2. “苏黎世一只孤独的狼”--外尔的无穷小几何

数学家多少有几分诗人气质，德国数学家外尔（Weyl，1885-1955年）^【1】就给人这样的印象，也许是在神圣的数学王国中遨游，长期受美之熏陶所致，时不时会冒出几句诗意的话语。外尔曾经用“苏黎世一只孤独的狼”来描述被自己崇拜的偶像爱因斯坦批评时感觉失望和迷茫的心态。那是外尔研究统一场论时的一段故事。

上一节中介绍的卡鲁扎的5维方法，是在4维时空中加上1维额外的空间，来增加时空度规的自由度，以便将电磁作用包括进来。卡鲁扎并未改变黎曼几何。爱因斯坦曾经想玩弄的花招就更为形式化了。他也曾经反复探究如何在度规张量上做文章。比如说，原来的4维黎曼度规，因为它的对称性，只有10个独立分量。如果放弃这种对称性的话，独立分量的数目就增加到16个，另外6个量就可以用来表示电磁场。另一种方法是将黎曼度规从实数推广到复数。但这样玩来玩去的结果，连爱因斯坦自己也发现，除了将电磁力和引力用同一个名字的矩阵（或张量）的不同分量表示之外，没有什么实质性的变化。就像把一瓶水和一罐面粉，不打开就塞进一个大袋子里一样，水和面粉没有实质变化，和将水与面粉搅和所成之物是大不一样的。那不是物理学家追求的“统一”。其实，不仅玩物理需要思想，玩数学也同样需要思想。深奥的思想才能产生数学之内在美，否则只是装潢于表面的漂亮形式而已。

外尔的做法则不同，他是从无穷小的本质上来研究和扩展黎曼几何，然后再企图实现引力和电磁场的统一。外尔比爱因斯坦小几岁，与这位德国老乡类似，他的大部分时间在瑞士苏黎世和美国普林斯顿度过。1915年初，外尔应征入伍，但第二年便回到了苏黎世联邦工业大学。那时正值广义相对论诞生之初，这个划时代的美妙理论使外尔兴奋激动，走火入魔，并毫不犹豫地投身其中。外尔立即在学校开设和教授了广义相对论课程。

外尔不仅仅是爱因斯坦理论的热心鼓吹者和追随者，他被认为是20世纪最有影响力的全才数学家之一，是早期普林斯顿高等研究院的重要成员。他的许多研究工作，对理论物理和纯数学领域，都产生了重要的影响。

外尔对黎曼几何的质疑，从考察平行移动^【2】的概念开始。对广义相对论或黎曼几何有所了解的人都知道，在弯曲空间中，一个矢量沿闭曲线移动一圈后，方向会有所变化，其改变的数值与回路所包围面积的弯曲情况（曲率）有关。但是，黎曼几何中这个矢量的长度却没有变化，无论空间怎么弯曲，无论你沿着哪条曲线移动，矢量的长度都不会改变。这个性质是与用坐标微分的二次式表示的弧长ds²不变性有关的。

相对于整体空间使用同一套坐标系的欧几里德几何而言，黎曼几何是一种局部几何。所谓“局部”的意思是说，两个矢量的方向不能直接作远程比较，必须通过所谓的“平行移动”将它们放到同一个点上，才能进行比较。而有限的平行移动是由无穷小的移动连续操作而构成的。一般来说，矢量移动到一个有限远点的变化依赖于所经过的路径。如图2-1a所示，矢量v_p从点p出发，沿着不同的路径C₁和C₂，平行移动到q，将得到两个不同的矢量：v_q(C₁)和 v_q (C₂)。

因而，矢量的远程比较与路径有关，这是黎曼几何的重要特点。几何上不能进行远程比较，对应于物理中对“超距作用”的否定。牛顿的引力理论便属于超距作用，在有了场的概念之后，描述基本作用的物理定律一般用偏微分方程来描述。这意味着作用力不是超距的，因为它们的相互影响通过无穷小的距离起作用。因而，描述基本力的几何应该是“无穷小几何”。但是，外尔认为，黎曼有关ds²不变的基本假设又违背了这种“无穷小几何”的思想，因为按照这个假设，矢量的长度在平行移动时总是不会改变的，这样一来，长度便可以作直接的远程比较。所以，外尔认为，黎曼几何不是一个真正的无穷小几何。

外尔由此提出他的“纯粹无穷小几何”，或称外尔几何。也就是说，在图2-1a中，对黎曼几何而言，v_q(C₁)和 v_q (C₂)仅仅方向不同，而根据外尔几何，v_q(C₁)和 v_q (C₂)的方向和大小都不同。

换一种说法，如果考虑矢量沿闭合曲线绕行一周的情况，如图2-1b和c所示，当矢量v_p从点p出发，沿着回路C，平行移动一周之后回到p，得到v_p(C)。根据黎曼几何，v_p和 v_p(C)仅仅方向不同，而根据外尔几何，v_p和 v_p(C)的方向和大小都可能不同。

