9. 从薛定谔到狄拉克

数学物理中有许多奇妙之事，不知道是大自然本身的奇妙，还是因人类发现它们而奇妙，总而言之，有些概念仔细推敲起来使人目瞪口呆，无话可说，只能连呼三声：“神奇”。

如果能与外星人对话的话。你要问他们些什么问题？对工程师而言，可能会问：“你们星球是不是也用电作为主要的能源啊？”物理学家可能会用怀疑的眼光想象着他（它）们，关心他们是否是由反物质组成的？数学家们会问些什么呢？当我们将这个数学物理小文章写到此处时，最想要问的问题是：“你们是不是也用复数啊？”“你们认识这个i（-1的平方根）吗？”

A。负1的平方根

当i这个东西被法国著名哲学家及数学家笛卡儿第一次正式发明出来，并让他牵着登上了历史舞台之后，就在数学和物理理论中扮演着一个神奇的角色。欧拉在1748年发现的欧拉恒等式，更是以一种简洁奇妙的形式，将这个纯虚数与其它数学常数联系起来，令人触目惊心：

e^ip+1 =0。

费曼称欧拉恒等式为“数学中最奇妙的公式”，是啊，凭什么它把这5个最基本的数学常数：1、0、e、i、p，如此简洁地连系在一起？还包括了像p =3.141592653....，e =2.718281828....，这种奇怪的超越数？

到了物理学家们研究量子的年代，纯虚数i的角色就更重要了。它似乎与量子力学有着一种奇怪的渊源。我们在别的领域也使用复数，比如说，经典物理中用复数表示波动；电子工程中的各种计算，也经常使用复数而得以简化，但在那些情况，复数经常是为了方便而被引入，最后结果仍然是用实数表示。量子力学不同，复数似乎是一种少不了的，必须要用的东西。这点大概也和几何相的重要性联系在一块儿。为什么量子力学一定需要这个人为造出来的玩意儿呢？杨振宁在他的一次演讲中曾经提到过这个问题^【1】。看来，这其中更深一层的奥妙，物理学的大师们也似乎还未弄清楚。

上一节中定义生成元时，也使用了这个i，其原因是为了保证生成元是厄密算符。量子理论与经典理论的一个重要区别就是物理量的算符化。在经典物理中也使用算符，比如平移算符、旋转算符等，但是，与复数的使用类似，算符对经典物理而言，是为了方便，对量子力学而言却是必须的、不可或缺的。因为在经典物理学中，诸如粒子的坐标、动量、能量、角动量等等力学量，理论上有明确的定义，实验测量有确定的数值。而在量子力学中，即使研究的是1个粒子，它的运动也需要用弥漫整个时空的波函数来描述。因此，物理量的经典概念必须加以改造方能使用，算符化便是一种改造方式。也就是说，量子理论中的物理量被作用在波函数上的算符所替代，这样更容易描述不确定性原理一类的量子规律。在量子理论的统计诠释下，每次实验测到的物理量数值不是确定的，而只是以一定几率出现的算符的本征值中的一个。

因此，这些算符的本征值应该为实数，才能在量子力学中描述与经典物理量相对应的可观测量。厄密算符便符合这个条件，厄密算符的表示矩阵是厄密矩阵，它的特点是等于自己的共轭转置矩阵，并且本征值为实数。

B。经典到量子

二十世纪初期是一个“量子英雄”辈出的年代，这与量子理论的特异性有关系。它既与经典理论迥异，又与经典理论有千丝万缕的联系。随着物理的研究深入到微观世界，发现了一个又一个不能被原有经典理论包容的物理现象，于是，这些经典理论便必须向量子理论的方向扩展，正是这些扩展，造就了一个接一个的量子英雄。

1900年，普朗克为解决经典的黑体问题而首次提出量子概念；1905年，爱因斯坦为解释经典光电效提出光量子；1913年，玻尔提出半经典原子模型；1923年，德布罗意提出物质波的概念；1924年，玻色将统计概念扩展到量子，提出玻色-爱因斯坦统计；1925年，泡利提出不相容原理；　1925年，海森堡创立矩阵力学……

量子的脚步很快就走进了1925年。这一年，薛定谔受德拜之邀在苏黎世作一个介绍德布罗意波的演讲。薛定谔的精采报告激起了听众的极大兴趣，也使薛定谔自己开始思考如何建立一个微分方程来描述这种“物质波”。这个方程一旦被建立，首先可以应用于原子中的电子上，结合波尔的原子模型，来描述氢原子内部电子的物理行为，解释索末菲模型的精细结构。

需要描述的是电子的波粒二相性，薛定谔自然首先到经典物理中寻找对应物。

电子作为经典粒子，是用牛顿定律来描述的，如何描述它的波动性呢？考察一下当时的经典力学理论，除了用牛顿力学方程表述之外，还有另外3种等效的表述方式。前面我们曾经介绍过的最小作用量原理是其中一种。除此之外，还有哈密顿原理和哈密顿-雅可比方程，这4种理论可以互相转换，都能等效地描述经典力学。

这些经典描述中，哈密顿-雅可比方程是离波动最接近的。当初，哈密顿和雅可比提出这个方程，就是为了将力学与光学作类比。

人类对“光”的认识，从来就在粒子和波动之间来回摇摆，因此，有关“光”的理论，便有几何光学和波动光学两种，分别用来描述光的粒子性和波动性。这两种描述方式并不具有等价性，而是互补的关系。几何光学不能解释光的干涉、衍射等性质，这些波动现象必须要用到波动光学的理论，但几何光学可以看作是波动光学在波长趋于零情况下的极限，见图8-1。

