Bethe拟设七十五年

在沉寂数十年后，Bethe 1931年对一个量子力学模型给出的解如今进入了从超导体到弦理论的众多领域。

Murray T. Batchelor 著

左    芬         译

【译注：原文2007年1月发表于PHYSICS TODAY，链接见文末。】

Hans Bethe当时提出他那如今闻名于世的拟设，是为了获得固体中局域自旋相互作用的Werner Heisenberg模型一维版本的能量本征态。尽管它是Bethe引用最多的工作之一并有着广泛的应用，但鲜少在研究生物理课程中被提及，除非是很高级的课程。值Bethe拟设75周年之际，我们对Bethe的结果在现代物理学中的作用加以总结来表示庆贺。这包括它在统计力学精确可解模型领域中的深远影响，它对冷量子气体中观测到的量子多体效应的微妙特征的洞悉，不一而足。

图1：生涯早期的Hans Bethe

Bethe（图1）1928年在Arnold Sommerfeld指导下获得了理论物理博士学位。随后在慕尼黑大学期间，Bethe利用旅行奖学金于1930年秋天去了剑桥，并于1931年和1932年春季学期去了罗马。他1931年以德语发表于《德国物理学刊》的文章，就是在罗马提交的。那一阶段是物理学史上最激动人心的时期之一；量子力学理论正在被精炼并用于揭示量子王国的复杂特征。这些扣人心弦的发展以及与Heisenberg, Paul Dirac, Enrico Fermi等先驱人物的邂逅显然强烈地影响了Bethe的研究。（更多生平细节，参考PHYSICS TODAY 2005年10月的Hans Bethe专刊；关于Bethe本人对他在罗马与Fermi共处时光的回忆，见 PHYSICS TODAY 2002年6月刊，28页。）

求解Heisenberg模型

在德语中，“拟设（der Ansatz）”的含义可以是“基本方法”，“雏形”，或者“起点”。一个数学拟设有点猜想的意味：它是一种试探性求解，需要进一步证实对错，而不是利用一种此前已知的方法推导出一个解。

Bethe拟设始于求解Heisenberg模型，在固定位置处的自旋1/2量子力学粒子的一维阵列。求解这一模型意味着找到哈密顿量的所有本征态，以及它们对应的能量。

Heisenberg模型中的自旋可以指向任意方向，不过系统的任意态可以写成一组基矢态——在给定方向上自旋朝上或朝下——的线性组合。在量子化方向上的角动量是守恒的，意味着每个本征态都是拥有相同数目向下自旋的基矢态的线性组合。换句话说，个自旋的阵列的哈密顿量是一个分块矩阵，每个块对应着向下自旋的一个数目。不妨将每个向下自旋看成一个准粒子，并将所有自旋向上的态看作真空态。

单个准粒子的波函数看起来跟一个环上的自由粒子非常像：形如的平面波，其能量依赖于波数，而波数本身则必然是的整数倍。两个或更多粒子的本征态则更为复杂，因为粒子会相互作用——不过相互作用是短程的，毕竟只有紧邻的自旋对才会贡献到哈密顿量。

Bethe发展他的拟设靠的是在相空间里观察所有准粒子都彼此分离的那些区域。对于个准粒子，在其-维相空间里有个这样的区域，每个对应于准粒子的一种排序。Bethe的基本思路是，希望每个区域的波函数是平面波的线性叠加，就好像准粒子完全没有相互作用。通过在这些区域的交界面处对这些波函数进行匹配，他得出了关于这些平面波的组合系数与波数的一组方程，如方框1所示。此时波数不再是的整数倍。取代这一约束的是一套复杂的方程，被称为Bethe-拟设方程，或者简称Bethe方程。

