初等数学的研究对象是不变的量，而高等数学的研究对象则是变量。这句话本身平淡无奇，却道出了初等数学与高等数学的根本区别，也就是微积分之前和之后的数学之区别。

微积分的诞生

可以说，如果没有微积分，就没有现代科技。微积分诞生的历史源远流长，但最后一步是由牛顿和莱布尼兹完成的。两人的微积分风格不同，贡献各异。牛顿最大的贡献是把微积分用于物理上，构思了牛顿三大定律及万有引力定律。并用微积分方法，讨论了潮汐、岁差等现象。

莱布尼兹最主要的贡献是对概念、方法、技巧等清楚的梳理，加上符号的运用。这些符号受到人们的喜爱，一直使用至今。

1665年，牛顿从剑桥大学为了躲避瘟疫回到了乡下老家，苹果树下的思考萌生了万有引力定律。这是家喻户晓的故事，那年他才22岁。那段时间除了研究引力之外牛顿还发明了微积分，后者对科学之意义不下于前者。

牛顿考虑微积分是为了解决动力学问题，即运动中物理量与时间的关系问题。他把这种数学理论叫做“ 流数术 ” ，实际上就是现代说的微积分。那年的5月20日，牛顿第一次在他的手稿上描述他的“流数术”，后人便把这一天作为微积分的诞生日。

 牛顿将一切基本变量叫做“流量”（用x、y、z表示），而将流量随时间的变化率，即速度等，称之为“流数”。流数用x、y、z上面加一点（或者x’,y’,z’）来表示。

牛顿“流数术”要解决两类问题：

（1）已知流量间的关系，求流数的关系，这相当于微分学。

（2）已知流数间的关系，求流量的关系，相当于积分，问题（1）的逆问题。

 使用现在的微积分语言，牛顿的“流量”即变量，“流数”即导数。

微积分诞生（YouTube视频）

如何计算流量和流数？牛顿从二项式展开成无穷级数的问题开始思考，并由此对“无穷”的概念有所突破。为此目的，牛顿定义了一个时间的无限小瞬“o”，作为流数术的基础。这个无限小的时间瞬将引起流量的瞬，由此便能计算流数，即两个“瞬”的比值。

例：两个流量：x和y，随时间t变化并有如下关系：x³ + xy + y³ = 0          （1）

无限小时间瞬o将引起两个流量的无限小瞬，分别记为x’o, y’o。

在公式（1）中分别用x+x’o, y+y’o代替x和y，再减去（1）得到：

随时间变化的流量x和y，有如下关系：x³ + xy + y³ = 0          （1）

无限小时间瞬o将引起两个流量的无限小瞬，分别记为x’o, y’o。

在（1）中用x+x’o, y+y’o代替x和y，再减去（1）得到：

3x²x’o+3x(x’o)²+(x’o)³+xy’o+x’oy+x’y’o²+3y²y’o+3y(y’o)²+(y’o)³  =  0

两边同时除以o：3x²x’+3x(x’)²o+(x’)³o²+xy’+x’y+x’y’o+3y²y’+3y(y’)²o+(y’)³o²  =  0

然后令o= 0：3x²x’+xy’+x’y +3y²y’=  0

整理得x’和y’的关系：x’/y’ = -(3y²+x)/( 3x²+ y)

牛顿发明了微积分，并用微积分的语言写下了牛顿三大定律和万有引力定律。以及后人又在微积分的基础上建立了数学物理方程、黎曼几何等数学分支。这些数学理论，不仅帮助牛顿和麦克斯韦等人，建立了宏伟辉煌的经典力学和经典电磁理论，并且推动了理论物理中量子力学、相对论、混沌理论等数次革命。回顾其间的这段漫长的历史过程，是既耐人寻味，又发人深思的。

 牛顿像是个上帝派来的魔法师，他右手点亮经典力学之火，左手握着微积分，数学和物理的殿堂从此有了光明。有位英国诗人为牛顿写下了令人感动的墓志铭："上帝说，让牛顿降生吧。于是世界一片光明。"牛顿点亮了科学的火把，照亮世界，给人类带来光明。

