Zmn-1335 薛问天 : 这是用错误的【隐性假设】对正确证明的否定。一评黄汝广《1333》

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对黄汝广先生的《1333》文章的第一篇评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

这是用错误的【隐性假设】对正确

证明的否定。一评黄汝广《1333》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

正确的逻辑推理当然是判断命题真假的证明中最重要的要素。逻辑推理正确，结论才能是真的。逻辑推理有错，所推出的结论就可能有假。

所谓正确的因果分析，就是用到的所有命题都要是由公理经过有穷次的逻辑推导得出的结果。在逻辑推理中要正确地运用正确推导规则。因而正确的因果分析，就是正确的逻辑推理。当然正确的逻辑推理的重要性是绝对不容忽視的。

所谓悖论就是凭空推出了矛盾。所以要解决悖论就是要用正确的逻辑推理指出【推出了这个矛盾】是引用了一个【隐性的假设】。由于是在这个隐性假设下推出了矛盾，所以根据反证法，就证明了这个隐性假设是假的，不能引用。于是在否定和废除了这个【隐性假设】后，这个悖论就被正确地解除了。

因而用正确的逻辑推理发现悖论中的【隐性假设】，然后用反证法证明此假设是假的，废除此假设，从而解除了悖论，这个解除悖论方法是正确的。很多，可以说所有悖论都是这样解除的。

然而，如果没有正确地运用逻辑推理，所发现的不是真正的隐性假设，这个悖论就不能被正确地解除。这样地解除悖论就是一种错误。

另外，在一个反证法的证明中，如果用正确的逻辑推理发现了存在有一个【隐性假设】。那么这个反证法的证明就是错的，所推出的矛盾就推翻不了那个反证法的显性假设，因为在逻辑推理规则中对两个命题与的否定等价于两个否定命题的或。乛(A∧B) ≡ 乛A∨乛B。因而如果A是显性假设，B是隐性假设，反证法推出的矛盾推翻不了显性假设，从而证明不了反命题即定理要证明的命题正确。正如黄汝广先生所说【显性假设就成了“替罪⽺”】，该反证法的证明实际上是无效的，错误的。

然而，如果原证明是正确的，你所发现的【隐性假设】是由于没有用到正确的逻辑推理，它并不是存在的隐性假设，那么你对正确证明的否定，就是一个严重的错误。

我发现黄汝广先生的《1333》就含有上述的两类错误。我准备逐项分析，在一评中。仅就一例进行评论。即黄汝广先生文中用并不存在的【隐性假设】，对康托尔对⾓线的正确证明的否定，就犯了这样的错误。

康托尔用对角线方法证明所有实数集合不可数，这个证明是正确的。黄先生认为证明中用到了【隐性假设部分：默认线性对⾓线法适⽤于多进制】，这个推论是错误的。要知道对任何有穷集K={0，1，...，k}，对角线方法适用于如下的任何无穷阵列(其中aij∈K):

a1 = a11，a12，...，a1n，...

a2 = a21，a22，...，a2n，...

......

an= an1，an2，...，ann，...

......

所谓无穷阵列就是无穷行个无穷序列。这里的无穷指可数无穷。所谓对角线方法是指，可用对所有的i：bi≠aii，即第i项bi不等于对角线aii的方法构造一个无穷序列b=b1，b2，......，可证b不属于此无穷阵列，即不等于此无穷阵列的任何行，因为b同任何行都至少有一项不等。显然这个对角线方法适用于任何无穷阵列。

定理的显性假定是假设实数可数，则（0,1）内的全部实数可排成⼀⽆穷序列，又根据(0，1)中每个实数都是一个K进制小数。理所当然，由此显性假定就可推出，（0,1）内的全部实数，就可形成上述无穷阵列。由于对角线方法适用于任何无穷阵列，自然可推出对角线方法适用于此无穷阵列，从而证明存在一K进制小数b不在此由（0,1）内的全部实数形成的无穷阵列之中，出现矛盾。根本不存在什么【线性对⾓线法适⽤于多进制】的【隐性假设】。他所说的隐性假设完全可由显性假设用逻辑推导出来。所以说黄先生的说法认为康托尔的对角线【证明过程是⽆效的】结论是错误的。

