第一篇：微积分、变分等

注：微积分和经典力学关系密切，但它们是大家所熟知的基础学科。因此本篇在有关微积分的叙述中，主要以史话为主。“科学给人知识，历史使人智慧”，追溯科学发展史、了解大师们的思路历程，能启发我们的科学思维，预见科学的未来。从回顾变分法发展历史开始，将逐步增加一些更具体的数学物理内容。

1. 谁发明了微积分？^【1，2】

妇孺皆知的大科学家中，除了爱因斯坦之外，牛顿当然得算一个，只不过年代稍微久远了一点。小学生应该都听过老师讲牛顿因苹果掉到头上而发现万有引力的故事。到了初中高中阶段选修物理课，便会学习到牛顿三大定律。大多数时候，牛顿是以一个伟大物理学家的形象存在于人们心目中的。其实，除了对物理学的贡献之外，牛顿还有不那么广为人知、发明了微积分的巨大功劳，这个作为伟大数学家的那一面，就往往被非数学或非理科专业的人们所忽略了。

不过，牛顿对物理和数学两个方面的贡献是互相联系起来的，可以说，牛顿最终是为了总结物体的力学运动规律而创造发明了微积分。没有适当的数学工具，物理定律不能成其为定律，只能算是经验之谈。

牛顿曾经有过一句经典名言：“如果说我比别人看的更远一点，那是因为我站在了巨人的肩膀上。”这句话也适用于他本人对微积分的贡献。话说回来，即使牛顿不发明微积分，自有其他的大师来完成这个工作，比如和牛顿同时共享微积分发明权的莱布尼兹就是一个。

牛顿和莱布尼兹的时代距离现在不过400年左右，而远在两千多年之前，古希腊的阿基米德所用的一些计算方法，已经靠近了积分思想的边缘。阿基米德发展了“穷竭法”，即类似于逐步近似求极限的方法，用以计算抛物线、弓形的面积以及椭球体、抛物面体等复杂几何体的表面积和体积。中国古代也有类似的记载，比如公元前4世纪，《庄子》的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；三国时期刘徽研究的割圆术等等，都忽闪着“无穷”、“极限”等现代数学思想的火花。也可以这么说，微积分的理论是牛顿和莱布尼兹等建立的，但计算方法，特别是类似积分的方法，却早已有之。

什么是微积分？为什么两千多年前的科学家就已经会计算复杂形状的面积和体积，却直到几百年前的牛顿时代才真正创建了微积分？这其中的本质原因可以说是与物理及天文方面的发展密切相关。微积分创立之前的数学工具，研究对象和解决的问题都是属于静态的。即使积分的方法，如果不是将它看成微分的逆运算的话，也是一种静态的思想。精确而瞬时的动态计算必然要涉及到微分的概念。所以，将微分和积分的理论统一起来的微积分学，本质上是一种运动的数学，或称变量的数学。到了16-17世纪，以变量为基础的运动学和动力学的发展向数学提出了挑战，最终才促进了微积分理论的建立，而微积分反过来又加速了牛顿力学的发展，这是数学物理同源的第一次历史渊源。

在17世纪初期，伽利略（1564-1642）和开普勒（1571-1630）在天体运动中所得到的一系列观察结果和实验事实，导致科学家们对新一代数学工具的强烈需求，也激发了新型数学思想的诞生。从大量的数据中，如何才能抽象出大自然的秘密—物体的运动规律来呢？

这些数据中的大多数，有一个共同特点，就是表现了某物体在空间的位置，随着观测的时间而变化。

比如，在伽利略的时代，已经有了速度的概念。那时的科学家们已经知道：速度是物体运动快慢的标志。某物体经过一定的时间，在空间走了一定的距离，这段距离被这段时间相除，不就得到了速度嘛。如果物体运动的快慢始终一样，那就叫匀速运动，否则就是非匀速运动。伽利略从实验结果中发现，在地球引力持久作用下物体的运动，快慢并非始终一致的，开始时下落得比较慢，后来则下落得越来越快，也就是说，每经过一段时间的下落，速度就有所增加。伽利略又发现，无论是在下落的开始还是最后，速度这种增加的效果（或是，速度增加的速度）是一样的，这也就是我们现在所熟知的说法：“地面上自由落体的运动是一种等加速度运动”。

