大将军的数学题-答案

见科学网的朋友们挺爱动脑筋、解数学题的。突然想起一年多之前的老同学论坛中有位‘靖西’大将军，忙碌之余，出了几个很好的练脑题给我们。遗憾的是，此大将军征东征西，百战沙场，尚未来得及在科学网开博客。所以，我借花献佛，将大将军的数学题登载于此，供大家讨论玩赏。

1. ====   送花瓶  =====

古时候有一位商人要让伙计将一个精致的花瓶送到买主的手里。买主住在很远的地方，路途中间要经过土匪出没的地方。土匪要是见到花瓶就会抢走。但土匪不会打开锁着的东西，只要把花瓶锁在箱子里就可以安全地送到目的地（这土匪看起来还很文明）。所以商人准备了一个大箱子，在箱子上装了个很大很结实的的锁扣，足以挂几把锁。商人还准备了一把精致的铁锁将花瓶锁在箱子里。这把铁锁的钥匙是独一无二的，没有这把钥匙，按照当时的技术箱子是绝对打不开的。但问题来了，土匪只要见到钥匙就会没收。钥匙都是没法安全地送到买主的手里的。买主也不能把自己的锁送给卖主用。在几经周折后，买主终于得到了他心爱的花瓶。请问这花瓶是如何送到买主的手里的？

这是一个故事，但故事里的技术是实在的，也确实运用到了如今的高科技中。在互联网中怎样将信息安全地送到目的地而不被黑客在中途截获，也是成功地运用了类似的方法。你知道故事的答案吗？

答案：（借用36楼的叙述）

1 把花瓶锁在箱子里（这把锁只有商人能开，称为“锁1”），然后运到买主手里。

2 买主收到箱子后，在箱子上再加上自己的锁（这把锁只有买主能开，称为“锁2”），然后把箱子运回给商人。

3 商人收到箱子后，把锁1打开拿走，这时候箱子上只剩下锁2，然后把箱子运给买主。

4 买主收到箱子后， 打开锁2，就成功拿到花瓶。

解释：（互联网的例子）

比如有一客户B（Buyer）想在一商家网站A（Amazon）登陆购买东西，他必须把自己的登陆密码字符串“SECRETE”安全地送达A（如图一），而不被黑客C（Capture）在中途截获破译。在互联网上不想被黑客在中途截是不太可能的，能做到的是当密码被黑客在中途截获后无法破译和使用。下图（二、三、四）所示过程便是一种解决方案，与此题目所用道理相同。

2. ====   扑克牌  =====

一付54张扑克牌，其中有十张是翻过来的。现在把你的眼睛蒙上（绝对没有偷看的可能），让你把扑克牌分成两叠（两叠的多少可以不一样）。要求在两叠中翻过来的扑克牌 是相等的。请问该怎么做？

除了扑克牌的数目，其它因数（扑克牌大小，重量，颜色，表面触摸的感觉，等等）不参与题目之中。扑克牌可以任意次重新排序、翻转。

10张翻过来的扑克牌是随机分布在扑克牌中。

答案：（不少网友给出了正确答案！）

第一步，你在这54张牌中任意取出10张，现在，扑克牌分成了两叠。44张和10张。

第二步，44张那叠不动，将10张这叠每张都翻过来，便得到了符合条件的两叠牌。

解释：

第一步之后，设44张那叠中正面牌x张，10张那叠中正面牌则为10-x张。

第二步之后，44张那叠中正面牌保持x张，10张那叠反过来了：反面牌为10-x张，正面牌x张。

3. ==== 切蛋糕 ====

有一个长方形的蛋糕，中间已被挖去了一个长方形的坑。这长方形的坑不在蛋糕的中央，也不与蛋糕的周边平行。两位小朋友想平分这个蛋糕，请问如何一刀将但蛋糕分成两个体积相等的部分？条件：只能切直的一刀，而且不能拦腰将蛋糕分成上下两个部分（因为蛋糕上面有好吃的糖果。