Bethe接着说明他的拟设给出个能量本征值，其中是链的长度。由于就是本征态的总数，他也就找到了任意有限系统的完整能量本征谱。

Bethe再未重返过这一问题。它接下来在1938年由在荷兰莱登市工作的Lamek Hulthén接手。Hulthén的工作是关于Heisenberg模型的反铁磁情形的，其中反向的自旋在能量上更受青睐。Hulthén还利用Bethe的有限系统解获得了无限长链极限下的单个位点基态能量。Hulthén正确地猜测出描述基态的波数在无穷尺度极限下形成均匀分布。由于Hulthén的贡献，Bethe拟设有时也被称为Bethe-Hulthén猜想。

相互作用玻色子与费米子

在Hulthén的工作之后，Bethe拟设进入了很长时间的空白期。直到1963年它才再次出现，不过这次的进展相当惊人：一维相互作用无自旋玻色子模型的精确解。这一模型如今以Elliott Lieb与Werner Liniger命名为Lieb-Liniger玻色气体。在此模型中，个玻色子在长度为的线段上以零程接触势相互作用，如方框2中所描述。不同于一维Heisenberg模型中的自旋都固定在离散的晶格位点上，Lieb-Liniger玻色气体是一个连续模型，其中粒子（即大量无自旋玻色子）可以在一条线段上自由运动。波函数的形式恰好是Bethe拟设那样，只不过两体相互作用项不同，因而能量本征谱也不相同。再一次地，Bethe拟设给出了模型的完整解。该模型的一个重要特征是，参数化动能项和势能项相对大小的相互作用强度是可变的。在相互作用强度趋于无穷大的极限下，该模型规约为Marvin Girardeau1960年代讨论过的“不可穿透”硬核玻色子模型。这一极限的特殊性在于两个不可穿透玻色子不能处在同一个态，而这也就意味着强相互作用玻色子实际上表现得如同无相互作用的费米子。

一维中个相互作用费米子的问题可以用相同的方法求解，不过现在你需要付出额外的努力来处理自旋自由度。结果是一组更为复杂的嵌套Bethe拟设方程。能量本征谱仍然由波数给出，不过自旋自由度会影响这些波数的值。一维费米子模型中尤为有趣的是在吸引相互作用下的束缚态以及束缚的费米子对在不同相互作用强度值下的不同行为。在强吸引下，束缚态表现得像紧束缚的分子二聚体（一种类凝聚行为），而在弱吸引情况下，系统描述了松束缚Cooper对（一种类超导行为）。

像相互作用费米子这种复杂得多的Bethe拟设方程在多个其它模型中出现，其中包括由Lieb和Fred Wu【译注：即伍法岳】求解的一维Hubbard模型。该模型描述了在一条窄的能量带中的电子关联。在量子原子光学中的惊人实验进展下，这些1960年代用Bethe拟设求解的相互作用粒子基本模型正迎来新一轮的关注。

冰模型

Bethe拟设的应用延伸到看起来与Bethe最初考虑的一维量子力学问题不相关的系统。 Heisenberg模型的Bethe拟设解需要对角化哈密顿量，一个乘的块对角矩阵。如果类似的矩阵出现在另一种类型的一个模型中，那么该模型或许也存在Bethe拟设解。

冰模型正是这样。这是一个二维的统计力学模型，如此命名是因为其与冰的晶体结构相似。在一个带周期性边界条件的正方晶格中，氧原子处在顶点上，而氢原子处在边上。每个氢原子会更靠近相邻的一个氧原子，而远离另一个。“冰规则”要求每个格点包含一个H₂O分子——也就是说，每个氧原子要有两个靠近的相邻氢原子，两个远离的。这一模型通常图形化地在晶格的每条边上画上一个箭头来代表氢原子的位置。冰模型也被称为六顶点模型，因为每个顶点有六种容许构型，每种都带有两个向内箭头和两个向外箭头。

求解这一模型意味着计算配分函数，也就是所有允许构型根据它们的能量进行加权后的计数。在真实的冰中所有允许的构型都具有相同的能量，但这一模型通过对六种不同的顶点构型分配不同的能量而进行了推广。1967年Lieb用所谓转移矩阵的本征值计算出了配分函数，从而求解出了冰模型。