当年牛顿与莱布尼茨的微积分发明权产生争论，两人都是小肚鸡肠。并且，还将两人所在国家的国家荣耀、民族情绪牵扯其中。将两位科学家的个人之争，演变成了英国科学界与德国科学界、乃至与整个欧洲大陆科学界的对抗。英国数学家不愿意接受莱布尼茨更为好用的符号系统，而要坚持使用牛顿的，实际上影响了英国数学研究的发展。

牛顿和莱布尼茨的微积分都不够严谨，之后被欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、达朗贝尔等人精雕细刻，才系统化和严密化为后来的样子

微积分的危机

所谓的数学危机，实际上并不是什么危机，不过是在数学发展过程中几个关键的时间点而已。在这些时间点，人们对数学中的概念发生了质的变化。因此，解决危机的办法就是首先需要接受新概念，然后用数学的语言和规范严格地完整和理清这些概念。

例如，发生于古希腊的那次危机，其实什么危机也没有，只不过因为毕达哥拉斯学派原来对数的认识是不足够不完善的，数不能仅仅被理解为m/n的有理数形态，还需要扩展到无理数。因此，人们首先需要接受无理数这个新概念，然后，数学家创立了新的比例论、完善了穷竭法，将无理数概念统一到“数”的领域中，因而克服了所谓的“危机”。

牛顿和莱布尼茨创建的微积分，解决了许多实际问题，例如，微积分解决了力学中的速度变化问题，它驰骋在近代和现代科学技术前沿，建立了数不清的丰功伟绩，但也招来不少质疑的声音。

最主要又严峻的质疑，来自于一位教区主教George Berkeley。不要以为伯克利只是一个神学人士，有人说他是因为憎恨科学捍卫宗教而攻击牛顿，其实不完全如此，捍卫宗教固然是其目的之一，但未必是“攻击”，因为他的确抓住了当时牛顿（或莱布尼茨）微积分的要害：不严密！

看看伯克利何许人也。你可能没听过他，但你可能听过美国加州有所叫伯克利的大学！没错，这座大学就是以他而命名的，因为他热衷教育事业，为纪念他对教育做出的贡献。除了是教育家之外，他有众多的身份：英国著名的主观唯心主义哲学家、严肃的数学家、他关心大众生活，为人民谋福利，还被当时的人称为“善的主教”。

微积分危机（YouTube视频）

1734年，牛顿过世7年后，伯克利出版了分析学家一书挑战微积分：

“亲爱的牛顿，请你诚恳地告诉我，如果你还残存对信仰的敬畏。你那自鸣得意的“瞬”，究竟是何方神圣？它飘然而来，因为要作你的分母；它离奇而逝，因为要成全你的流数。你不需要它，就判处它死刑；你需要它，又召唤出它的亡灵。”

无穷小“瞬”，究竟是何方神圣？飘然而来又离奇而逝，零或非零， 消失量之幽灵？

贝克莱对牛顿所阐述的“无穷小”提出质疑，并非无理取闹。因为牛顿无穷小定义的导数并不严密，即使没有贝克莱提出质疑，最后也会有人提出无穷小概念的问题。当时的微积分仍然受希腊几何的影响，还处于依赖几何论证的基础上。贝克莱并未否定微积分的正确性。

举y=x²求导数的例子说明，推导过程确实存在错误：前一步假设Δx是不为0的，可以作分母，而后一步又被取为0。那么到底是不是0呢？牛顿未能自圆其说。

然而，要解决微积分的危机，也就是将其严格化，不是一朝一夕的事，又过了150年左右，到19世纪末才完成。包括多位数学家的努力。包括法国的柯西（1789—1857）和德国的魏尔斯特拉斯（1815-1897）。

柯西成功地表达了正确的极限概念，使其成为微分学的坚实基础。他从数的基础上（不是从几何直观）出发，重新定义了微积分中各种含糊的定义。

柯西定义极限：“如果一个变量的连串值无限地趋向一个固定量，使之最后与后者之差可任意地小，那么最后这个固定值就被称为所有其他值的极限。”

那么任意小是多少？柯西说比你给定的任意数都小。

后来魏尔斯特斯拉认为这个定义不准确和自然，继续作了修改，提纯了极限概念，以ε-δ语言，系统建立了数学分析的严谨基础。。

无穷小不是一个确定的数，也不是零。它是极限为零的变量。研究对象是常量还是变量，是初等数学和高等数学的区别。也是微积分之前和之后数学的区别。微积分的核心概念是导数（微分）瞬时变化率。严格定义的无限趋近的极限概念是微积分的精髓。

