vortices are the sinews and muscles of fluid motions（涡是流体运动的肌腱）

                                       -------D.Kücheman

1、为什么要关心涡的合并

   正如开头的著名空气动力学家Kücheman所说的：涡是流体运动的肌腱。涡旋运动在流体力学中扮演着重要的角色。

    生活中，我们常常可以看见各种各样、大小各异的涡旋：水中的涡、龙卷风、台风、土星上的大红斑甚至大到星云星系都是涡旋。由于流体在日常生活中的重要性，以及人类天生的好奇心，我们想要探索更深更广的未知世界，我们就不能仅仅满足于知道是什么，而更加想知道为什么，然后再按考虑怎么控制它为我们所用。

Fig.1 自然界中的涡旋。左图为河流中产生的涡，右图为星系

    流体力学里面的一个一百多年来都没有被解决的问题---湍流---正是由于各种涡的相互作用导致的。可以说涡的合并等相互作用在里面起到了决定性的作用，没有理解涡与涡之间的相互作用的机理，我们就无法真正理解湍流。天文学上有一个饶有意味的问题就是星云的形成和演化，这也涉及涡的合并等。涡的相互作用是我们进一步认识这些大自然现象的基础，因此我们必须重视它、想办法去了解它。

     二维涡旋是了解二维湍流中的重要一部分，因此我们也希望能够更加深入的了解二维涡旋的相互作用。但是，真正做起来却不那么简单，事实证明我们对二维涡的相互作用的了解还是很有限的，背后的物理我们知道的还是不够清楚的，接下来我们来看看这里面到底有什么故事？到底二维的涡旋是怎样合并的？我们又还面对着哪些未知？

2、二维高斯涡合并的物理机理

2.1 二维高斯涡合并的过程

Fig.2 两个相遇的高斯涡

   对于一个高斯涡，在极坐标的条件下我们可以给出涡量和速度场的表达式：

  当两个高斯涡相遇，它们之间的距离为b，由于高斯涡的涡量大多数都集中在一个涡核内，涡核半径为a，此时，会发生什么呢？涡的合并理论、实验以及计算的结果中的一个最重要的发现是发现如果两个涡要能够合并，那么必须达到一个与粘性无关的临界距离b_c。Saffman与Szeto[1]理论值为a/b_c=0.29，而大多数数值结果为a/b_c=0.26~0.32。如果没有达到临界距离，两个涡会相互旋转但是不会合并，只有达到这个临界值涡旋才会开始合并（这里必须说明前面的这句结论只是对无粘流中的涡旋适用，为什么呢？对于考虑粘性的涡旋，依然有上面的临界关系，但是，由于一个高斯涡在粘性的作用下涡量会扩散，这个会导致涡核的半径会增大，从而使得上面的临界关系总是能够达到，因此两个高斯涡在粘性流中合并现象总是会发生！）

    当两个高斯涡之间的距离达到临界值，故事就开始发生了!!

  首先，两个涡因为相互诱导的拉伸（应变）从而诱发形变，涡开始从原来的圆形变成了椭圆形，；

  然后，拉伸后的椭圆涡的主轴之间有了一定的角度，并且两个涡的涡线开始出现交叠，这个导致了从一个涡到另一个涡的流体微元之间的吸引；

  接下来，sheetlike涡结构形成[2]；

  最终，由sheetlike涡结构导致速度场迅速的将两个涡的涡核推在一起。

  最终，一个合并之后的新的涡旋形成了。

Fig.3 高斯涡的合并过程

 Meunier[3]等计算了粘性涡合并过程中两个涡之间的距离随着时间的增加的变化情况，具体如图Fig.4所示：

Fig.4 两个涡之间的距离随着时间的变化情况。各个点是对应条件的实验结果，各种线是在不同雷诺数条件下的计算结果。Re = 742(dotted line); Re = 1506 (dash-dotted line);Re = 2258 (dashed line);

Re = 8000(solid line).[3]

  因此，涡的合并在物理上被分为了以下过程[4]：

Stage1、两个涡处于粘性亚稳阶段，两个涡互相环绕，涡核间的距离近似常数；

Stage2、对流阶段（convective stage），涡核变的更近了，并且两个涡迅速合并为单个涡；

Stage3、the second diffusive stage[4]，涡的中心不再相互靠近，但是，由于扩散作用最大涡量的位置继续靠近；

Stage4、the merged diffusive stage，合并后的涡核因为扩散而变大。

  在后面的两个过程中，涡的螺旋状的旋臂被甩出来，并最终被扩散所平滑掉，最后得到了一个对称的涡旋。如Fig.5所示：

Fig.5 合并过程的后两个阶段。上图为实验结果，下图为数值计算的结果。[3]

