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费马看到毕达哥拉斯定理,扩展思路得到了一个猜想,然后还轻描淡写地撂下一句话,说他有个精妙的证明但空白太小写不下!然后,他的猜想折腾了数学家们三百多年……
从费马的经历和性格而言,并不像是那种大吹牛皮的人。奇怪的是,在他所有的信件中,费马也没有提到他证明了费马大定理。也可能他原以为自己证明了,后来又突然意识到实际上他并没有证明?但又忘记了曾经写过的那条书边评注?
图1:欧拉和费马大定理
不过,根据费马的说法,他当时应该是证明了点儿什么,也许证明了某种特殊情况?
100年后,欧拉证明了n=3时的费马猜想:即“任何正整数的立方,不可能表示成另外两个正整数立方之和”。据说欧拉去翻过费马的手稿,终于在一个不起眼的地方发现了费马对n=4的证明。因此,费马的确证明了n=4时的费马大定理,费马也声称用他的无穷递降法他也证明了n=3的情况。n=4是费马大定理最简单的情况,下面给出n=4的证明,包你能看懂!(n=3和n=4的证明,思路是类似的)。
一,证明思路:
图2:费马大定理n=4
证明的思路如图2所示,
1,证明更强的命题:“x4+y4=z2没有正整数解”,来证明“x4+y4=z4没有正整数解”;
2,利用毕达哥拉斯三元组(勾股数: a,b,c)的性质;
3,运用费马的“无穷递降法”完成证明。
解释如下:
第1点比较明显,稍加思考就能明白;
第2点涉及勾股数:勾股数是符合毕达哥拉斯定理的3个正整数。勾股数有如下性质:
三者(a,b,c)互质的勾股数是素勾股数,
任何勾股数都可化简为素勾股数,
素勾股数可以写成一种形式: a=2mn,b=m2−n2,c=m2+n2。
有关勾股数的更多性质见维基百科【1】。
第3点谈到的无穷递降法【2】,是证明的核心,简单且有趣,在下一节中介绍。
然后,在最后一节写出简单的证明过程。
二,无穷递降法:
这种方法特别适合数论中证明某个“没有正整数解”的命题。它基于一个简单的事实:很容易就能找到一个无限递增的正整数序列,其中每一项都比前一项大:例如图3左图列举的整数序列(1、2、3、4、……、)和整数立方序列(1、8、27、64……)等。但是,你不可能能得出一个无限的正整数序列,其中每一项都比前一项小。例如,无论你从多大的数开始,只要是递减,整数序列注定会终止。所以,费马说:不存在无限长的正整数递减序列,任何正整数递减序列迟早会停止。基于这个道理,如果你从某个命题得到了这样的正整数递减序列,那么就可以用反证法证明这个命题不存在。
费马这个看似简单的定理在数论上很有用,因此也有着深远的数学意义。
举个很容易理解的例子来理解无穷递降法。例如,证明方程xy+y2=x2没有正整数解【3】。
图3:无限递降法
如图3右图,得到a,b的方程ab+b2=a2;然后使用代数将其重写为 (a+b)/a=a/b;(事实上是黄金分割的表达式)。然后画出一个a× (a+b) 矩形,其中包含一个a×a正方形和一个a×b矩形,如图所示,用几何方式表示该方程。大的a× (a+b) 矩形与小的a×b矩形是相似的:将前者旋转90 度并将其缩小,即可得到后者。因此,大矩形是黄金矩形,较小的矩形与大矩形相似,也是一个黄金矩形;小黄金矩形又可以分解为一个正方形和一个更小的黄金矩形,并且可以以此类推地进行。如果a、b是实数,可以无穷无尽地进行下去。但是,如果大矩形的边a和(a+b)都是整数,那么,a和b也是整数。于是,我们就得到了一个无限小下去的正整数序列。根据无限递降原理,这是不可能的。所以,矩形不存在,即满足方程的正整数不存在,证毕。
3,证明过程:费马最后定理(n=4):x4+y4=z4没有正整数解【4】
我们通过证明更强的命题“x4+y4=z2(方程1)没有正整数解”来证明n=4的费马大定理【1】。
假设有一个正整数组合(x,y,z)满足方程1,那么,(x2,y2,z)形成一组勾股数,或素勾股数。不失一般性,假设x是偶数,y是奇数,然后,z应为奇数,互质勾股数(x2,y2,z)可以写成:
x2=2mn,y2=m2−n2,z=m2+n2
因为y2+n2=m2, y是奇数,n是偶数,所以m是奇数。(n,y,m) 是素勾股数,然后存在互质的新变量r,s,
n=2rs,y=r2−s2,m=r2+s2
又有:m(n/2) = (x/2)2, 因m和n/2互质,所以m和n/2皆为平方数。
同样,r和s互质,也皆为平方数:
然后,r=x02,s=y02,m=z02,代入m=r2+s2,便有,x04+y04=z02,-> z=m2+n2>m2>z0
总结上面的过程,就是说,从勾股数(x2,y2,z),可以得到另一个更小的勾股数(x02,y02,z0),还可以以此类推……。但是,根据费马的“无穷递降法”,过程不可能无限继续下去。因此,“假设有一个正整数组合(x,y,z)满足方程1”不成立,证毕。
参考资料:
【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A0%E7%A9%B7%E9%80%92%E9%99%8D%E6%B3%95
【2】Grant, M. and Perella, M. (1999) Descending to the Irrational. The Mathematical Gazette, 83, 263-267. http://dx.doi.org/10.2307/3619054
【4】https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html
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