如果指定了相邻两行的纵向箭头，那么至多有两种方式来填充它们之间的横向箭头；如果两行的纵向箭头不相同，那么最多只有一种方式。一种构型的能量于是几乎完全由纵向箭头的构型确定。对于宽度为的晶格，一个乘的转移矩阵的元素就足以描述纵向箭头相邻行的所有可能对在配分函数中做出的贡献。

在冰模型的任何构型中，相邻两行（事实上，任意两行）的纵向箭头必须包含相同数目的向下箭头。因此，转移矩阵是一个分块矩阵，每个块对应于从1到的一个向下箭头数。冰模型的这一“守恒”的向下箭头扮演着跟Heisenberg模型中守恒的准粒子一样的角色。

Lieb证明转移矩阵的本征矢量可以用Bethe拟设获得。冰问题的求解在当时引起了巨大的轰动，可与Lars Onsager对2维Ising模型的求解相提并论。六顶点冰模型随即被改进和推广，而精确可积的晶格模型的研究也真正开始上路。

人们很快注意到六顶点模型的Bethe-拟设解与一种变形Heisenberg自旋链的推广Bethe解之间存在相似性。这两个模型不仅都可以利用Bethe拟设求解，它们相应的矩阵还都具有相同的本征矢量。换句话说，Heisenberg模型哈密顿量与冰模型的转移矩阵对易。这两个模型之间的联系反映了一维量子问题与两维经典统计力学问题之间更广泛的联系。所有这些展示了Bethe-拟设方法的威力，并为后续的出色发展搭建了舞台。

可积性与杨-Baxter方程

Bethe发现他的多粒子问题规约到处理两个粒子聚到一起的行为。他的拟设于是有效地将多个粒子的相互作用分解成两体相互作用。这一分解与可积性概念紧密地缠绕在一起。类比来说，在经典力学中如果一个体系所有的运动常数都能计算出来，就说它是可积的。例如，两体引力问题是可积的，但三体问题则不是。引力的长程性意味着三体相互作用无法规约为一系列的两体相互作用。几乎毫无例外，如果一个给定的模型体系可以用Bethe拟设求解，就是可积的。

在杨振宁对一维相互作用费米子问题求解中关键的一步是引入满足如今所谓杨-Baxter方程的算符。同样的概念以一种不同的形式，作为转移矩阵对易的条件，出现在Rodney Baxter的八顶点模型（与冰模型类似，但有两个额外的允许顶点构型）的解中。例如，在Heisenberg自旋链或者Lieb-Liniger玻色气体的情况下，三体Bethe拟设波函数振幅可以写成更一般的形式，以及，其中。存在两种方式用这些算符从过渡到，也就是

 与  .

两种途径应该等价，给出

 与  .

这些关系式有简单的图形解释。第一个式子是幺正性类型的关系，而第二个就是图2中所示的杨-Baxter方程的一种形式，也被称为星-三角关系。

图2. 杨-Baxter方程的图形解释。它可以看成三个粒子a,b与c散射的时空图，随着时间从下往上。可以看到这一散射分解成相继的两体相互作用。

杨-Baxter方程提供了一组关系，求解它们可以给出新的可积模型。这一认识在统计力学精确可解模型和量子场论可积模型领域中诱发了一场革命。在量子场论中，杨-Baxter方程描述了在一维空间加时间（“（1+1）维”）中粒子的散射。Richard Feynman在去世前不久曾关注过这类问题。在他最后的文章之一中，他写道：

    我沉迷于这些用Bethe拟设可解的（1+1）维模型中。它们神奇地出现并且奏效，但你却不知个中原由。我试着去更好地理解这一切。

可积性理论也对数学的发展起到作用。对杨-Baxter方程数学结构的探索导致了量子群理论的诞生，并推动了链环、辫与扭结不变量理论的重要进展。最近，Bethe拟设本身也引发了组合学领域的一些引人入胜的发展。具体来说，一种变形Heisenberg自旋链的基态波函数的组件可以用于计数被称为交错符号矩阵的一类组合学对象。弦理论的近期发展涉及超杨-Mills理论中的半经典弦与一维Heisenberg自旋链的Bethe-拟设解之间的神奇关联。

