W. E. Farrell撰写的，题为《Deformation of the Earth by Surface Loads》，发表于《Reviews of Geophysics and Space Physics》1972年的第10卷第3期，页码范围是761-797。文章主要研究了地表载荷对地球的静态变形问题。在这篇文献中，Farrell给出了Green函数通解，此方法在GNSS水文大地测量研究被广泛应用，本博文深度解读这篇文献。

一、文章的核心内容概述：

1. 引言：介绍了地球固体潮汐的研究进展，特别是地表力（如日月引力和海洋潮汐压力）对地球的影响。特别指出了“负载潮汐”与“体潮汐”的区别，以及如何通过准确计算地球对潮汐体力的响应来区分这两种潮汐。

2. Boussinesq问题：讨论了非引力弹性半空间对地表压力的响应，这是研究地球变形的基础问题。详细讨论了基本解、圆盘载荷、椭圆载荷以及由表面压力引起的面积应变和膨胀的一般结果。

3. 球面上的质量载荷：深入分析了地表质量载荷对地球的影响，包括数值积分运动方程、表面边界条件，以及0度和1度载荷的特殊处理。

4. Love数：Love数是描述地球静态变形的无量纲量，文中概述了其一般性质和平板地球近似情况下的计算。

5. Green函数：Green函数用于描述地表质量载荷引起的位移、加速度、倾斜和重力效应以及应变张量。

6. 计算结果：提供了针对实际地球模型计算的Green函数数值表，这些表格可以用来评估任何静态载荷引起的地表位移、倾斜、加速度和应变。

7. 结论：总结了研究的主要发现，并对如何利用负载潮汐研究来提供海洋潮汐或地球壳层弹性特性的信息进行了讨论。

二、green函数也是基于弹性半空间模型吗？

Green函数在Farrell的文章中并不是完全基于弹性半空间模型。虽然文章中确实提到了Boussinesq问题，这是一个关于非引力弹性半空间对表面压力的响应的经典问题，但Green函数本身是针对更复杂的地球模型计算的。

在文章中，Farrell重点讨论了地表质量载荷对球形、径向分层、自引力的地球模型的静态变形。他计算了所谓的Love数，这些数描述了地球模型对轴对称力场的响应。然后，利用这些Love数形成了Green函数，这些函数用于计算地表质量载荷引起的地球表面的位移、倾斜、加速度和应变。

Green函数的计算考虑了地球的球形和内部结构，包括地球的分层和自引力特性。这意味着Green函数适用于描述地球这样复杂的、非均匀的、自引力的地球模型的响应，而不仅仅是简单的弹性半空间模型。因此，虽然在某些情况下，半空间模型可以作为近似，但实际的Green函数是基于更详细的地球物理模型得到的。

三、对于地球表面近似的圆盘荷载，采用Boussinesq问题和Green函数两种方法计算的结果存在什么差异呢？

在Farrell的文章中，Boussinesq问题和Green函数方法被用来分析地表载荷对地球静态变形的影响。

这两种方法在处理地表近似圆盘荷载时的差异主要体现在以下几个方面：

1. 模型假设：

• Boussinesq问题：假设地球是一个非自引力的弹性半空间，忽略地球的曲率和自引力，适用于局部问题或小尺度载荷。

• Green函数方法：适用于球形、自引力的地球模型，考虑了地球的曲率和分层结构，适用于全球尺度或大尺度载荷。

2. 计算复杂性：

• Boussinesq问题的数学处理相对简单，因为它基于半空间模型，通常涉及到Bessel函数和Hankel变换。

• Green函数方法则更为复杂，需要解决球坐标系下的偏微分方程组，涉及到Legendre多项式和球谐函数。

3. 结果的适用性：

• Boussinesq问题的解提供了一种局部响应的近似，适用于点载荷或小范围荷载的情况。

• Green函数方法得到的解则提供了一种全球响应的描述，适用于评估广泛分布的载荷，如海洋潮汐载荷。

4. 收敛速度：

• Boussinesq解通常收敛较快，因为它基于半空间的假设，问题规模较小。

• Green函数的级数可能收敛较慢，特别是当考虑高阶Legendre多项式时，因此可能需要使用数值方法来加速收敛。

5. 地球物理效应的考虑：

• Boussinesq问题主要考虑弹性效应，不涉及地球的自引力和其他复杂的地球物理效应。

• Green函数方法则可以包含更全面的地球物理效应，如地球的自引力、分层结构和地球的弹性特性。

6. 数值结果：

• Boussinesq问题的结果通常以简化的形式出现，易于理解和应用。

• Green函数的数值结果则需要通过数值积分和级数求和来获得，可能涉及到复杂的数值计算过程。

在实际应用中，选择哪种方法取决于所需解决的问题的尺度和复杂性。对于小尺度或局部问题，Boussinesq问题可能足够使用；而对于需要考虑地球整体结构和自引力影响的大尺度问题，则Green函数方法更为合适。Farrell的文章中提供的Green函数数值表，可以用来评估任何静态载荷引起的地表位移、倾斜、加速度和应变，这些是Boussinesq方法难以直接提供的。

四、Green函数是基于什么地球模型得到的？

Green函数是基于一种理想化的地球模型得到的，这个模型考虑了地球的球形、自引力以及分层结构。具体来说，这个模型通常具备以下特点：

1. 球形：模型假设地球是一个完美的球体，尽管实际上地球是一个略微扁平的椭球体。

2. 自引力：地球的重力场是由于其自身的质量分布产生的，模型中考虑了这种自引力效应。

3. 分层结构：地球被假设为由不同弹性和密度参数定义的同心球层组成，每一层具有均匀的物理性质。

4. 弹性：模型假设地球材料是弹性的，即在去除载荷后可以恢复到原来的形状和大小。

5. 径向对称性：尽管实际地球的物理性质可能随位置变化，但模型通常假设地球的物理性质仅随半径变化，忽略了纬度和经度的变化。

6. 静态载荷：Green函数方法通常用于计算静态或准静态载荷下的地球响应，如长时间尺度的地壳负荷变化，而不是快速变化的动态过程。

在Farrell的文章中，Green函数是针对特定的地球模型计算的，这些模型可能基于地震学研究、地球物理观测和地质学理解。例如，模型可能包括地壳、上地幔、下地幔和地核等不同的层，每层具有不同的密度、弹性模量和泊松比。

通过数值积分和级数求和的方法，可以计算出这些模型的Love数，然后利用Love数来构造Green函数。这些Green函数描述了在地球表面的特定点施加一个单位质量载荷时，地球表面的位移、倾斜、加速度和应变等响应。这些响应函数对于理解地球对各种表面载荷（如海洋潮汐、冰川负荷、大气压力变化等）的响应至关重要。

可以利用LoadDef软件对不同地球模型求解Love，然后测试Green函数的效果。