8.  风流倜傥薛定谔建立方程

     思想实验虚拟猫纠缠世人

量子的脚步很快就走进了1925年。这一年，奥地利物理学家薛定谔（Schrödinger，1887年-1961年）受德拜之邀在苏黎世作了一个介绍德布罗意“物质波”的演讲。

图8-1：薛定谔

·爱因斯坦勤点拨 风流才子遇机会

奥地利在我们眼中是一个音乐的国度，维也纳更是著名的音乐之乡，是“音乐之声”遍地流淌的地方！并且，论起科学来，奥地利也是毫不逊色的人才辈出之地。仔细算一算的话，奥地利的著名物理学家还真不少！上一篇中介绍的泡利是在奥地利维也纳出生的，他是年轻的量子达人。1925年薛定谔作报告时，泡利才25岁。薛定谔也诞生于维也纳，比泡利大13岁，所以当时已经可算是老前辈了。在薛定谔之前，还有以多普勒效应闻名的多普勒、著名的哲学家兼物理学家马赫、研究统计物理的玻尔兹曼、原子物理学家中的著名女将迈特纳等等……加上后来的人物，列起名字来有一大串，其中也不乏诺贝尔奖得主。如果不限于物理学家，扩大到其它学科，就更多了，例如：遗传之父孟德尔……

薛定谔1906年到1910年在维也纳大学物理系学习，在那儿完成了他的大学学位，并度过了他的早期科学研究生涯。维也纳大学是玻尔兹曼（Boltzmann ，1844年－1906）毕生工作之处，因此，薛定谔受玻尔兹曼科学思想的影响颇深，早年从事的研究工作便是气体分子运动论和统计力学方面的课题，他曾深入地研究过连续物质物理学中的本征值问题。1921年，薛定谔受聘到瑞士苏黎世大学任数学物理教授，继续研究与气体分子运动论相关的问题。

正在这个时候，玻色与爱因斯坦提出了一种简并气体的新的统计方法。因而，薛定谔的工作也引起爱因斯坦的兴趣。开始，薛定谔对玻色—爱因斯坦统计的思想很不理解，特地写信给爱因斯坦与他进行讨论，之后几年间，双方有多次信件来往，因此可以说爱因斯坦是薛定谔的直接引路人。1924年，薛定谔写了一篇有关气体简并与平均自由程的文章，详细评述了理想气体熵的计算问题。爱因斯坦对薛定谔的文章作了高度评价并将德布罗意波的想法介绍给薛定谔：“一个物质粒子或物质粒子系可以怎样同一个（标量）波场相对应，德布罗意先生已在一篇很值得注意的论文中提出了”。之后，薛定谔曾回信表示自己“怀着极大的兴趣拜读了德布罗意的独创性的论文，并且终于掌握了它。”

后来，才有了我们本篇开头所言之事：薛定谔在苏黎世作介绍德布罗意波的演讲。

当时，薛定谔的精采报告激起了听众的极大兴趣，也使薛定谔自己开始思考如何建立一个微分方程来描述这种“物质波”。因为当时作为会议主持人的德拜教授就问过薛定谔：“物质微粒既然是波，那有没有波动方程？”薛定谔明白这的确是个问题，也是自己的一个大好机会！薛定谔想，这个波动方程一旦被建立起来，首先可以应用于原子中的电子上，结合玻尔的原子模型，来描述氢原子内部电子的物理行为，解释索末菲模型的精细结构。

就这样，薛定谔综合玻色、爱因斯坦、德布罗意的思想，首先将自己原来气体理论的研究工作做了一个总结，于1925年12月15日发表了一篇题为《论爱因斯坦的气体理论》的文章。这篇文章中，薛定谔充分运用了德布罗意的理论，将它用来研究自由粒子的运动。显而易见，这个工作的下一步，便是将德布罗意的理论用来研究最简单的束缚态粒子，即氢原子中的电子。然而，那不是像自由粒子运动那么简单了，薛定谔明白，首要任务是要建立一个方程！