黄先生的错误来源于他逻辑推理的错误 。例如他说【康托尔对⾓线法的线性逐位取异操作必然造成⼤量漏项】，什么是他说的【漏项】。他说【每个数位上的数字有多种可能，⽐如⼗进制有0到9⼗种可能，但是在 每个数位上对⾓线法仅对其中之⼀进⾏取异操作，其他的可能却被漏掉了。】原来说的是在构造b时，b的每一位bi都要同αii不同，例如aii=3，则bi可以取同3有异的数5，但同3有异的数很多，康托尔的对角线法只取其中之一，就漏掉很多可选取其它的数作为bi 所构成的b。也就是说所构造的b漏掉了很多。要知追这对我们的证明絲毫没有影响。因为我们只需构造一个实数不在全部实数构成的阵列之中，就产生矛盾了。更何况所漏掉的哪些b也都满足bi≠aii。因而这些所漏掉的哪些b也都不在阵列中。黄先生说【这众多的漏项只是⽆法被逐位取异操作，但它们仍在列表中；】显然是错误的。因为只要满足是取异bi≠aii，所构造的b就不在无穷阵列之中。另一方面这众多的漏项並不是【⽆法被逐位取异操作】，而是只要取一个就夠了。取异时只要同aii不同，取任何数都可。黄先生接着说【所以，对⾓线法构造的“新数”（未被逐位取异操作），其实并“不新”（仍在列表中）， 这⾥并不存在⽭盾。】更是荒唐之极。对⾓线法构造的b当然是用逐位取异操作构造的数，怎么又成了【未被逐位取异操作】之数，实在是在胡说乱说。所以说黄先生的错误就在于没有运用正确的逻辑推理。

再例如黄先生的下一段论述，我们来逐段分析。他说【以数的位数为横坐标x，数的个数为纵坐标y，则对⾓线法是⼀个线性函数y=x； 】要知道这正是证明中的显性假设的内容。先说明一点，可以认为无穷集合的基数是有穷集合个数的一种推广。所以也可通俗地把【基数】叫作【个数】。康托尔定理的显性假定是假设实数可数，则（0,1）内的全部实数可排成⼀⽆穷序列，又根据(0，1)中每个实数都当且仅当是一个K进制小数。理所当然，由此显性假定就可推出，（0,1）内的全部实数，就可形成前面所叙述的无穷阵列。这个无穷阵列行个数(即集合基数)为y，列个数(即基数)为x，y=x都是可数无穷。也就是说，此定理的显性假设就是假定（0,1）内的全部实数的个数等于每个实数的无穷小数所含的位数个数，即y=x是可数无穷。

要知道反证法的思路就是用它的显性假设推出矛盾，来推翻此显性假设，证明它的反命题是正确的。而黄先生却自己来证明此假设y=x是错误的。他说【但对于⼗进制，事实上是⼀个指数函数y=10^x。如果对⾓线不漏项，则必须满⾜y=x=10^x，显然该⽅程不可能有⾃然数解，⽽且当x→∞时(x/10^x)→0，极限情况也不满⾜。】黄先生的错误就在于他认为【n位有穷小数的个数y_n=10^n，不等于有穷小数的位数n，然后、根据极限n→∞时(n/y_n)→0，就推出无穷小数的个数y不等于无穷小数的位数x】。显然黄先生提不出这个推理的证明。

该推理不正确，核心问题是将“有穷集合的数量关系”和“有限变量的极限趋势”，错误地套用到无穷集合的基数比较中，二者属于完全不同的数学范畴。极限有它自己的固有含义，极限 n/10^n→0 ，仅说明当 n 趋近于无穷时，有限位数 n 的增长速度远慢于有限个数 10^n  ，它仅反映有限变量变化趋势的比较，不能迁移到“无穷小数个数”与“无穷位数个数”这两个无穷集合的基数的关系判断上 。这个错误出现在对极限含义的错误认识。

因而黄先生所举的这个例子，犯了用错误的【隐性假设】，对正确证明的否定的错误。

另外，我们知道反证法的标准形式应为：“~P→~Q，Q，故P”。黄先生在结论中。所说的关于反证法的如下理解是不正确的。他说:【要证P，先假设~P，然后推出~Q，⽽Q是⼀个之前已知的定理或事实（即便是临时证明结果，也应当与~P⽆关，即临时证明中不能使⽤~P ）。】错误就在于他认为【Q在假设~P 之前就已知，......，其证明过程或者对于事实的确认，就不应使⽤到~P，......】这种理解完全是错误的。反证法要求~P→~Q，Q。只要能推出~Q∧Q，推出矛盾。就可推出P。当然在~Q和Q中之一是由~P推出。另一个是在~P 之前就已知为真。不是由~P推出。自然可以得出P为真的结论。但是如果~Q和Q都是由~P推出，仍然可以得出P是真的结论。

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