跳出纸面，进入实验室

用Bethe拟设求解的体系偶尔会出现在凝聚态物理实验中。例如，许多化合物是由等效的一维自旋阵列组成，因而表现得像一维Heisenberg自旋链。与凝聚态物理实验相关且求解用到Bethe拟设的重要模型有Gaudin长程磁体，Bardeen-Cooper-Schrieffer电子对模型，Kondo模型，以及Anderson模型。

为实现这些利用Bethe拟设求解的更基本模型而设计的实验同样有价值。近期在光晶格中囚禁原子的惊人进展也许能为实现一维量子力学模型提供最富饶的测试土壤。确实，在这些研究中，精确可解的相互作用玻色气体作为量子多体物理中的一个基本模型，已经可以在实验中直接实现。

一个尤其引人注目的例子是大范围相互作用强度下一维Lieb-Liniger玻色气体在实验中的实现。在Toshiya Kinoshita, Trevor Wenger及David Weiss制备的实验中，冷铷-87原子的一维自由移动玻色气体被囚禁在一套由两个光阱组成的长雪茄型管中。原子相互作用强度可通过改变阱深来调节。一维总能量的测量结果与一维相互作用玻色气体的Lieb-Liniger基态精确解相符。此外，研究者还在大范围的相互作用强度下通过测量光缔合率获得了局域对关联函数，如图3所示。局域对关联函数正比于在同一个位置观测到两个粒子的几率，因此它必然随着相互作用强度的上升而下降，并在强相互作用极限下，也就是玻色子表现得像是无相互作用费米子的极限下，趋于零。实验给出了玻色子费米化的直接观测。

图3. 一维玻色气体局域对关联函数与有效相互作用强度的实验与理论对比。在强耦合下，局域对关联函数趋于零，意味着强相互作用玻色子表现得像是不相互作用的费米子。实线从Lieb-Liniger结果中获得，而该结果中用到了Bethe拟设。

考虑到低维中囚禁费米子的持续实验进展，一维相互作用费米子模型可能很快就能在实验中实现。这些年一直近乎闲置的许多其它精确可解模型紧接着也将迎来机会。这其中包括多成分费米模型，混合等质量玻色子-费米子模型，自旋子玻色气体模型，相互作用任意子模型，诸如此类。

光晶格实验甚至可能实现Heisenberg模型和其他可积量子自旋体系。将极化分子的冷气体作为强关联凝聚态体系的量子模拟器而加以发展，研究者或许能构建出一套完备的工具集，进而实现具有给定双自旋相互作用形式和耦合强度的有效自旋模型。在这一诱人进展的同时，人们也越来越关注可积量子多体系统及其在量子纠缠，量子信息理论以及量子计算中的应用，而这一切都依赖于相互排斥事件的振幅具有量子相干性。当然，量子相干性并不存在于任何经典动力学，信息论，或者概率论中。然而，它在因Bethe拟设而可积的量子体系中却是一个关键要素。

75年过后Bethe拟设依然盛行。它被用于求解真正相互作用的量子多体系统，而对于它们微扰方法和平均场理论往往失效。在相互作用玻色子和费米子情形下，将空间维度约束到一维导致了强化的动力学和关联，并最终给出了新奇的量子相。由于其内在的数学结构和丰富的成果，Bethe拟设在多个领域产生了不可估量的影响，并在此过程中带来了众多惊喜。考虑到光晶格中原子操控的近期进展，毫无疑问更多的惊喜还将到来。

原文链接：

https://pubs.aip.org/physicstoday/article-abstract/60/1/36/918724/The-Bethe-ansatz-after-75-yearsA-1931-result-that?redirectedFrom=fulltext