简单介绍数学中的空间概念

数学中的空间类型很多，例如可分为：

仿射空间（称线性流形）、拓扑空间、一致空间、 豪斯道夫空间、巴拿赫空

间、向量空间（或稱線性空間)、赋范向量空间（或稱線性賦范空間）、内积空

间、度量空间、完備度量空间、欧几里得空间、希尔伯特空间、射影空间、函

数空间、樣本空间、概率空间 等类。

为什么它们都叫‘空间’？有什么相同之处？又有什么不同之处？为此本文将

作一些简单的介绍。

写作本文的目的是为了结合数学来深入说明物理学中的4维时空是个客观存在，

它在数学上它对应着一个4维的非欧几里得空间。让我们从数学中的空间概念谈

起。

在网上搜索，可得到下述对数学中空间概念的解释：

*数学中不同种类的空间是一些不同种类的集合，这些集合各具有其特殊性质或附加结构。

*最简单的空间是3维欧几里得空间，其它空间是3维欧几里得空间在一些特殊性质或附

加结构上的延伸、推广、发展与抽象。

数学中各类空间相同之处就在于它们都是一些集合。这类似于欧几里得空间是几何

点的集合（点组成直线，直线组成平面，平面组成3维空间，归根结底，3维欧几里

得空间是几何点的集合）。数学中各类空间不相同之处就在于所对应的集合各具有其

特殊性质和不同的附加结构。

关于4维时空的客观存在性，我们留在下次博文中讨论。

为了使初学者对数学中各类空间有个初步的印象我们把Ma H, Young M. 所

写“空间” (Academ Arena 2015;(3):75-78)一文摘录在下面，供大家参考：

仿射空间，又称线性流形，是数学中的几何结构，这种结构是欧氏空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。

拓扑空间是一种数学结构，可以在上頭形式化地定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。拓撲空間是一個集合和其上定义的拓扑结构组成的二元组。 拓扑结构涵盖开集，闭集，邻域，开核，闭包，导集及滤子等概念。从这些概念出发，可以给拓扑空间作出若干种等价的定义。

在拓扑学這個數學領域裡，一致空间 （uniform space）是指带有一致结构的集合。一致空间是一個拓撲空間，可以用来定义如完备性、 一致连续及一致收敛等一致性質的附加结构。一致结构和拓扑结构之间的概念区别在於，一致空间可以形式化有关于相对邻近性及点间临近性等特定概 念。「x 邻近于 a 胜过 y 邻近于 b」之類的概念， 在一致空间中是有意义的。而相对的，在一般拓扑空间内，给定集合 A 和 B，有意义的概念只有：点 x 能“任意邻近”A（亦即在 A 的闭包內）；或是 和 B 相比，A 是 x 的“較小邻域”，但点间邻近性和相对邻近性就不能只用拓扑结构來描述了。一致空间广義化了度量空间和拓扑群，因此成為多数数学分析的根基。

在拓扑学和相关的数学分支中，豪斯多夫空间、分离空间或 T2 空间是其中的点都由邻域分离的拓扑空间。在许多可用于拓扑空间上的分离公理中，“豪斯多夫条件”是最常使用的，它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一性。这个条件可用个双关语来形容：如果某空间中任两点可用开集合将彼 此“豪斯多夫”开来，该空间就是“豪斯多夫”的。豪斯多夫得名于拓扑学的创立者之一费利克斯·豪 斯多夫。豪斯多夫最初的拓扑空间定义把豪斯多夫条件包括为公理。

在數學裡，尤其是在泛函分析之中，巴拿赫空間是一個完備賦範向量空間，是一個具有範數並對此範數完備的向量空間。巴拿赫空間有兩種常見的類型：實巴拿赫空間及複巴拿赫空間，分別是指將巴拿赫空間的向量空間定義於由實數或複數組成的域之上。許多在數學分析中學到的無限維函數空間都是巴拿赫空間，包括由連續函數（緊緻赫斯多夫空間上的連續函數）組成的空間、由勒貝格可積 函數組成的 Lp 空間及由全純函數組成的哈代空間。上述空間是拓撲向量空間中最常見的類型，這些空間的拓撲都自來其範數。

向量空間（或称線性空間）是现代数学中的一个基本概念，是線性代數研究的基本对象。向量空间的一个直观模型是向量几何，幾何上的向量及相关的運算即向量加法，標量乘法，以及对運算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了向量空間这个數學概念的直观形象。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

