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数学也有危机?(第一次数学危机) 精选

已有 8618 次阅读 2021-12-29 22:19 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦

大家都知道,一个国家或地区的经济会发生“经济危机”,没想到数学这种象牙塔中的理论研究也会发生危机。历史上的数学危机有三次,本文介绍第一次。

第一次数学危机发生于古希腊时代。古希腊的泰勒斯(Thales,公元前624年-公元前546年)被学界誉为第一位数学家,他第一次将“证明”的思想引入,为数学注入理性精神。古希腊的思想家们追溯万物之源,思想活跃、不落俗套、敢于出新。各种灵巧怪异的想法纷纷涌现出来,听起来令人感觉妙趣横生。如泰勒斯认为“万物皆水”,他的一位学生主张“万物皆气”,另一位学生认为万物起源于某种虚无缥缈不定形的东西……


1,毕达哥拉斯其人


离泰勒斯活跃的米利都不远处,有一个叫萨摩斯岛的城邦,则出了一位主张“万物皆数”的数学家,认为“数”可以解释世界上的一切事物。这是毕达哥拉斯(Pythagoras,前570年-前495年),他既是数学家,也是哲学家和音乐理论家。他对数字痴迷到近乎崇拜;同时认为一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和证实。他的毕达哥拉斯学派除了将数学推崇到极致之外,还具有一些不可思议的神秘主义因素。例如,他们认为吃蚕豆是不道德的,因为人死之后,灵魂会寄存在蚕豆中,据说毕达哥拉斯本人可以与牲畜交谈,以便告诉牲畜不要吃蚕豆。


1:毕达哥拉斯(点击观视频)


毕达哥拉斯与泰勒斯相差50多年,曾经见过泰勒斯并受他以及米利都学派的影响,可以算是泰勒斯的学生。毕达哥拉斯曾用数学研究乐律,首次发现了音调的音程按弦长比例产生,频率间隔比例的简单数值形成了美妙和谐的声音。由此,毕达哥拉斯将自己有关数的理论结合米利都学派的宇宙论,提出了宇宙无比“和谐”的概念。他用数学关系表达音调的特质,他认为这些关系也呈现在视觉、角度、形状中……所有的比例都是按照完美的数字构成的!太阳、月亮和行星都散发着自己独特的嗡嗡声(轨道共振) ,地球上生命的特性反映了人耳察觉不到的这些天体的声音。

毕达哥拉斯第一次提出了大地是球体这一概念,从他开始,希腊哲学产生了数学的传统,对以后古希腊的哲学家有重大影响。


2,毕氏学派对数学的贡献


毕氏学派证明了毕达哥拉斯定理(勾股定理),这和其他很多文明中发现许多勾股数的意义是不同的。勾股数是符合勾股定理的三元数组,它们的数目有无穷多。例如,(3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)…等等,都是勾股数,中国古代的“勾三股四弦五”就是典型的例子。在公元前18世纪的巴比伦石板上,就已经记录了各种勾股数组,最大的是(185411270913500)。发现了勾股数,不等于发现了勾股定理,更不等于证明了勾股定理。这个定理的证明,是始于毕达哥拉斯,再由后来的欧几里得给出了清晰完整的证明。



2:毕达哥拉斯定理


毕达哥拉斯学派还研究过正五边形和正十边形的作图,得到黄金分割的比值数:(10.618)。

3:黄金分割


除了诸如证明勾股定理这种具体的贡献之外,毕氏学派当时最著名的数学思想是用原子论的观点,将几何建于算术(整数)之上。根据毕达哥拉斯学派的观点,一切数都可以用整数以及整数的比值(即我们现在所说的“有理数”)表示出来。

当年的古希腊,各种哲学思想派别林立、此消彼长。毕达哥拉斯欣赏原子论的观点,并把它用于数学,用原子观点来构建他的几何纲领。

原子论认为万物分下去是原子,而毕氏学派认为几何线段分下去是“点”。点是什么呢?就是几何的原子,和原子一样有大小,即其长度不为零 。例如,设d表示点的长度,d有三种可能性:d = 0, d = 无穷小,d>0