答案：（不少网友给出了正确答案！有的考虑过于复杂，错在我的题目出得不严密。）

沿着两个矩形的中心连线切下去即可。

解释：

两份蛋糕图形的面积相等，都等于大矩形面积的一半减去小矩形面积的一半。

4. ====== 分金条 =====

有个商人雇用了一位手艺高超的工匠了为他做一个精致产品，工作一星期七天的代价是一条金条。商人手头上有一条金条，刚好有可以付工匠一星期的工钱。但工匠要求工钱要按每天来付。虽然他并不急着用钱，每天有钱进账，老人心里总是踏实一些。但商人家中有个规矩，金条每星期只能切二刀。后来商人想出以了个切割金条的办法，满足了工匠的要求。你知道商人是怎么切割金条才能满足工匠的吗？

答案：切成1、2、4。

解释：

这三个二进制数的组合能表示0-7中的任何一个。

5. ==== iPhone 4位数密码 ====

 一个朋友打开了他的iPhone，我一把把它抓过来说：‘嗯，9、6、0，和1，对吧？’。因为有浓重的手指印在这四个数字上面，我正确地推定这与他的密码相关。他吓了一跳，因为如果我是一个贼，我可以很容易解开他的电话。因为所有的四个数字在四位数字代码中只有一次出现（据我所知，这只有4 x 3 x 2 x 1 = 24种可能）。因而，取四个不同数字作代码不是非常安全的。

所以，当我设定密码时，我选择了重复的数字（如1-2-3-1）。这样一来，如果有人会看我的手机，即使他们能够探测到我的手指印，他们要么在猜想第四个数字（不存在），或者，他们如果弄清楚我只用三个独立数字，他们将不得不尝试在一个四位数代码中，列出这三个不同数字所有可能的排列。

问题是：

1．在一个四位数的代码中，只使用三个数字对安全是否确实有帮助？

2．如果只重复使用两个独立的数字会不会更好呢？

答案：用三个数字最安全，两个数字最不安全，四个数字居中。

解释：

4个位置不同时,排列数=4*3*2*1=24

3个位置不同时,排列数=C(4,2)*2*3=36

2个位置不同时,排列数=3个重复情况（4+4）+两两重复情况（6）=14。

6. ==== 左轮枪 =======

这也是个概率问题，是某公司招聘员工面试时提的问题：

“让我们来玩个游戏”，招聘人开始了。“你现在被牢牢地绑在椅子上不能动。这是一把枪，一把六星左轮抢，六个弹槽都空着。现在，我把两颗子弹装入弹槽。看到我把子弹装入两个相邻的弹槽了吗？我把轮子合上，然后用手拨动让轮子转动几圈。我把枪对着你的头，扣动了扳机，…，叭。你真幸运！第一枪撞针没打中子弹。然后，我要再扣一次扳机。”

招聘人接着说：“我可以直接扣动扳机，或旋转轮子一下再扣扳机，你可以选择其中一种，请问，你选哪一种方法呢？”

庆幸的是这只是一把想象中的枪。招聘人只是用手势做出旋转轮子和扣动扳机的样子。但不幸的是你的前程却掌握在挥舞着‘手枪’的家伙的手里。

当然，这两种方法都不是你要的，但其中一种方法的生存的机会会大一些。你到底应该选择哪一种方法呢？

答案：

选择‘不转’，因为被打死的概率更小。

解释：

题中说：子弹是装入两个相邻的弹槽，左轮枪是一格一格往下转的，如右图所示。

1. 第一枪没有打出子弹，因此，第一枪的位置只可能是A、B、C、D。那么，接连第二枪的位置就会是第一枪的下面一个，也就是：B、C、D、E，这4个位置中，只有E有子弹。所以，如果直接扣动扳机，几率=1/4。

2.  如果重新把轮子转一下，左轮枪将处于随机的位置，6个格子有2颗子弹，这时挨枪的机率为2/6=1/3。

3.  1/4 < 1/3，‘不转’死的几率更小。

大将军数学题-之二