速度、加速度、匀速、匀加速、平均速度、瞬时速度，……，现在的学生很容易理解这些概念，那得感谢我们有了好用的数学工具：极限的概念和微积分的方法。但在当时，这些名词却曾经困惑过像伽利略这样的大师们。从定义平均速度，到定义瞬时速度，是概念上的一个飞跃。平均速度很容易计算：用时间去除距离就可以了。但是，如果速度和加速度每时每刻都在变化的话，又怎么办呢？那时候，平均速度应该被定义在更短的时间间隔中。当时间间隔变小，运动的距离也变小，距离除以时间，仍然能得到一个速度！但问题是：当时间间隔变到0，就没法作除法了啊！不过又一想：时间为0时，距离也为0！这样，人类第一次碰到了0除0的难题。

可以相信，开普勒在总结他的行星运动三定律时，也曾经有类似的困惑。开普勒得出了行星运动的轨迹是个椭圆，他也认识到行星沿着这个椭圆轨迹运动时，速度和加速度的方向和大小都在不停地变化。但是，他尚未有极限的概念，也没有曲线的切线及法线的相关知识，不知如何描述这种变化，于是，便只好用“行星与太阳的连线扫过的面积”这种静态积分量来表达他的第二定律。

牛顿1643年出生时，伽利略和开普勒均已去世。两位大师将他们的成果和困惑都留在了世界上，等待后人的传承。除了这两位学者之外，法国数学家笛卡尔（1596-1650）对牛顿的数学思想影响很大。笛卡尔在几何中引入坐标系，将几何和代数、形与数、统一起来。此外，笛卡尔在曲线的研究中已经引入了变量的思想，将几何学中求切线、曲率之类的问题与变量概念相联系，才使得后来有了“微积分”这个划时代的革命。

科学史上的诸多发现，都既有它们历史的必然（那是“巨人的肩膀”），又颇具偶然趣味的一面（比如“苹果打头上”）。微积分的创立也是如此。

1665年5月，可怕的瘟疫蔓延伦敦，剑桥大学被迫关门。刚完成学士学位，准备以教授助手的身份继续攻读深造的牛顿回到乡下的老家住了18个月。这短短的一年多被后人称为牛顿的“奇迹年”。从他这段时期写下的《杂录》可以看出，这一年时间里牛顿在科学上成果累累：创立了流数术（微积分），并建立了万有引力定律和光学分析的基本思想。由此可见，做科研的人，一段时期的修整和度假，静下心来思考，是很有必要的。试想如果没有这一年多的瘟疫，牛顿成天忙碌于工作和学习之中的话，是否还能有如此大的创造性的成就呢？起码，微积分创立的时间恐怕会推迟一点。

从剑桥回家乡之前，牛顿正在思考二项式展开的问题，并由此对“无穷”的概念有所突破。在这一点上，22岁的牛顿初出茅庐，就在数学思想上超越了前辈笛卡尔。笛卡尔的一些想法如今听起来颇为有趣：他认为人的大脑不是无穷的，所以不应该去思考与无穷有关的问题。但牛顿没有被这位名人的说法吓倒，有限的脑海中怎么也放不下这个无穷级数的问题！比如，他有次在他的《杂录》笔记本上，画了一条双曲线，写下了如下的公式来计算曲线下的面积：

得到上述的公式要用到二项式的分数幂展开。牛顿当时已经把它看成是一个无穷多项之和，但他认为，一个无穷序列并不等于要做无穷多的计算，可见22岁的牛顿已经有了“极限”和“收敛”的概念。并且事实上，牛顿对此序列进行了大量的计算，一直算到了小数点后55位，写下2000多个数字，整整齐齐地排列在他的笔记本上。从这个例子也可以看出，牛顿的新数学思想并非凭空产生，而是建立在大量艰苦运算的基础之上。

无穷多项求和的概念，又引导牛顿进一步思考无限细分下去而得到的无穷小量问题。他将这无穷小量称之为“极微量”，即现代所熟知的微分。再进一步，牛顿将几何学中求切线、曲率之类的问题与物理中运动学的问题合二为一。在笔记中，牛顿将求解此类无穷小问题的种种方法称为流数法（Methodof Fluxions），包括正流数术（微分）和反流数术（积分）。1665年5月20日，牛顿第一次在他的手稿上描述他的“流数术”，实质上就是现代微积分的思想。因此，后人便把这一天作为微积分的诞生日。

在“流数术”中^【3】，牛顿将运动学中如位置一类的变量称为“流量”（用x、y、z表示），而将流量的变化率，即速度，称之为“流数”。流数用x、y、z上面加一点来表示（此文中用x’,y’,z’表示），这类符号一直沿用至今。