在数学中，赋范向量空间是具有长度概念的向量空间，是通常的欧几里得空间 Rn 的推广，Rn 中的长度被更抽象的范数替代。长度概念的特征是： (1) 零向量的长度是零，并且任意向量的长度是非负实数。(2) 一个向量 v 乘以一个标量 a 时，长 度应变为原向量 v 的 |a|（ a 的绝对值）倍。(3) 三角不等式成立。也就是说，对于两个向量 v 和 u ，它们的长度和（“三角形”的两边）大于 v+u （第三边）的长度。一个把向量映射到非负实数的函数如果满足以上性质，就叫做一个半范数；如果只有零向量的函数值是零，那么叫做范数。拥有一个范数的向量空间叫做赋范向量空间，拥有半范数 的叫做半赋范向量空间。

内积空间是数学中的线性代数裡的基本概念， 是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。内积将一对向量与一个标 量连接起来，允许人们严格地研究向量的夹角和长度，并进一步讨论向量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的内容。内积空间有时也叫做准希尔伯特空间（pre-Hilbert space），因为由内积定义 的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

在数学中，度量空间是一个集合，而一個度量空間(集合)必須在这个集合的元素之间(或元素 和子集合、子集合和子集合之間)的距离（度量） 概念有所定义。度量的概念是对从欧几里得距离的 四个周知的性质引发的欧几里得度量的推广。欧几里得度量定义了在两个点之间的距离为连接它们的 直线的长度。空间的几何性质依赖于所选择的度量，通过使用不同的度量我们可以构造非欧几里得几何， 比如在广义相对论中用到的几何。

完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。大约在公元前 300 年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，即欧几里 得几何。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的平面几何，接着是分析三维物体的立体几何。这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间或有限维实内积空间。这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间，球面非欧几里得空间及相对论所描述的四维时空在重力出现的时候不是欧几里得空间。

在数学领域，希尔伯特空间又叫完备的内积空间，是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不 局限于实的情形和有限的维数，但又不失完备性。 与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，这也是泛函分析的 核心概念之一。希尔伯特空间是公設化数学和量子力学的关键性概念之一。

在数学中，函数空间从集合 X 到集合 Y 的给定种类的函数的集合。它叫做空间是因为在很多应用中，它是拓扑空间或向量空间或这二者。

概率论中，样本空间是一个实验或随机试验所有可能结果的集合，而随机试验中的每个可能结果稱為样本点。如果抛掷一枚硬币，那么样本空间就是集合{正面，反面}。如果投掷一个骰子，那么样本空间就是  。有些实验有兩个或多个可能的样本空间。例如，从 52 张扑克牌中随机抽出一张，一个可能的样本空间是数字（A 到 K），另外一个可能的样本空间是花色（黑桃，红桃，梅花，方块）。 如果要完整地描述一张牌，就需要同时给出数字和花色，这时的样本空间可以通过构建上述两个样本空间的笛卡儿乘积来得到。在初等概率中，样本空间的任何一个子集都被称为一个事件。如果一个子集只有一个元素，那这个子集被称为基本事件。但當樣本空間大小是無限的時候，這個定義就不可行， 因此要給出一個更準確的定義。只有可測子集才稱為事件，這些可測子集且要構成樣本空間上的σ- 代数。然而這樣定義的重要性只是從理論上而言的， 因為σ-代数在實際應用上可以定義為所有集的集合。

概率空間是概率論的基礎。概率的嚴格定義基于這個概念。概率空間(Ω, F, P)是一個總測度 為 1 的測度空間（即 P(Ω)=1）. 第一項Ω是一個 非空集合，有時稱作“樣本空間”。Ω 的集合元 素稱作“樣本輸出”，可寫作ω。第二項 F 是樣本 空間Ω的幂集的一個非空子集。F 的集合元素稱為 事件Σ。事件Σ是樣本空間Ω的子集。集合 F 必須 是一個σ-代數： 1.； 2.若，則； 3.若，，則 (Ω, F)合起來稱為可测空間。事件就是樣本輸出 的集合，在此集合上可定義其概率。第三項 P 稱為 概率，或者概率測度。這是一個從集合 F 到實數域 R 的函數，。每個事件都被此函數賦予一個 0 和 1 之間的概率值。概率測度經常以黑体表示，例如或， 也可用符號"Pr"來表示。

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