4:毕氏学派用原子论观点解释几何线段

对“点”的理解反映了当时数学界连续派和离散派观点的区别,根据连续派的说法,线段无限可分,最后的“点”无尺寸,大小为零,或有人说是“无穷小”。但毕氏学派认为:如果说点是0,那么,无尺寸的“点”,如何能构成有尺寸的线段呢?这是无中生有、自相矛盾的。如果说点是无穷小,那么无穷小是什么?也说不清楚,令人困惑,更显得诡秘深奥。因此,毕氏学派采取离散派的观点,认为“分割”有尽头,最后的“点”很小但不为零。换言之,在毕氏学派看来,线段就像是许多珠子串在一起的珍珠项链。基于毕氏的几何观,任何两个线段都可以共度(或称公度、通约),因为它们都由某个最小的长度组成。也就是说,所有的数都可以表示为整数或者整数之比。因此,世界及宇宙的美妙与和谐就建立在整数的基础之上!

3,希帕索斯发现无理数

5:发现无理数的希帕索斯(点击观视频)


谁知好景不长,毕达哥拉斯的一位学生希帕索斯发现了√2这种无法用整数或整数之比来表示的数(之后被称为“无理数”)。

事实上,从毕氏学派证明了的勾股定理,是很容易发现无理数的。一个边长为1的正方形,其对角线便不能与边长通约,长度记为√2。类似情形还有很多很多:面积等于356、……17的正方形的边,与单位正方形的边也都不可通约。无理数的存在逐渐成为并不罕见人所共知的事实。√21不可通约,可以用如下反证法证明:

 

无理数的发现,对于依靠整数的毕氏哲学,是一次致命的打击。因此,据说当时他们将这些事实严格保密,缄口不言,不想被不识时务的希帕索斯给捅了出来!唉,别无他法,只有将他丢到海中喂鱼,才能解除一点同窗学子们的心头怨恨。

不过是发现了一种不能通约的数而已,有这么严重吗?情况的确挺严重的,因为:如果存在不可通约的线段,就没有公共的量度单位,便不能将“点”看成有长度的东西,毕氏学派“万物皆(整)数”的哲学思想立刻分崩离析,建立于美妙的整数之上的和谐宇宙也轰然倒塌了!毕氏学派证明的几何命题、他们关于相似形的一般理论,都局限在可通约的量上。人们自然便怀疑:数学作为一门精确的科学是否还有可能?宇宙的和谐性是否还存在?

因此,无理数的发现,引起了第一次数学危机。

4,芝诺悖论冲击极限概念

没过多久,生活在另一个古希腊城邦埃利亚的芝诺(Zeno of Elea,公元前490-430),又提出了几个怪怪的、似乎扯不清楚的“悖论”,更加深了人们的危机感,以及对美好和谐世界的担忧。

6:芝诺(点击观视频)


芝诺是著名哲学家巴门尼德的学生,因提出四个有关运动的悖论而知名。其中的阿基里斯悖论与数学中极限理论密切相关,在此重点介绍一下。

阿基里斯是古希腊神话的善跑英雄,希腊第一勇士,假设他跑步的速度为乌龟的十倍:例如,阿基里斯10/秒,乌龟1/秒。出发时,乌龟在前面100米处,如图7所示。

7阿基里斯追乌龟


按照常识,阿基里斯很快就能追上并超过乌龟。

芝诺却说:“他永远都赶不上乌龟!”

为什么?芝诺振振有词:开始,乌龟超前100米;当他跑了100米到乌龟开始位置时,乌龟已经向前爬了10米,乌龟超前10米。然后下一步,乌龟将超前1米;再下一步,超前0.1米;然后继续下去:超前0.01米、0.001米、0.0001米……不管这个数值变得多么小,乌龟永远超前!

用我们现代的数学知识,一个简单的代数计算就足以反驳芝诺的“谬论”。

假设某个时刻x秒之后,阿基里斯追上了乌龟(图8),可以列出x满足的方程并解出x=(100/9)。也就是说,111/9秒之后,阿基里斯赶上了乌龟!

