第十三章﹕奇异吸引子

 

现在回到王二的问题：什么叫吸引子？或者说，什么叫‘动力系统’的吸引子？

 

那我们首先得弄清楚‘系统’这个概念。

 

什么是‘系统’呢? 简单地说, 系统是一种数学模型。是一种用以描述自然界及社会中各类事件的, 由一些变量及数个方程构成的一种数学模型。世界上的事物尽管千变万化, 繁杂纷纭, 但在数学家们的眼中, 在一定的条件下, 都不外乎是由几个变量和这些变量之间的关系组成的‘系统’。在这些‘系统’模型中, 变量的数目或多或少, 服从的规律可简可繁, 变量的性质也许是确定的, 也许是随机的, 每个系统又可能包含另外的‘子系统’。

 

由‘系统’性质之不同，又有了诸如‘决定性的系统’ 、‘随机系统’、‘封闭系统’、‘开放系统’ 、‘线性系统’、‘非线性系统’、‘稳定系统’、‘简单系统’、‘复杂系统’等等一类的名词。

 

例如: 地球环绕太阳的运动, 可近似为一个简单的二体系统；密闭罐中的化学反应, 可当成趋于稳定状态的封闭系统；每一个生物体，都是一个自适应的开放系统；人类社会，股票市场，则可作为复杂的、随机性系统的例子。

 

无论是何种系统，大多数的情形下，我们感兴趣的是系统对时间的变化，称其为‘动力系统’研究。这是理所当然的，谁会去管那种固定不变的系统呢？研究系统对时间变化的一个有效而直观的方法就是利用系统的‘相空间’，一个系统中的所有独立变量构成的空间叫做系统的‘相空间’。相空间中的一个点，确定了系统的一个‘状态’，对应于一组给定的独立变量值。研究状态点随着时间在相空间中的‘运动’情形，则可看出系统对时间的变化趋势，以观察混沌理论中最感兴趣的‘动力系统的长期行为’。

 

状态点在相空间中运动，最后趋向的极限图形，就叫做该系统的‘吸引子’。

 

换句通俗的话说，吸引子就是一个系统的‘最后归属’。

 

举几个简单例子，更易于说明问题。一个被踢出去的足球，在空中飞了一段距离之后，掉到地上，又在草地上滚了一会儿，然后静止停在地上，如果没有其它情况发生，静止不动就是它的最后归属。因此，这段足球运动的吸引子，是它的相空间中的一个固定点。

 

人造卫星离开地面被发射出去之后，最后进入预定的轨道，绕着地球作二维周期运动，它和地球近似构成的二体系统的吸引子，便是一个椭圆。

 

两种颜色的墨水被混合在一起，它们经过一段时间的扩散，互相渗透，最后趋于一种均匀混合的动态平衡状态，如果不考虑分子的布朗运动，这个系统的最后归属-吸引子，也应该是相空间的一个固定点。

 

在发现‘混沌现象’之前，也可以粗略地说，在洛伦茨研究他的系统的最后归属之前，吸引子的形状可归纳为如下左图所示的几种‘经典吸引子’，也称‘正常吸引子’：

 

图（13.1）经典吸引子和奇异吸引子

 

第一种是稳定点吸引子，这种系统最后收敛于一个固定不变的状态；第二种叫极限环吸引子，这种系统的状态趋于稳定振动，比如天体的轨道运动；第三种是极限环面吸引子，这是一种似稳状态。如图（13.1）左图所示，一般地说，对应于系统的方程的解的经典吸引子是相空间中一个整数维的子空间。例如：固定点是一个零维空间；极限环是一个一维空间；而面包圈形状的极限环面吸引子则是一个二维空间。

 

钟摆是个简单直观的例子。任何一个摆，如果不给它不断地补充能量的话，最终都会由于摩擦和阻尼，而停止下来。也就是说，系统的最后状态是相空间中的一个点。因此，这种情况下的吸引子是第一种：固定点。如果摆有能量来源，像挂钟，有发条，或电源，不停下来的话，系统的最后状态是一种周期性运动。这种情况下的吸引子就是第二种：极限环。刚才我说的摆，都只是在一个方向摆动，设想有一个摆，如果除了左右摆动之外，上面加了一个弹簧，于是就又多了一个上下的振动，这就形成了摆的耦合振荡行为，具有两个振动频率。

 

王二反应快：“哦，明白了！第三种，极限‘面包圈吸引子’就是对应于好几个频率的情形。”王二喜欢自作聪明，得意地说。可是，张三却反驳：

“好像不完全是这样。在大学一年级“普通物理”中学过的，如果这两个频率的数值成简单比率的关系，也就是说，两个频率的比值是一个有理数，那在实质上仍然是周期性运动，吸引子仍是第二种：归于极限环那种。如果这两个频率之间不成简单比率关系，也就是说，比值是一个无理数，就是那种小数表达式包含无穷多位，并且没有重现的模式的数。当组合系统具有无理频率比值时，代表组合系统的相空间中的点环绕环面旋转，自身却永远不会接合起来。这样的系统看起来几乎是周期的，却永远不会精确地重复自身，被称作‘准周期的’，但是，运动轨道总是被限制在一个面包圈上，这就应该对应于图中的第三种情形。”

 

总而言之，用上述三种吸引子描述的自然现象还是相当规则的。这些是属于经典理论的吸引子，根据经典理论，初始值偏离一点点，结果也只会偏离一点点。因此，科学家甚至可以提前相当长的时间预测极复杂的系统的行为。这一点，是‘拉普拉斯妖’决定论的理论基础，也是洛仑兹梦想进行长期天气预报的根据。

 

但是，从两次计算的巨大偏差，洛仑兹感到情况不妙，于是，才想到了把他的计算结果画出来。也就是将上一章中给出的三个方程（12.1-3）中x、y、z对时间的变化曲线，画到了三维空间中，看看它到底是三种吸引子中的哪一种？

 

这一画就画出了一片新天地！洛仑兹怎么也不能把他画出的图形归类到任何一种经典吸引子。看看自己画出的图形，即图（13.1）的右图，洛仑兹觉得这个系统的长期行为十分有趣：似稳非稳，似乱非乱，乱中有序，稳中有乱。

 

这是一个三维空间里的双重绕图，轨线看起来是在绕着两个中心点转圈，但又不是真正在转圈，因为它们虽然被限制在两翼的边界之内，但决不与自身相交。这意味着系统的状态永不重复，是非周期性的。也就是说, 这个具有确定系数, 确定方程, 确定初始值的系统的解, 是一个外表和整体上呈貌似规则而有序的两翼蝴蝶形态, 而内在却包含了无序而随机的混沌过程的复杂结构。当时，眼光不凡的洛伦茨准确地将此现象表述为‘确定性非周期流’。他的文章发表在1963年的《大气科学》杂志上。

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