不过，这时候到了圣诞节的假期，风流倜傥的薛定谔正好碰见了一位早期交往过的神秘女友，两人旧情复发，相约去到白雪皑皑的阿尔卑斯山上度假数月。

风流才子果然名不虚传，物理研究十分重要，情人约会也必不可少。没料到美丽的爱情居然大大激发了薛定谔的科学灵感，著名的薛定谔方程横空出世！

·波动方程显威力 原子模型得解释  

在1926年的1月、2月、5月、6月，薛定谔接连发表了4篇论文。实际上，在3月和4月也穿插发表了两篇相关的重要文章。这一连串射出并爆炸的6发“炮弹”，正式宣告了波动力学的诞生。

第一篇（1月）论文《量子化是本征值问题I》，将量子化的实质归结于数学上的本征值问题。薛定谔在大学其间深入研究过的连续介质本征值问题，在这儿派上了用场。原来所谓“玻尔—索末菲量子化条件”，并不是什么需要人为规定的东西，而实际上是求解势阱中本征值问题自然得到的结论。根据这个思想，薛定谔建立了氢原子的定态薛定谔方程并求解，给出氢原子中电子的能级公式，计算氢原子的谱线，得到了与玻尔模型及实验符合得很好的结果。

第二篇（2月）：《量子化是本征值问题II》，从含时的哈密顿—雅克比方程出发，建立一般的薛定谔方程，讨论了方程的求解，并从经典力学和几何光学的类比及物理光学到几何光学过渡的角度，阐述了他建立波动力学的思想，解释了波函数的物理意义。

当年的薛定谔，探求描述电子波粒二象性的动力学方程，自然首先到经典物理中寻找对应物。电子作为经典粒子，是用牛顿定律来描述的，如何描述它的波动性呢？考察经典力学理论，除了用牛顿力学方程表述之外，还有另外几种等效的表述方式，它们可以互相转换，都能等效地描述经典力学。这些经典描述中，哈密顿-雅可比方程是离波动最接近的。当初，哈密顿和雅可比提出这个方程，就是为了将力学与光学作类比。

图8-2：薛定谔方程的导出

3月文章《微观力学到宏观力学》，阐明量子力学与牛顿力学之间的联系。

4月文章《论海森伯、玻恩、约当量子力学和薛定谔量子力学的关系》，从特例出发，证明矩阵力学与波动力学可以相互变换。

5月6月两篇文章，分别建立定态及含时的微扰理论及其应用。

总结归纳一下薛定谔方程的建立过程，有如下几个要点：

-    定态问题就是求解一定边界条件下的本征方程，以此来计算原子中电子的能级；

-    经典力学的哈密顿—雅克比方程，不但可以描述粒子的运动，也可以用来描述光波的传播，可以将其推广而建立电子的量子波动方程；

-    根据德布罗意位相波理论，电子可以看成一种波，反映其粒子性的动量、能量与其相应的波的波长、频率的关系，由德布罗意—爱因斯坦公式给出。

薛定谔综合这些要点，导出了薛定谔方程，其中关键思想是来自于德布罗意物质波的启示，其间爱因斯坦起了重要作用，因此人们认为，爱因斯坦是波动力学的主要“推手”。

·复数加算符 量子之要素

比较一下图8-2右上和右下公式中的薛定谔方程和哈密顿-雅可比方程，可以看出经典力学是量子力学的“零波长极限”，实际上也就是当普朗克常数h趋于0时候的极限。普朗克常数h在这儿又出现了，正如之前所说的，它是量子的标志。

薛定谔方程和哈密顿-雅可比方程都是偏微分方程，公式中将时间的偏导数明显地写成了时间微分算符的形式。经典方程中的算符是(∂/ ∂t)，薛定谔方程中的算符中则多了一个乘法因子（-ih），是虚数i和约化普朗克常数h(=h/2p)的乘积。这儿h表征量子，h数值很小，因而薛定谔方程只在微观世界才有意义。虚数i，则代表了波动的性质，对波动而言，每一个点的“运动”不但有振幅，还有相位。相位便会将复数的概念牵扯进来。