8:阿基里斯悖论的解答(点击观视频)


因此,现在的大多数人会觉得芝诺是在“诡辩”,因为他说的乌龟超前的一连串数字:1米、0.1米、0.01米、0.001米、……,貌似无穷多,但都是在(100/9)秒之内完成的,并非“永远”!

当我们说到“无限”, 有两种含义: 一是无限分割, 一是无限延伸。无限份时间不等于无限长时间!一个收敛级数的和是有限的。而时间的流逝却是无限的。芝诺显然混淆了两者,或者偷换了概念。因此,以现代观点看,他的确是在“狡辩”。

不过,我们需要用历史的眼光分析这个问题。那是两千多年前,还没有完善的极限概念,可能也不知道“收敛级数”这个词,而这正是我们得到上面结论的基础。比芝诺稍后(200年左右)的阿基米德(前287年-前212年)对此悖论进行了颇为详细的研究。他把每次追赶的路程相加起来计算阿基里斯和乌龟到底跑了多远,将这问题归结为无穷级数求和的问题,证明了尽管路程可以无限分割,但整个追赶过程是在一个有限的长度中。所以说,芝诺的说法并非仅仅是狡辩。


5,芝诺悖论的意义

9:极限思想的萌芽

“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,这句话是中国惠施(前370-310年)说的。意思是说,一尺长的竿,每天截取一半,一万年也截不完。竿子越来越短,长度越来越趋于零,但又永远不会等于零,这正是“事物无限可分,但又不可穷尽”的极限思想的萌芽。

10:不同的极限观点

前面说到的毕氏学派用原子论解释几何的数学观,代表了古希腊极限观。

 

芝诺时代已经过去二千四百多年了,但是围绕芝诺的争论还没有休止。芝诺揭示了稠密性连续性、无限可分和有限长度、连续和离散、实无穷潜无穷之间的关系。引起人们对这些关系的关注与研究。

11:实无穷和潜无穷


实无穷把极限当作数学实体,潜无穷认为极限是无限趋近的过程。古时候,毕氏学派代表 “实无穷”的极限观,惠施的说法是“潜无穷”观点。

因此,在希腊数学发展的关键时刻,芝诺也做出了有意义的贡献。


6,第一次数学危机的解决


第一次数学危机被柏拉图(Plato,公元前429年-前347年)的弟子欧多克索斯(Eudoxus of Cnidus公元前408年-前355年)创立了新的比例论、完善了穷竭法而克服。

欧多克索斯也属于毕氏学派,是毕达哥拉斯弟子阿尔库塔斯(Archytas,前428年-前347年)的学生。因此,第一次数学危机的解决可说是“解铃还需系铃人”。也可以说,无理数的发现,当年是毕氏学派的最大灾难,其实也是毕氏学派的最大成就。

欧多克索斯处理不可通约量的方法,出现在欧几里得(前325年-前265年)《几何原本》第5卷中,和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。他给出的比例的定义与所涉及的量是否有公度无关,这样就容许了无理数的存在。

第一次数学危机使整数的尊祟地位受到挑战,使古希腊的数学基础发生了根本性的变化。在第一次数学危机之前,古希腊的数学是以数为基础的。第一次数学危机之后,古希腊的数学基础则转向几何,以几何为基础,几何学开始在希腊数学中占具特殊地位使,数学的公理化成为可能。危机的解决也推动了数学及其相关学科的发展。

同时,第一次数学危机也表明了直觉和经验不一定可靠,推理证明才是可信的。从此希腊人开始建立几何学公理体系,直到后来的欧几里得。因此,公理化思想是数学思想上的一次革命,是第一次数学危机的自然产物。

由此产生的欧几里得几何对数理天文学的发展有重大意义。由于宇宙是几何的,宇宙的规律是几何规律,因此研究宇宙就离不开几何图形以及几何理论。

回顾一下历史事实便知,数学基础从整数转向几何意义颇大。古代以数为基础的文明,很难建立数学的公理系统。古代中国和古印度古埃及都是例子。在这些国家从未建立起数学的公理系统。

因此,第一次数学危机,是整个科学发展进程中的一个重要事件,对科学的发展起了促进作用。


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