图2-1：外尔几何和黎曼几何中的平行移动之比较

如何才能使得平行移动后的矢量方向和大小都改变呢？外尔通过在黎曼度规g_ij中，乘上一个任意的标量尺度因子λ(x)来实现这一点：

ds² = λ(x) g_ij dxⁱ dx^j。

外尔并不是随便地给黎曼度规加上一个莫名其妙的任意尺度因子，他的最终目的是要用他的数学模型来实现引力和电磁场的统一。他企图以平行移动时矢量的长度变化为代价，得到一个任意函数λ(x)，正是这个函数的“任意性”，提供了某种几何上的自由度，以使得能够将电磁场容纳在这种几何之内。

那时候，物理学家们已经使用4维电磁势A_m来描述电磁场，外尔的直觉告诉他，电磁势A是比电磁场的场强E和B更为基本的物理量。并且，对应于同样的电磁场，电磁势可以有不同的选择，这种选择的自由度为他提供了一个可能性：将电磁势A_m与他的标度因子λ(x)关联起来。

也就是说，外尔使用一个在时空中每一点不一样的任意尺度因子函数λ(x)，给原来的黎曼度规g_ij，引入了一种标度变换，他希望这种变换对应于在麦克斯韦方程中选取不同的电磁势A_m。

考虑满足狭义相对论的光速不变原理，外尔认为这种尺度变换至少应该保持每一点的光锥不变。

首先，我们可以将外尔的标度变换写成如下形式：λ(x) = e^θ(x)。当我们选择特殊的标度函数θ(x)≡ 0，亦即λ(x)≡ 1时，便回到了黎曼几何的情况。因此，外尔假设他的几何中的度量关系由两个基本型决定，其一是原来的二次式黎曼度规：

ds² = g_ij dxⁱ dx^j，

另一个是坐标微分的一次项，也就是一个协变矢量：

dA = A_i dxⁱ。

采取第一个基本型的原因是因为黎曼度规必须保留，如此才能导出爱因斯坦的引力场方程，以便使理论适合广义相对论；第二个基本型中的矢量，便对应于4维电磁矢量势A。正如刚才提到的，对确定的电磁场E和B而言，电磁势A并不是唯一的，在这儿就对应于外尔定义的标度变换：

g_ij → e^θ(x) g_ij ，A_i→ A_i − ∂_iθ(x)。

上述变换实际上就是后来人们所说的“规范变换”。今天我们所用的规范一词，比如规范不变性（gauge invariance），就是从外尔几何中的标度不变性（EichInvarianz）英译而来。

外尔在黎曼几何二次型度规的基础上，加上了一个一次形式来包容电磁场，这在数学上看起来是非常美妙的一招，并且还有它的“纯粹无穷小几何”之解释，也闪耀着新思想的火花。因此，外尔兴致勃勃地将他的文章寄给了爱因斯坦，但得到的反馈却不怎么的。爱因斯坦一方面赞赏外尔几何是“天才之作、神来之笔”，一方面又从物理的角度，强烈批评这篇文章脱离了物理的真实性。因为从物理上讲，外尔在度规函数中引入一个任意的函数λ(x)，即相当于在4维时空中的每一个点都可以有任意不同的长度单位和时间单位，也就是有任意不同标度的钟与尺，这在物理上是不可能被接受的。

爱因斯坦在给外尔回信中认为，当人们利用标尺和时钟的测量结果来定义ds时，不存在任何不确定性。假若在大自然中真有外尔假设的任意标度函数的话，就不会存在带有确定频率谱线的化学元素，两个在空间上邻近的同类原子的相对频率必然会不同。而事实情况不是这样，所以，该理论的基本假设不可取，尽管每一位读者初看时都会由衷地赞叹它数学上的深刻性与独创性。

面对爱因斯坦的反对意见，外尔失望和落寞，他以朋友海塞的小说《荒原狼》的主人翁自比，他在给爱因斯坦的回信中说：“我们之间已经战斧高悬，但仍然阻挡不了我对您真诚的敬意。”这只“孤独的狼”并未放弃他的理论，而是进一步地深入探讨黎曼几何中度量的本质，以及仿射联络空间等概念，以使他的几何有更为牢靠的数学理论基础。外尔坚信：数学理论上简洁而美妙的东西必将有它揭示出深奥物理内容的一天。他曾经半开玩笑地说过一句名言：“我的工作总是努力将真与美统一起来；但是，如果只能选择其中之一，那么我选择美。”这句话充分表现了外尔作为数学家的独特而与众不同的审美观，以及他对自然规律必然具有数学美的深刻信念。

外尔企图统一引力和电磁场的尝试，当然是失败了，这点没有什么可责难的，实际上直到现在也没有一个令人满意的理论将引力和其它3种相互作用（包括电磁作用）统一在一起。但当量子力学进一步发展起来之后，外尔几何以一种修正的形式在现代物理中发挥了大用途，对此我们将在下一节中介绍。

参考资料：

【1】Hermann Weyl (Stanford Encyclopedia of Philosophy)，http://plato.stanford.edu/entries/weyl/

【2】科学网博文：平行移动和协变微分：http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&quickforward=1&id=829772

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