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《数理同源》-3-哪条路径最快？精选

已有 20163 次阅读 2014-3-11 09:42 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦| 泛函, 变分, 最速落径

2. 哪条滑梯最快？

谁都见过儿童乐园的滑梯。滑梯有各种各样的形状，孩子们从上面飞速滑下，不亦乐乎！但你是否想过：什么形状的滑梯，才能使得滑动者到达地面的时间最短呢？这实际上是一个著名的数学问题，微积分方法的出现促成了它的解决，并由此而开拓了一门与物理学紧密联系的新的数学分支：变分法和泛函分析。

别着急，且听我们慢慢道来，先从微积分建立之后，欧洲两位数学家：伯努利兄弟之争说起。

瑞士的伯努利家族是世界颇负盛名的科学世家，出了好几个有名的科学家，驰骋影响学界上百年。学物理的人都知道流体力学中有一个著名的伯努利定律，说的是有关不可压缩流体沿着流线的移动行为，由丹尼尔•伯努利（DanielBernoulli，1700－1782）提出。丹尼尔的父亲和伯父则都是他们那个时代著名的数学家。

有意思的是，伯努利家族这几个科学家之间，相处得并不和谐。互相在科学成就上争名夺利、纠纷不断。尤为后人留下笑柄的是丹尼尔的父亲约翰•伯努利^【¹^】。

约翰•伯努利（JohannBernoulli，1667-1748）和他的哥哥雅各布•伯努利（JakobI. Bernoulli，1654-1705）都为微积分的发展作了杰出贡献。约翰进入巴塞尔大学时，比他大13岁的雅各布已经是数学系教授，因此，约翰向大哥学习数学。两人既是兄弟手足，又是导师和学生的关系。

约翰天资聪明，拜大哥为师的两年之后，数学能力就达到了与哥哥能一比高低的水平。没想到智力水平的高低并不等价于人品和修养的高低，约翰不服雅各布，雅各布却仍然将弟弟看成一个学生，两兄弟之间逐渐形成了一种不十分友好的竞争状态。约翰十分妒忌雅各布在巴塞尔大学的崇高地位，于是，无论在私底下，还是在大庭广众中，两人经常互相较劲。不过，世人可以不齿于他们互相嫉妒诋毁的人格，却不能否认他们这种竞争较劲的状态，还算有利于学术。从下面的几个例子，便是对以上说法的佐证。

那个时代的欧洲数学家，有一股互相出难题来挑战学术界的风气。1691年，哥哥雅各布建议数学家们研究悬链线（Catenary）问题，也就是两端固定的绳子（或链条）由于重力而自由下垂形成的曲线到底是个什么形状的问题。这个问题现在看起来简单，但在微积分和牛顿力学尚未建立以及刚刚建立的年代，却是不容易解决的。伽利略在1638年就曾经错误地猜测悬链线是抛物线，后来（1646年），17岁的少年惠更斯证明了悬链线不是抛物线。但不是抛物线，又是什么线呢？它的方程是怎么样的？当时谁也不知道答案。悬而未决的悬链线问题在等待着微积分的到来^【²^】！

图1：悬链线和方程

雅各布收到了好几个答案，其中包括萊布尼茨、惠更斯以及他的弟弟约翰•伯努利。他们成功地用微积分解决了这个问题，证明了悬链线是如图1中所示的公式所描述的双曲余弦函数。因为这个问题的成功，骄傲自负的约翰得意非凡，认为这是他在兄弟之争中的辉煌胜利，并更加瞧不起这个他认为“愚笨”的哥哥。约翰在多年后写给朋友的一封信中，还津津有味地描述了当时掩饰不住的“赢了哥哥”的狂喜心态^【³^】：

“我哥哥对此问题的努力一直都没有成功，最后却被我解决了。我不是想自夸，但我为什么要隐瞒真相呢？在我找到答案后第二天早上，狂奔到我的兄弟那儿，看到他还在为此而苦苦挣扎。他总是像伽利略那样傻想，认为悬链线可能是抛物线。我兴奋激动地告诉他，错了，错了！抛物线是代数曲线，悬链线却是一种超越曲线transcendentalcurve……”