   一般认为，涡量从涡核向外流出，形成涡丝，由于角动量守恒，两个涡核必须相互环绕，合并前的相互吸引的亚稳阶段是其中一个涡迅速适应由另一个涡产生的外部拉伸场的过程，该拉伸场导致了涡核的椭圆形变，并且，在整个适应过程中，涡是椭圆形的在做振动[6]，该振动是由一个线性开尔文mode导致的。这里也需要注意，原来大多数人认为涡丝是合并过程中的一个重要环节，涡丝在合并之前就起到了促进合并的重要作用，但是，现在更多的结果表明，涡丝仅是涡合并过程中产生的效应。

2.2 涡合并过程中的涡量和流线[7]

   Melander[8]等讨论了旋转参考系中的流，揭示了这种流的微分运动以及与流结构的关联，具体如Fig.6所示

Fig.6 在旋转参考系中，雷诺数为5000时涡合并涡量和流线的分布[7]

    对于上面的三个区域，内部的循环与外部的循环（涡丝）由在旋转系中涡量的符号来区分；涡核与交换带（exchange band）用旋转系中速度梯度张量的第二不变量来区分，即：

 其中S为应变率张量[9]。当II>0的时候，为旋转起支配作用的区域，即为涡核；当II<0的时候，为应力起支配的区域，为交换带。

 即使上述并非来自严格的定义，但是都抓住了这些区域的一些基本特征，一旦定义了每个区域，每个区域在涡心的诱导速度就可以用比奥-萨伐尔公式计算得到。另外需要指出，涡丝和交换带都对合并速度有贡献，但是交换带的贡献是起主导作用的。

2.3粘性的影响

   当液体是粘性的时候，之前说到的涡的合并现象一般都会发生。当两个涡相距较远的时候，相互作用比较弱，此时，涡仅仅由于扩散作用半径在增大且相互环绕。随着b/a的变小，相互吸引力在增大，渐渐地合并开始发生了。此时开始发生时间（onset time）（t1）与涡强度（环量Γ）、粘性（ν）、以及初始涡核半径与初始距离比（b₀/a₀）有关，由量纲分析得到[2]：

  测量得到的无量纲的onset time与雷诺数的关系如图所示：

Fig.7 b0=5，v=1时无量纲 onset time与雷诺数的关系[2]

  这里体现除了雷诺数即粘性的影响。从上图也可以看出，当雷诺数比较大的时候，onset time将变得非常小。

3总结

  上述结果只是现有研究结果的一部分，但是，很遗憾的是涡的合并的物理机制依然不完全清楚。我们还需要更多的探索。流体以及大多数学科现在理论进展已经比较缓慢，我们可能还是得另辟蹊径，才能得到更多更有用的结果。

  关于上述有兴趣的可以进一步在下面的文献中找到一些别的新鲜的事情，但是，还是留下了一大把的疑问。我只是还挣扎在摸门道的路上，知道的实在不多，但是我也深深觉得只有搞清楚了一些基本的东西才能够真正理解更复杂的东西：例如湍流。欢迎讨论和交流，我自己也还不够专业，恳请大家指教。

附录：

1、二维高斯涡合并的实验视频：http://v.youku.com/v_show/id_XMTI2ODg4NDE1Ng==.html?from=y1.7-1.2（本视频来自P.Meunier团队的实验 ）

2、用gerris模拟的二维高斯涡的合并http://v.youku.com/v_show/id_XMTI2OTUyNTIwOA==.html?from=y1.7-1.2 

参考文献：

[1] P. G. Saffman and R. Szeto, Phys. Fluids 23, 2339 (1980).

[2] M. J. Huang, Phys.Fluids17, 074105-1(2005).

[3] P.Meunier et.al. Comptes Rendus Physique, 6 , 431(2005).

[4] P. Meunier, U. Ehrenstein, T. Leweke, and M. Rossi, Phys. Fluids 14,2757 (2002).

[5] C. Cerretelli andC. H. K. Williamson, J. Fluid Mech. 475, 41 (2003).

[6] S. Le Dizes and A. Verga, J. Fluid Mech. 467, 389 (2002).

[7] L. K. Brandt,K. Nomura, Phys.Fluid. 18, 051701 (2006).

[8] M. V. Melander et.al. J.Fluid Mech. 195,305 (1988).

[9] K. K. Nomura, G.K.Post, J.Fluid Mech. 377,65 (1998).