理发师悖论—数学第三次危机

数学上有很多悖论，其实悖论就是矛盾，矛盾产生危机。所以数学的几次危机也可以用悖论来表述。古希腊时代那次数学危机，起因于希帕索斯发现无理数的“希帕索斯悖论”。第二次无穷小危机则与芝诺悖论及贝克莱质疑牛顿“无穷小量鬼魂”的悖论有关，它的解决为微积分学奠定了坚实的基础。第三次危机则与有趣的理发师悖论联系在一起。

传说有一个理发师，将他的顾客定义为城中所有“不给自己理发之人”。但某一天，当他想给自已理发时却发现他的“顾客”定义是自相矛盾的。因为如果他不给自己理发，他自己就属于“顾客”，就应该给自己理发；但如果他给自己理发，他自己就不属于“顾客”了，但他给自己理了发，又是顾客，到底自己算不算顾客？该不该给自己理发？这逻辑似乎怎么也理不清楚，由此而构成了“悖论”。

是谁想出这么一个古怪的烧脑悖论来折腾人？数学发展得好好的，实在像是没事找事无事生非。的确如此，前两次数学危机的解决，建立了实数理论和极限理论，最后又因为有了康托的集合论，数学家们兴奋激动，认为数学第一次有了“基础牢靠”的理论。

理发师悖论（YouTube视频）

提出这个悖论的是英国人伯特兰·罗素。一位出生显赫的贵族，一个造诣非凡的真正大师。

罗素的家庭了不得，他爷爷曾经出任过英国的两任首相。罗素自己更了不得，他是著名的历史学家，‌‌哲学家，数学家，各方面多产的大师。他创建分析哲学，提倡自由教育；他的历史巨著西方哲学史，在哲学界广为人知；令你没想到的是，他还获得了1950年的诺贝尔文学奖。

罗素与罗素悖论（某种意义上等效于理发师悖论）有关的是一部大块头的《数学原理》。洋洋洒洒3 大卷近 2,000 页，耗费罗素十年功夫折腾得够呛才得以完成。罗素认为所有的数学可以约化为逻辑，为此目的作者们使用了极度冗长繁琐的推理。 比如，花了将近400页的内容，才得以正确地定义“1”及“1+1”。当年对数学基础的研究有三大主义。除了罗素信奉的逻辑主义之外，还有德国的希尔伯特为代表的形式主义、 荷兰数学家布劳威尔为代表的直觉主义。

我们回到理发师悖论，考虑如何避免理发师对顾客的定义而产生的逻辑怪圈。如果理发师修改一下自己的说法：“除了我本人之外，我给所有不给自己理发的人理发”，悖论就被避免了。因为理发师此时定义了一个不包括自己在内的顾客集合，这个集合没有怪圈！改变定义便能绕过去。对理发师悖论而言这很容易，对学术上的“集合论”，就不那么容易了，不过原则差不多。就是在定义集合的时候，要避免“自我”指涉。

还有一个牵涉自我指涉的悖论，叫做“说谎者悖论”，它的典型语言表达为：“我说的话都是假话”。如果你判定这句话是真话，便否定了话中的结论，自相矛盾；如果你判定这句话是假话，那么引号中的结论又变成了一句真话，仍然产生矛盾。

因此，此类悖论是产生于“集合”的定义牵涉到“自我”指涉，这些悖论解决之后，那么，如果将自身排除在集合之外，悖论不就解决了吗？也许问题并非那么简单。

几个悖论都牵涉到“自我”指涉（self-reference）的问题。理发师不知道该不该给“自己”理发？说谎者声称的是“我”说的话。看起来，将自身包括在“集合”中不是好事，可能会产生出许多意想不到的问题，这些悖论提醒数学家们重新考察集合的定义，康托的集合论对“集合”的定义太原始，以为把任何一堆东西放一起，只要它们具有某种简单定义的相同性质，就可以数学抽象为“集合”。人们后来将康托的理论称为“朴素集合论”。为它制定了一些“公理”作为条条框框，从而使得康托的朴素集合论走向了现代的“公理集合论”。

人们认为数学的第三次危机尚未被完全解决，不过属于逻辑和哲学层面的问题，不太影响数学的发展。

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