因此，薛定谔方程将普朗克常数、复数、还有算符结合一起，这三者构成新量子论之数学要素。算符对量子尤其重要，因为在量子理论中，粒子的轨道概念失去了意义，原来的经典物理量均被表示为算符。

什么是算符？算符即运算符号，并不神秘，实际上，一般的函数和变量，都可以算是算符，矩阵是不对易的算符的例子，上文中所示的(∂/ ∂t)，是大家所熟悉的微分算符，也就是微分。微分算符通常作用在函数上，将一个函数作微分变成另一个函数。量子力学中的微分算符作用在系统的量子态（波函数）上，将一个量子态变成另一个量子态。

下面的表中列出了一部分常见的量子微分算符。

从算符的角度看，薛定谔方程看起来只是个简单的恒等式：左边是算符(ih∂/ ∂t)作用在波函数上，右边等于算符H作用于同一波函数上。能量算符H描述系统的能量，在具体条件下有其具体的表达式。一般来说，量子系统的能量表达式可以从它所对应的经典系统的能量公式得到，只需要将对应的物理量代之以相应的算符就可以了。比如说，一个经典粒子的总能量可以表示成动能与势能之和：

E = p²/2m + V                                

将总能量表达式中的动量p及势能V，代之以相应的量子算符，就可得到这个粒子（系统）对应的量子力学能量算符。然后，将此总能量算符表达式作用在电子的波函数上，一个单电子的薛定谔方程便可以被写成如下具体形式：

上述薛定谔方程是“非相对论”的，因为我们是从粒子“非相对论”的能量动量关系出发得到了它。所以，薛定谔方程有一个不足之处：它没有将狭义相对论的思想包括进去，因而只能用于非相对论的电子，也就是只适用于电子运动速度远小于光速时的情形。考虑相对论，粒子的总能量关系式应该是：

E² = p²c² + m²c⁴ 。                                                                            

薛定谔曾经试图用上述相对论总能量公式来构建方程。但因为其左边是E的平方，相应的算符便包含对时间的2阶偏导，这样构成的方程实际上就是后来的克莱因-高登方程。但是，薛定谔从如此建造的方程中，没有得到令人满意的结果，还带给人们所谓负数几率的困惑。之后，狄拉克解决了这个问题，此是后话。

·薛定谔的猫 弄拙反成巧

薛定谔方程是薛定谔对量子力学的最大贡献，但广大民众知道薛定谔的名字，或许是由于一部有关他的舞台浪漫喜剧《薛定谔的女朋友》？也可能是因为许多量子力学科普读物中经常描述的“薛定谔的猫”！

薛定谔的猫，是薛定谔1935年在一篇论文中提出的一个佯谬，也被称为“薛定谔佯谬”，实际上，是一个思想实验。

薛定谔1926年创立了薛定谔方程，成功地解出了氢原子的波函数，这是一个十分难得非常美妙的解析解！比玻尔模型更为精确地解释了实验中得到的光谱数据及精细结构常数的意义等等。虽然再要找其它更多的解析解就难之又难，但对氢原子的成功，使人们相信新量子论，即量子力学的正确性。

电子既是粒子，又是波。粒子的运动规律用牛顿定律描述，“粒子波”的运动规律用薛定谔方程描述。牛顿方程的解：x(t)，是空间位置x随时间变化的一条曲线，显示粒子在空间运动的轨道。薛定谔方程的解：y(x,t)，是一个空间及时间的复数函数“波函数”。牛顿经典轨道x(t)只是一条线，量子波函数解y(x,t)却弥漫于整个空间。粒子轨道的概念容易被人接受，但对波函数的解释却众说纷纭。

因此，尽管有了波函数，对它的解释却成了问题。薛定谔自己曾经想把它解释为电荷的分布函数，这个想法，连他自己都觉得不现实。

在对量子论的态度上，薛定谔与普朗克和爱因斯坦有类似之处，他们都是量子思想的奠基者，但又是被经典哲学牢牢捆住的“老顽固”。革命的科学精神引领他们不停地披荆斩棘开垦处女地，而开垦地上长出来的果实又狠狠地给他们脑袋重重一击！将脑海中许多固有的经典观念敲得咚咚响。

