的思维武器。数学是按逻辑运作的。从公理化出发，一整套的数学理论可以应运而生。在数学美妙的国度里，数学家不断地耕耘与收获，即使不与其它任何科学分支发生联系也无关紧要。可是其它学科领域的问题却不时地与数学建立联系，以至于数学家的视野也关注到了数学之外的科学领域。自然科学的宪法是实验证明一切；数学科学的宪法是逻辑证明一切。科学家可以运用实验和数学两大工具探索自然界的奥秘与规律。人类的思维发明与发现了数学，而人类同时又要以自身的思维去探索世界，所以数学科学与其它学科领域的内在联系主要是通过人类思维的特有规律而联系起来的。在地球上的人类产生之前，数学和其它科学领域的存在与否其实都是不重要的。以人类的思维为出发点，一切科学领域才显得意义十足。既然数学可以应用了，那如何用数学就是值得关注的话题了。数学与其它学科的联系纽带就是数学模型；数学这个国家的外交部就是数学模型。自然界的一切事物与现象如今都可以用数学的视野去审视。宏观与微观的物质世界中的一切现象都有数学的模型身影。物质世界中的基本细胞、基本元素、基本粒子等的数量变化和位置变化等都是与数学理论密不可分的。人类与动物的区别之一就是人类的思维可以数学化，而动物除了本能上的一些“数学直觉”之外，并不能理解数学和刻意运用数

学。人类的思维和大脑是目前最神秘的科学领域之一。大脑产生思维与智慧的内在机制中一定可以用数学模型的观点去分析和研究。情感与心理等“量子态”的物质也应该与数学有着不解之缘。例如，思维、智慧、情感、心理等等可以理解为各种物质场，从而应该满足各种可能的微分方程。总而言之，世界上有了人类，也就有了数学，从而就有了一切！

数学的文化方面主要体现在数学哲学及其对社会学的渗透方面。主要是数学的思想方法与理论内涵之间的对偶关系。人类的思维与数学逻辑所碰撞出的火花就是数学的方法与理论。探索数学哲学的道路是漫长的，可以思考的空间是无限的，其实每一个人都是数学哲人，只要自己愿意思考数学的话。

数学通常还有以下的一些说法：纯粹数学与应用数学，更细致的是，基础数学、应用数学、计算数学、概率论与数理统计、运筹学与控制论等称谓。代数学、拓扑学、几何学与分析学又是数学学科中最基本和最重要的基础学科分支。

数学学科可以被比喻为海洋。纯粹数学似海底，应用数学似海面。数学与现实世界的联系纽带是海上的航船：数学模型。越向海底方向走，就越加艰险与神秘，即所谓高深的基础数学方向。在海面上航行，显然也并非轻松和简单，即所谓漠测的应用数学技术。会潜水的人（数学家）可以欣赏到数学内在的美（纯粹数学的理论精髓），而海上驾船的人（应用数学家）却也可以领略到数学外在的艳（应用数学的价值）。在岸边看海的人对大海的感受就是通常民众对数学的警畏心情了。数学是海洋：如何看数学、如何学数学、如何教数学、如何用数学、如何研究数学、如何品数学，所有这些就看人们对大海的思考了！

分析数学是现代数学的核心内容之一，其深广的理论体系与巨大的应用价值，在人类的发展进程中起到了中流砥柱的推进作用。人类今天拥有的一切现代物质文明是与微积分的创立密不可分的。因为有了微积分中的极限工具，物理学才能从特殊情形走到一般情形，从而导致了现代科技的全方位发展。那么什么是分析数学？简言之，涉及到极限内容与方法的所有无限数学分支学科都可以视为分析数学。现代分析数学最原始的开端应该是微积分理论的建立。从初等数学中的“静态”不等式到微积分中的“动态”不等式，自变量影响因变量的变化过程的极限状态，可以严格而生动地用“动态”不等式给出精确的数学刻画，即极限的定义。所以，不等式是分析数学的最基本元素的说法应该属于认识分析数学的第一个本质观点。如果向“海底”方向再走深一点，我们会发现可以从拓扑学和序关系的角度给出极限定义的更深层次的刻画，这可以视为认识分析数学的第二个本质观点。应该说明的是极限概念在数学中的第一个本质应用就是实数理论。实数的微观结构与宏观应用的分水岭就是极限理论。要想知道实数是什么和实数的应用价值是什么，那么必须掌握极限的本质含义。

按照分析数学的如此说法，在大学本科数学课程中的数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、微分几何（“半分析学”）、概率论与数理统计、计算方法、泛函分析、测度论、点集拓扑及微分拓扑（“半分析学”）等诸多课程都属于分析数学的范畴了，因而我们可以谈所谓的综合性分析数学。由此

可见，分析数学在数学海洋中的所占比例是太大了！值得一提的是分析学与拓扑学互为“有恩”。分析学感谢拓扑学在其“生命起源”极限定义上的高观点支持；拓扑学感谢分析学在其镇殿之宝“庞加莱猜想”的解决问题上的巨大贡献，因为“几何分析”方法（偏微分方程+现代微分几何）的运用是解决这一拓扑学百年猜想的关键所在。