其实，雅各布的数学成就并不逊色于弟弟，他活得没有弟弟长，50岁就去世了。约翰活到了80岁。雅各布短短的学术生涯中，对微积分及概率论作出很多贡献，其中最为众人所知的是“大数定律”。此外，数学中有许多以伯努利命名的术语，其中十几个都是雅各布的功劳。

1696年，約翰也对欧洲数学家提出了一个挑战难题，那就是著名的最速降落轨道（Brachistochrone curve）问题，也就是我们在本节开头所问的“哪条滑梯最快？”的问题。

假设A和B是地面上高低不同（A不低于B）左右有别的两个点，如图2左图所示。一个没有初始速度的小球，在无摩擦力只有重力的作用下从A点滑到B点。从A到B的轨道可以有很多很多，各自有不同的形状和长短，见图2中间一图。问题是：这其中的哪一条轨道，将使得小球从A到B的时间最短？

如果问的是距离最短，大家在直观上都知道答案是直线，但现在是要你求出所花时间最短的曲线，直观就不太顶用了。有人估计约翰自己当时已经得出了这个问题的答案，而提出这个问题的目的之一是挑战牛顿，其二则是奚落自己的哥哥。奚落雅各布是约翰的嫉妒心所致，为啥又要挑战牛顿呢？原因是在牛顿与萊布尼茨对微积分发明权的争夺战上，约翰是始终坚定地站在自己的老师萊布尼茨一边的。

约翰原来规定答案必须在1697年1月1日之前寄出，后来在萊布尼茨的建议下，将期限延长至复活节。期限延长后，为了确保牛顿得知此事，约翰亲自将问题单独寄了一份给他。牛顿毕竟是大师，当时已经年过半百，正在繁忙于他的改铸新币的工作，自己也承认脑瓜子已经大不如年轻时机敏。但无论如何，据说牛顿在下午4点钟收到邮件后，仅仅用了一个晚上便解决了这个问题^【⁴^】，并且立即匿名寄给了约翰。这使约翰大为失望，因为他自己解决这个问题花费了两个星期的时间。虽然牛顿未署真名，约翰仍然猜出了是他，并且也不得不佩服地说：“我从利爪认出了雄狮！”（Irecognize the lion by his paw）。复活节时，约翰共收到五份答案：除了约翰自己和牛顿的之外，还有莱布尼兹、法国的洛必达侯爵、以及他的哥哥雅各布。

图2：最速落径问题

最速落径问题被视为数学史上第一个被仔细研究的变分问题，它导致了变分法的诞生，之后更开辟出泛函分析这一崭新广阔的数学领域。

变分法是什么？它和原始的微积分思想有何异同点？

有了微积分之后，人们学会了处理函数的极大值极小值问题。比如，当我们研究上抛物体所形成的抛物线轨道时，物体能到达的最高点便对应于抛物线的极大值。用微积分的语言来描述，极大极小值，和鞍点，都是曲线上函数y（抛出物体的高度）对自变量x（抛出物体的水平位移）的一阶导数为0的点。变分法处理的也是极值问题，不同的是，变分法的自变量不是一个变数x，而是一个变动的函数y（x）。比如说在上述的最速落径问题中问的是，从A到B的各种轨道（即图2中间图中的各种曲线），即各种函数y（x）中，哪一条轨道能使得下滑的时间最短？在这儿，需要求极值的函数是“下滑的时间”，自变量呢，则是在端点A和B固定了的所有“函数”。也就是说，变分法要解决的是“函数的函数”的极值问题。数学家们将这种“函数的函数”称为“泛函”，而变分之于泛函，便相当于微分之于函数。

回到当初约翰提出最速落径问题后收到的五份答案。尽管牛顿的才能使约翰沮丧，他仍然得意地认为自己的方法是所有答案中最简洁漂亮的，而认为他哥哥雅各布的方法最笨最差。牛顿等其余三人用的是微积分方法，在此不表。伯努利弟兄方法的差别何在呢？