既然粒子与光类似，也一样具有波粒二象性，那么，类比于光线，是否能找到一个电子遵循的波动方程，使得在一定的条件下，回归到经典粒子轨道方程的情况呢？再表述得具体一点，就是说：这个波动方程的零波长极限便应该趋近于电子的经典运动方程，即哈密顿-雅可比方程。

图8-1：薛定谔方程的导出

哈密顿虽然将力学与光学进行了类比，但他并未明确地导出这样一个波动方程，这正好提供了机会，让薛定谔跟着他的思路，将上述模式运用到量子力学中而导出了薛定谔方程，并且，薛定谔用他的方程来计算氢原子的谱线，得到了与玻尔模型及实验相符合的结果^【1】。

图8-1右上方和右下方，分别给出了简化的薛定谔方程和哈密顿-雅可比方程。由图中可见，从量子力学过渡到经典力学时，“零波长极限”实际上指的是普朗克常数趋于0的极限。因此，正如上一节中所说的，普朗克常数是量子化的标志。从图8-1中两个方程的比较，再一次发现了经典算符与量子算符的差别：作为时间的共轭量，量子力学算符表达式中，对时间的偏微分前面加上了一个因子（-ih（约化））。在这儿，又出现了这个神奇的负一平方根。

图8-1薛定谔方程中的H是与能量相对应的哈密顿算符。根据经典力学的能量公式：

E = p²/2m + V                                 （9-1）

将上式中的动量p及势能V，也代之以相应的算符，可得到对应的量子力学算符方程，算符作用在电子的波函数上，也就是说，薛定谔方程可以写成以下具体形式^【2】：

然而，因为公式（9-1）来自于经典力学，因而使得薛定谔方程有一个不足之处：它没有将狭义相对论的思想包括进去，因而只能用于非相对论的电子，也就是只适用于电子运动速度远小于光速时的情形。于是，薛定谔试图用相对论的能量动量关系：

E² = p²c² + m²c⁴                                                                             （9-2）

来构建方程。因为（9-2）的左边是E的平方，相应的算符便是对时间的2阶偏导，这实际上就是后来的克莱因-高登方程。但是，薛定谔从如此建造的方程中，没有得到令人满意的结果，还带给人们所谓负数几率的困惑。

C。狄拉克方程，算符的平方根

狄拉克敏感地意识到，薛定谔的相对论方程不成功的根源便是因为那个能量平方而带来的对时间的二阶微商。于是，狄拉克企图避免这个二阶微商，他将算符表达式（9-2）作了一个形式上的“开方”运算，并暂时令光速c=1，因此而得到：

E = Sqrt（p²c²+ m²c⁴）= Sqrt（p²+ m²）      （9-3）

这样一来，左边变成了E的一次项，能够类似薛定谔方程那样，使用对时间的一阶微分，即使用算符(ihd/dt)来构建方程。

然后，狄拉克想了一个巧妙的办法，来处理公式（9-3）右侧根号内的量子算符。狄拉克假设这个算符表达式是另一个算符表达式的完全平方：

p²+m² = （a₁p_x + a₂p_y+ a₃p_z + bm）²           （9-4）

在上式（9-4）右边，因为动量算符p对应的是3维空间的矢量，我们将p用它的3个算符分量p_x、p_y、p_z代替，符号a₁、a₂、a₃、b分别表示4个未知的算符。尽管普通的实数或者复数也可以看作是算符，但（9-4）中的a和b显而易见不能被表示为互相对易的实数或复数。那么，是否可以用互不对易的（n×n）矩阵来表示这几个算符呢？

在薛定谔方程中，算符是作用在电子的标量波函数y(x,t)上的，如果算符a、b等用（n×n）的矩阵表示的话，矩阵的作用对象-波函数，便应该相应地扩展成为一个n个函数的波函数矢量。当年的狄拉克是在1928年思考这些问题的，就在1年前，物理学家泡利用了3个2维矩阵，成功地描述了非相对论电子的自旋角动量。也许受到了泡利矩阵的启发，狄拉克从直觉上意识到他的方程中的a、b矩阵和泡利矩阵可能有某种关联。但是，泡利矩阵有3个，所以，狄拉克的a、b算符不应该是二维矩阵，考虑要包容3个2×2的泡利矩阵，狄拉克将他的方程中的a和b的维数定为4。如此一来，算符用4×4矩阵表示的话，狄拉克方程的解则应该是一个4个分量的函数列{y₁(x,t)，y₂(x,t)，y₃(x,t)，y₄(x,t)  }。这个列函数的性质不同于通常意义上的矢量，因而被称为旋量，详情见下一节。

于是，狄拉克将（9-4）右边的二项式展开，与等式的左边比较后，得到了他的4×4的a₁、a₂、a₃、b矩阵必须满足的条件：

(a_i)² = b² = I（4×4单位矩阵）

a_i a_j + a_j a_i = 0

a_ib + b a_i = 0

上面条件中的i，j = 1、2、3。然后，狄拉克进一步找到了满足上述条件的a、b矩阵，并且导出了狄拉克方程^【3】：

参考资料：

【1】张奠宙，和杨振宁漫谈：数学和物理的关系，数学传播21卷2期，1997年6月。

【2】E. Schrödinger，An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules，

Phys. Rev. 28, 1049，1 December 1926

【3】Dirac, P. A. M.1928). "The Quantum Theory of the Electron". Proceedings of theRoyal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 117 (778):610.

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