分析数学的特征是运用极限方法来研究有限与无限之间的数量关系。不谈无限和不用极限就无法讨论分析数学。极限的最直观层面是使用数量不等式描述两个数量变量之间的相互影响关系。在抽象角度上看极限，人们可以在统一形式下理解很多具体的极限对象。例如，函数极限的定义和定积分的定义可以在序关系意义下的有序变量的极限定义中得到统一体现。通常情况下，用拓扑学的语言刻画极限的定义将更有意义。如果把数学分成有限数学和无限数学两部分，那么从应用角度来说，有限数学就是局部性的快速应用数学，而无限数学却是整体性的慢速应用数学。在无限数学中，分析数学占据了主要部分，即动态的无限数学部分。分析数学中的极限内容是刻画动态数学的主要工具。通过极限可以讨论微分和积分，因而极限、微分和积分是分析数学的永恒主题。复杂事物简单化的过程所对应的数学模型就是以平直代替弯曲，也就是求函数的导数；简单事情复杂化的过程就是以局部无限聚集整体，即求函数的积分。不同层面上的各种微分和积分的称谓是色彩斑斓的分析数学众多分支中的理论支柱。微分和积分既可独立地进行研究又有相互联系。微积分中的Newton-Leibniz公式、微分流形中的Stokes定理和测度论中的 Radon-Nikodym定理等都是刻画微分和积分相互联系的典型代表。测度的本质是满足可数可加性，而这正是测度论属于分析数学的主要标志。测度空间上积分理论的讨论可以与空间的拓扑结构、代数结构以及几何结构没有必然的联系。但是积分的一般观点却是局部紧拓扑空间上的连续线性泛函，即著名的Riesz表示定理。全有限测度空间是随机数学的工作场所。全有限和随机性是值得深思的基本客体。全有限测度变成概率，可测函数变成随机变量，积分变成随机变量的数学期望，转眼间充满随机性的世界变成了数学的全有限测度空间。紧跟的一个问题就是随机性的数学刻画本质是什么？显然，全有限测度空间的-代数可测集类上的一个模糊集合就是概率的模糊数学刻画。

Fourier分析是数学分析、实变函数、复变函数与泛函分析的综合体现场所之一。Fourier级数是很多数学分支起源的组成分子。在人类关于太阳系的稳定性方面的早期忧患中，Fourier级数就带领人们走出了困惑。长期的天文学观测曾经发现了土星轨道扩张，而木星轨道收缩的“土扩木缩”现象。当时人们担心长此下去的话，太阳系是否会被破坏掉。人们用科学实验无法解决这个困惑时，Fourier级数帮助人类解释了这个现象，并说明了其周期现象的本质，还计算出回归周期是729年！尽管当时的Fourier级数理论还不深入与完善，但却牛刀初试锋芒，深刻地阐明了应用数学的价值与意义。用Lebesgue积分理论研究Fourier级数为Fourier分析开辟了新天地。Lebesgue可积函数空间上的Fourier变换理论更加增添了Fourier分析家族的荣耀，特别是以Plancherel定理为主要标志。通过恒等逼近技术证明的Fourier变换反演定理充分说明了恒等逼近分析思想的有效性。、

以Lebesgue可积函数或者具有紧支集的无穷次可微函数的伸缩变换函数族为积分核的卷积技术是分析数学的生命之河。通过这样的卷积技术，一个不太光滑的“坏函数”可以被磨光为一个很光滑的“好函数”，而且这些“好函数”的极限就是原来的那个“坏函数”。这个过程就是分析数学中的恒等逼近。卷积技术和恒等逼近体现了自然哲学的辩证思想。一个“坏的东西”可以通过“努力与改造”而变成一些“好的东西”，而这些“好的东西”却是与这个“坏的东西”有着“共生联系”的。

以上简单云云，还只是分析数学绿洲的“树苗”（实数理论）和“树木”（函数的微积分性质）部分而已。分析数学的“森林”却是函数空间及其上面的“微积分学”。函数空间思想的出现与延伸，标志着现代分析数学的真正运行。具有紧支集的无穷次可微函数所构成的试验函数空间上的连续线性泛函理论始于20世纪30年代的L. Schwartz 等分析大家。直至今日，这种分布理论或称广义函数理论都是现代分析主流学科的基本血液。若把数学简单地理解为“函数”，那么“定义域”方面包含数学对象最广的数学结构可能就是拓扑空间，而“对应规则”方面包含数学对象最广的数学结构也许非广义函数莫属了，因为连续函数，可微函数，可积函数，测度，甚至非测度的一些数学对象全都可以视为广义函数。分析数学的主要特征还体现在“空间对偶、抽象统一、全局均衡”等不同方面。小空间的拓扑对偶是大空间，反之亦然。从解析函数的无穷次可微性质到广义函数的无穷次可微所体现的是抽象统一。概率论中的大数定律与中心极限定理是全局均衡。数学分析中的可微函数的光滑特权在广义函数时代已经变成大众光滑。如此种种，分析数学的“身躯”与“灵魂”，以及数学研究与数学教育等等都是分析数学对偶精髓的表现。伴随着数学“三代功臣”——数学分析、高等代数、解析几何; 抽象代数、一般拓扑、泛函分析; 微分流形的演变历程，分析数学已经可以站在全局的数学舞台“流形”之上，极限仰望“函数空间”的大范围分析学了。与此同时，分析数学的应用视野可以覆盖宇宙中的一切事物。驾驭着分析数学课程之舟，可以航行于色彩斑斓和神奇美妙的数学海洋和现实宇宙之间，何乐而不为之。

人类思维所发现与发明的数学回报给人类的是用数学语言表示的哲学辩证思想。明白哲学和会用哲学意味着人生可以无困惑；明白分析数学和会用分析数学意味着人生的自然化与轻松化；大家都来学习分析数学意味着社会文明程度的进步与提高。这些观点的最基本出发点就是：数学是人类思维的重要精华部分，而分析数学是哲学和辩证法的突出表现。