约翰的答案简洁漂亮，是因为他借用了光学中费马的光程（或时间）最短原理。法国数学家费马（Fermat，Pierrede，1601-1665）是个很奇怪的学者，他是法院的法律顾问，算是个业余数学家。他的特点是不怎么发表著作，经常是只在书的边缘处写下一些草率的注记，或者是偶然地将他的发现写信告诉他的朋友。现在看来，即使是这种草率注记中的三言两语，已经使世人震撼忙碌不已，要是费马正儿八经地专门研究数学，那还了得？例如，1637年，费马在阅读《算术》一书时，曾写下注记：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下……”。就是这一段短短的注记，后来被称之为“费马大定理”的猜想，就困惑了数学家们整整358年！

言归正传，费马研究光学时发现，光线总是按照时间最小的路线传播。这个原理，是几何光学的基础，可以从后来的惠更斯原理推导出来。事实上，费马原理现代版的更准确表述应该是：光线总是按照时间最小、或最大、或平稳点的路线传播。换言之，光线传播的经典路径是变分为0的路径。所以事实上，有关光线传播的费马原理应该算是变分法的最早例子，但在当时，人们尚未认识到这点，也没有进行详细的理论研究。

约翰·伯努利毕竟脑瓜子灵活，将费马原理信手拈来，把小球在重力场中的运动类比于光线在介质中的传播，导出了最速落径问题中那条费时最短的路径所满足的微分方程。这个微分方程的解，实际上就是同时代的惠更斯曾经研究过的“摆线”（沿直线滚动的圆的边界上一点的轨迹）。或者说，最速落径就是倒过来看的摆线，见图2中的右图。

约翰很得意地将最速落径问题中的物体类比于光线，貌似轻而易举地解决了问题，也得到了正确的答案（图3a）。用现代物理学对光的理解来审查约翰的解法，光和物体的确可以类比。但在当时，约翰的方法恐怕只能算是一种投机取巧，因为他完全没有证据来说明这种做法的正确性。

雅各布·伯努利的方法虽然被约翰看不上，认为太繁复，但却在繁复的推导中闪烁出新的变分思想的光辉。雅各布没有使用像现成的费马原理这类的东西，而是从重力运动下小球遵循的物理和几何规律来仔细推敲这个问题。他首先假设小球是沿着一条时间最短的路线下滑的，然后考虑：如果在某个时刻，小球的路线稍微偏离了这条时间最短的路线，走了别的什么路径的话，会发生什么情况呢（图3b）？大家可以注意到，上述雅各布的做法已经是一种变分的思想，因为他是在考虑所有微小偏离路径中使得时间最小的那个偏离。然后，雅各布用二阶导数的方法证明了，在这种情形下，为了使小球继续走时间最短的路，它的路线的微分偏离量，dx和dy，应该满足的方程，就正好是摆线所满足的微分方程。

图3：（a）约翰使用折射定律（b）雅各布用二阶导数的分析方法

从图3中可粗略看出，约翰简单地使用费马折射定律，雅各布用考虑二阶导数的“繁琐”方法，最后都导致了同样的公式，即图3a和图3b中间的方程，解决了最速落径问题。

简单之美的确诱人，但从上面的故事也悟出一个道理：外表简洁漂亮的未必见得正确，繁复冗长的功夫也可能并没有白费。

伯努利兄弟的你争我斗推动了变分法和泛函分析的发展。没过几年，哥哥雅各布就去世了。看来，约翰是过不了没有竞争对手的日子，他继而又把对雅各布的嫉妒心转移到了自己的天才儿子丹尼尔•伯努利的身上，据说他为了与儿子争夺一个奖项把丹尼尔赶出了家门，后来还窃取丹尼尔的成果据为己有。约翰与另一位数学家洛必达之间也有一段纷争，因为众所周知的“洛必达法则”，实际上是约翰·伯努利发现的。约翰曾经被洛必达以一纸合约聘请为私人数学老师，洛必达并非有意剽窃伯努利的成果，但伯努利为此久久不能释怀。更多的故事不在这儿讲，只付诸一笑。

图3的公式推导见附件：

formula3.pdf