牛顿认为他的流数术的目的就是要解决如下的问题：

1. 知道流量之间的关系，如何求流数之间的关系？（微分），

2. 以及问题1的逆问题（相当于积分）。

为此目的，牛顿定义了一个时间的无限小瞬“o”，作为流数术的基础。这个无限小的时间瞬将引起流量的瞬，由此便能计算流数，即两个“瞬”的比值。比如说：如果有两个流量：x和y，它们都随时间变化，并且，它们之间有如下关系：

x³ + xy + y³ = 0

现在，无限小的时间瞬“o”便将引起两个流量的无限小的瞬，分别记为x’o, y’o。然后，在上述公式中分别用x+x’o, y+y’o代替x和y，再减去原式便得到：

3x²x’o+3x(x’o)²+(x’o)³+xy’o+x’oy+x’y’o²+3y²y’o+3y(y’o)²+(y’o)³  =  0

两边同时除以时间瞬“o”，然后再消去其中含有“o”的项，整理之后便能得到两个流数x’和y’之间的关系（两个变量的变化速率之比）：

x’:y’ = -(3y²+x):( 3x²+ y)

牛顿用上例所述的方法，从位置变量的关系导出速度变量间的关系，与我们现在用微积分得到的结果一致。牛顿后来在他的《自然哲学的数学原理》一书中如此描述瞬时速度^【4】：瞬时速度是指，当该物体移动到那一个非常时刻，既不是之前，也不是之后，流量间的最终比例。

那时的牛顿只不过是一个二十出头的小伙子，一定还没有意识到自己这个发现对科学的重大意义，即使到了后来的1669年至1676年间，牛顿就“流数术”写下了三篇重要论文时，也并没有将文章及时地在期刊上公开发表，而只是让它们在朋友中和一些英国科学家中传阅。

德国数学家萊布尼茨（1646-1716）在对几何的研究中，独立于牛顿也走向了创建微积分的道路。他分别于1684年和1686年发表了微分和积分的论文。如果也追溯笔记本上的记录的话，萊布尼茨是在1675年底建立了微积分学，比起牛顿最早的笔记记录晚了10年左右，但萊布尼茨却早于牛顿3年在期刊上发表了他的结果。也许牛顿后来大彻大悟，意识到了这个“微积分”发明权的重要性，在1711年左右与萊布尼茨掀起了一场激烈的发明权之争。这时候牛顿已经是英国皇家学会的会长，在科学界大名鼎鼎，却仍然难以克服人性的弱点。虽然牛顿在公开场合假装与此事件无关，但是仍然掩盖不了暗地里争名夺利的小肚鸡肠，他不符合程序地亲自起草了该事件的调查报告，还匿名写文章攻击莱布尼茨窃取他的成果。这次争论大大地干扰了两位学者的正常生活。

不过后来，经过历史考证，萊布尼茨和牛顿的方法和途径均不一样，对微积分学的贡献也各有所长。牛顿注重于与运动学的结合，发展完善了“变量”的概念，为微积分在各门学科的应用开辟道路。萊布尼茨从几何出发，发明了一套简明方便使用至今的微积分符号体系。因此，如今学术界将微积分的发明权判定为他们两人共同享有。

微积分学刚建立时，因为它对极限概念缺乏严密的定义而受到攻击。例如推导瞬时速度时所用的无限小时间瞬“o”到底是个什么东西？到底是不是0呢？攻击者们认为牛顿自己的说法也是含混不清的，在用它作除法的时候，说它不是0而可以作除法，做完除法之后，又说它是0而将后面的项都甩掉！这不就是一种诡辩术么？这些质疑当时被称为“无穷小悖论”。但是无论如何，大多数人发现微积分学即使不严密但仍然好用，用它解决了各门学科中的许多疑难问题。直到后来19世纪，在柯西、达朗贝尔、外尔斯特拉斯等数学家们的努力下，才将微积分的概念在数学逻辑上严格化、完整化，并由此迈向了更深奥的解析学及微分方程理论。因此，微积分的创建是数学史上，也是科学史上的一件大事，为各门学科的发展立下了不朽功勋。

参考资料：

【1】牛顿传，格雷克著，吴铮译，高等教育出版社，2004.

【2】Reyes,Mitchell (2004). "The Rhetoric in Mathematics: Newton, Leibniz, theCalculus, and the Rhetorical Force of the Infinitesimal". QuarterlyJournal of Speech 90: 159–184.

【3】TheMethod of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry ofCurve-lines. By Sir Isaac Newton, Translated from the Author's Latin OriginalNot Yet Made Publick. To which is Subjoin'd, a Perpetual Comment Upon the WholeWork, By John Colson, Sir Isaac Newton. Henry Woodfall; and sold by JohnNourse, 1736.

【4】TheMathematical Principles of Natural Philosophy (1729) by Isaac Newton (Author) ,Florian Cajroi (Translator) – January 1, 1969。

http://www.amazon.com/Mathematical-Principles-Natural-Philosophy-Volumes/dp/0837123003

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