薛定谔在爱氏祖师爷的推动下建立了波动力学解出了波函数，反过头来却不知其为何物，即便有玻恩玻尔等提出概率解释、“哥本哈根诠释”等等，他们却接受不了。微观叠加态的特点与宏观规律是如此不同，物理学家如薛定谔也想不通。于是，薛定谔在1935年发表了一篇论文，题为《量子力学的现状》，在论文的第5节，薛定谔便设计了一个思想实验，在这个试验中，他把量子力学中的反直观效果转嫁到日常生活中的事物上来，试图将微观不确定性变为宏观不确定性，微观的迷惑变为宏观的佯谬，也就是说，将微观世界中叠加态的概念转嫁到“猫”的身上，如此而导致一个荒谬的结论：一只现实世界中不可能存在的“又死又活”的可怖的猫！

薛定谔想以此来嘲笑玻尔等对量子物理的统计解释。但反而向大众科普了量子论的基本思想及哥本哈根诠释。按照量子理论：如果没有揭开盖子，进行观察，薛定谔的猫的状态是‘死’与‘活’的叠加。此猫将永远处于同时是死又是活的叠加态。这与我们的日常经验严重相违。一只猫，要么死，要么活，怎么可能不死不活，半死半活呢？这个听起来似乎荒谬的物理理想实验，却描述了微观世界的真实现象。它不仅在物理学方面极具意义，在哲学方面也引申了很多的思考。

这只猫的确令人毛骨悚然，使得相关的争论一直持续到今天。连当今伟大的物理学家霍金也曾经愤愤地说：“当我听说薛定谔的猫的时候，我就想跑去拿枪，干脆一枪把猫打死！”

在宏观世界中，既死又活的猫不可能存在，但许多许多实验都已经证实了微观世界中叠加态的存在，以及被测量时叠加态的坍缩。通过薛定谔的猫，人们认识到微观现象与宏观之不同，微观叠加态的存在，是量子力学最大的奥秘，是量子现象给人以神秘感的根源，是我们了解量子力学的关键。

·出版“生命是什么” 跨界物理和生物

薛定谔还写过一本生物学方面的书和许多科普文章。1944年，他出版了《生命是什么》一书。此书中薛定谔自己发展了分子生物学，提出了负熵的概念，他想通过物理的语言来描述生物学中的课题。之后发现了DNA双螺旋结构的瓦森（James D. Watson）与克里克（Francis Crick），都表示曾经深受薛定谔这本书的影响。

科学界有一句玩笑话，说在物理学家看来，所有的问题都是物理学的问题。事实上，这句话也不是没有道理，物理学是研究大自然基本规律的科学，大自然包括了万物。既然生命体系是大自然的一部分，那就当然也逃不掉最基本的物理定律。

薛定谔是一位物理学家。他也希望从物理学的角度去理解生命是什么，认为物理学能够对理解生命的本质提供独特的启发。

在薛定谔的时代，科学家还没有完全理解遗传的物质基础是什么。当时的技术条件仅仅能识别染色体，人们还不知道DNA的内部组成成分，不知道遗传物质是核酸。但薛定谔觉得，物理学的研究方法一定能对理解生命的本质有帮助。所以他写了那本书，果然影响了后人对DNA的发现，之后也促进了物理生物学的发展，至今也还有一定的意义。

薛定谔在书中还提出了另一个“负熵”的革命性观点。热力学第二定律认为熵增是一个自发的由有序向无序发展的过程，最终将归于热寂。然而，生命现象却能够生生不息，不断地做到从无序到有序。当时薛定谔的观点是，生命体处于一个开放状态下，不断地从环境中汲取“负熵”，使得有机体能成功地消除了当它自身活着的时候产生的熵。普利高津后来提出了“耗散结构”，试图解释无序如何能达到有序，目前，这些仍然是热门的研究课题。未来的生命科学，将和物理、化学、工程等结合交叉在一起，实现薛定谔的愿望。

（本文同步发布于微信公众号“赛先生”上）